全等三角形经典题型辅助线问题.pdf

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1、 全等三角形经典题型辅助线问题 全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.

2、角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，1)2)DCBAEDFCBA3)三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 4)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等 例 1、已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.解：延长 AD 至 E 使 AE2AD，连 BE

3、，由三角形性质知 AB-BE 2ADAB+BE 故AD的取值范围是1AD4 例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长 FD 至 G 使 FG2EF，连 BG，EG,显然 BGFC，在EFG 中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三线合一知 EGEF 在BEG 中，由三角形性质知 EGBG+BE 故：EFBE+FC 例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.EDCBA 解：延长 AE 至 G 使 AG2AE，连 BG，DG,显然

4、 DGAC，GDC=ACD 由于 DC=AC，故 ADC=DAC 在ADB 与ADG 中，BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG 故ADBADG，故有BAD=DAG，即 AD 平分BAE 应用：1、以 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明

5、理由 ABC 解：（1）AMED2，EDAM；证明：延长 AM 到 G，使AMMG，连 BG，则ABGC 是平行四边形 BGAC，180BACABG 又180BACDAE DAEABG 再证：ABGDAE AMDE2，EDABAG 延长 MN 交 DE 于 H 90DAHBAG 90DAHHDA EDAM （2）结论仍然成立 G C H A B D M N E F C P A B D M N E 证明：如图，延长 CA 至 F，使FAAC，FA交 DE 于点 P，并连接 BF BADA，AFEA EADDAFBAF90 在FAB和EAD中 DABAEADBAFAEFA EADFAB（SAS）D

6、EBF，AENF 90AENAPEFFPD DEFB 又AFCA，MBCM FBAM/，且FBAM21 DEAM，DEAM21 二、截长补短 1、如图，ABC中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD，求证：CDAC 解：（截长法）在 AB 上取中点 F，连 FD ADB 是等腰三角形，F 是底 AB 中点，由三线合一知 DFAB，故AFD90 ADFADC（SAS）ACD AFD 90 即：CD A 2、如图，ADBC，EA,EB 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证;ABAD+BC 解：（截长法）在 AB 上取点 F，使 AFAD，连FE ADEAFE（SAS）EDCBA

7、ADEAFE，ADE+BCE180 AFE+BFE180 故ECBEFB FBECBE（AAS）故有 BFBC 从而;ABAD+BC PQCBA3、如图，已知在ABC 内，060BAC，040C，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法,计算数值法）延长 AB 至 D，使 BDBP，连 DP 在等腰BPD 中，可得BDP40 从而BDP40ACP DCBA ADPACP（ASA）故 ADAC 又QBC40QCB 故 BQQC BDBP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,A

8、DCD，BD 平分ABC，求证：0180CA 解：（补短法）延长 BA 至 F，使 BFBC，连 FD BDFBDC（SAS）故DFBDCB ，FDDC 又 ADCD 故在等腰BFD 中 DFBDAF P21DCBA故有BAD+BCD180 5、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 解：（补短法）延长 AC 至 F，使 AFAB，连 PD ABPAFP（SAS）故 BPPF 由三角形性质知 PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA 例 2 如图，在ABC 的边上取两点 D、E，且

9、BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,OEDCBA同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD，DC+AE=AC 证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60 度,则BAC+BCA=

10、120 度;AD,CE 均为角平分线,则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF.又 AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;AOF=AOE=60 度.则COF=AOC-AOF=60 度=COD;又 CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=OD DC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、B

11、E 的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接 BD，DC DG 垂直平分 BC，故 BDDC 由于 AD 平分BAC，DEAB 于E，DFAC 于 F，故有 EDDF 故 RTDBERTDFC（HL）故有 BECF。AB+AC2AE AE（a+b）/2 BE=(a-b)/2 EDGFCBA 应用：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关

12、系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。(第 23 题图)O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图 解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为FDFE （2）答：（1）中的结论FDFE 仍然成立。证法一：如图 1，在 AC 上截取AEAG，连结FG 21，AF 为公共边，AGFAEF AFGAFE，FGFE 60B，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线 6032 60AFGCFDAFE 60CFG F B E A C D 图 1 2 1 4

13、3 G 43及 FC 为公共边 CFDCFG FDFG FDFE 证法二：如图 2，过点 F 分别作ABFG 于点 G，BCFH 于点 H 60B，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线 可得6032，F 是ABC的内心 160GEF，FGFH 又1BHDF HDFGEF 可证DHFEGF FDFE F B E A C D 图 2 2 1 4 3 H G FEDCBA 五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 ABG 则 GE=GB+BE=DF+BE

14、=EF 又 AE=AE，AF=AG，所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF 又EAF+BAE+DAF=90 所以EAF=45 度 例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。(1)当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。(2)若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。解：(计算数值法)（1）连接 DC，D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，故有 CDAB，CDDA CD 平分BCA90，ECDDCA45 由于 DMDN，有EDN90 由于 CDAB，有CDA90 从而CDEFD

15、A 故有CDEADF（ASA）故有 DE=DF（2）SABC=2,S四 DECF=SACD=1 例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则AMN的周长为 ；解：(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC 的延长线与 BD 的延长线交于点F，在线段 CF 上取点 E，使 CEBM ABC为等边三角形，BCD为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=C

16、D，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，在DMN 和DEN 中，DM=DE MDN=EDN=60 DN=DN DMNDEN，MN=NE 在DMA 和DEF 中，DM=DE MDA=60-MDB=60-CDE=EDF (CDE=BDM)DAM=DFE=30 DMNDEN (AAS)，MA=FE AMN的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6 应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MB

17、N绕B点旋转到AECF时（如图 1），易证AECFEF 当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样 的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 解：（1）ADAB，CDBC，BCAB，CFAE CBFABE（SAS）；CBFABE，BFBE 120ABC，60MBN 30CBFABE，BEF为等边三角形 BFEFBE，BEAECF21 EFBECFAE（2）图 2 成立，图 3 不成立。证明图 2，延长 DC 至点 K，使AECK，连接（图 1）A B C D E F M N（图 2）A B C D E

18、F M N（图 3）A B C D E F M N BK 则BCKBAE BKBE，KBCABE 60FBE，120ABC 60ABEFBC 60KBCFBC 60FBEKBF EBFKBF EFKF EFCFKC 即EFCFAE 图 3 不成立，AE、CF、EF 的关系是EFCFAE 2、（西城 09 年一模）已知:PA=2,PB=4,以 AB为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PDK A B C D E F M N 图 2 的最大值,及相应APB 的大小.分析：（

19、1）作辅助线，过点 A作PBAE 于点 E，在PAERt中，已知APE，AP 的值，根据三角函数可将 AE，PE 的值求出，由 PB 的值，可求 BE 的值，在ABERt中，根据勾股定理可将 AB 的值求出；求 PD 的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点 A 顺时针旋转90得到ABP，可得ABPPAD，求 PD 长即为求BP的长，在PAPRt中，可将PP 的值求出，在BPPRt中，根据勾股定理可将BP的值求出；解法二：过点 P作 AB 的平行线，与 DA 的延长线交于 F，交 PB于 G，在AEGRt中，可求出 AG，EG 的长，进而可知 PG 的值，在PFGRt中，可求出 PF，在PDFR

20、t中，根据勾股定理可将 PD 的值求出；（2）将PAD绕点 A 顺时针旋转90，得到ABP，PD 的最大值即为BP的最大值，故当P、P、B 三点共线时，BP取得最大值，根据PBPPBP可求BP的最大值，此时135180PAPAPB 解：（1）如图，作PBAE 于点 E E P A D C B PAERt中，45APB，2PA 1222 PEAE 4PB 3PEPBBE 在ABERt中，90AEB 1022BEAEAB 解法一：如图，因为四边形 ABCD 为正方形，可将将PAD绕点 A 顺时针旋转90得到ABP，可得ABPPAD，BPPD，APPA 90PPA，45PAP，90PBP 2PP，2

21、PA 52422222PBPPBPPD；解法二：如图，过点 P 作 AB 的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G 在AEGRt中，可得310coscosABEAEEAGAEAG，31EG，32EGPEPG 在PFGRt中，可得510coscosABEPGFPGPGPF，1510FG P P A C B D E G F P A C B D E 在PDFRt中，可得 523101510105102222FGAGADPFPD（2）如图所示，将PAD绕点 A 顺时针旋转90,得到ABP，PD 的最大值，即为BP的最大值 BPP 中，PBPPBP，22PAPP，4PB且 P、D两点落在

22、直线 AB 的两侧 当P、P、B 三点共线时，BP取得最大值（如图）此时6PBPPBP，即BP的最大值为 6 此时135180PAPAPB 3、在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有 两 点M、N，D为ABC外 一 点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ；此时LQ ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当

23、DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=（用x、L 表示）分析：（1）如果DNDM，DNMDMN，因为DCBD，那么30DCBDBC，也就有903060NCDMBD，直角三角形 MBD、NCD 中，因为DCBD，DNDM，根据 HL 定理，两三角形全等。那么NCBM，60DNCBMD，三角形 NCD 中，30NDC，NCDN2，在三角形 DNM 中，DNDM，60MDN，因此三角形 DMN 是个等边三角形，因此BMNCNCDNMN2，三角形 AMN 的周长MNANAMQ AB

24、ACABNCMBANAM2，三角形 ABC 的周长ABL3，因此3:2:LQ（2）如果DNDM，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长 AC 至 E，使BMCE，连接 DE（1）中我们已经得出，90NCDMBD，那么三角形 MBD 和 ECD 中，有了一组直角，CEMB，DCBD，因此两三角形全等，那么DEDM，CDEBDM，60MDNBDCEDN 三角形MDN 和 EDN中，有DEDM，60MDNEDN，有一条公共边，因此两三角形全等，NEMN，至此我们把 BM 转换成了 CE，把 MN 转换成了 NE，因为CECNNE，因此CNBMMNQ 与 L 的关系的求法同（1），得出的结果是

25、一样的。图 1 N M A D C B（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过 D 作MDBCDH，三角形 BDM 和 CDH 中，由（1）中已经得出的90MBDCH，我们做的角CDHBDM，CDBD，因此两三角形全等（ASA）那么CHBM，DHDM，三角形 MDN 和 NDH 中，已知的条件有DHMD，一条公共边 ND，要想证得两三角形全等就需要知道HDNMDN，因为MDBCDH，因此120BDCMDH，因为60MDN，那么60120NDH 60，因此NDHMDN，这样就构成了两三角形全等的条件三角形 MDN 和 DNH 就全等了那么BMACANNHNM，三 角 形AM

26、N的 周 长BMABANMNAMANQ ABANBMACAN22因为xAN，LAB31，因此三角形AMN 的周长LxQ322 解：（1）如图 1，BM、NC、MN 之间的数量关系：MNNCBM；此时32LQ（2）猜想：结论仍然成立 证明：如图 2，延长 AC 至 E，使BMCE，连接 DE CDBD，且120BDC 30DCBDBC 又ABC是等边三角形 90NCDMBD 在MBD与ECD中 DCBDECDMBDCEBM ECDMBD（SAS）DEDM，CDEBDM 60MDNBDCEDN 在MDN与EDN中 DNDNEDNMDNDEDM EDNMDN（SAS）BMNCNEMN 故AMN的周长

27、MNANAMQ ABACABNCANBMAM2 E 图 2 N M A D C B H 图 3 N M A D C B 而等边ABC的周长ABL3 3232ABABLQ（3）如图 3，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若xAN，则LxQ322（用 x、L 表示）点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。P P A C B D P P A C B D 【全等三角形经典题型】4.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图 1 所示的四块（即图中标有 1、2

28、、3、4 的四块），你认为将其中的哪一些块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A第 1 块 B第2块 C第 3 块 D第 4 块 第 4 题图 23.（8 分）已知，在ABC中，=90ACB，BCAC=，点D是AB边上的中点，点E在AC边上，点F在BC边上，且CFAE=。试探究DFDE、两条线段之间的关系，并说明理由。第 23 题图 24.（8 分）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成四边形ABCD，把一个含60角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与ACAB、重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别于四边形的两边C

29、DBC、相较于点FE、时（如图a），通过观察或测量CFBE、的长度，你能得出什么结论？并说明理由。（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边CDBC、的延长线相较于点FE、时（如图b），你在（1）中得到的结论还成立吗？并说明理由。25.（10 分）（1）如图（1），正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AEAF 交CB的延长线 于F，猜 想AE与AF的 数 量 关 系为 。（说明理由）（2）如图（2）在（1）的条件下，连接AC，过点A作ACAM 交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系 。（不必说明理由）解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中=90BA，ADAB=

30、。王师傅想切下一刀后把它拼成正方形。请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼得示意图。王师傅现在有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图：若不能，简要证明理由。20、（本题满分 6 分）如图，线段AB经过线段CD的中点E，且ADAC.求证：BDBC 第20题EDCAB 25、（本题满分 10 分）如图，ACB和DCE均为等腰直角三角形，90DCEACB.点EDA、在同一条直线上，CM为DCE中边上的高，连接BE.（1）求AEB的度数 （2）猜想线段BEAECM、之间的数量关系，并说明理由.第25题EDMCAB 26、（本题满分10分）在等腰直角

31、三角形ABC中，ACABBAC，90,直线MN过点A且MNBC，以点B为一锐角顶点作BDERT，90BDE，且点D在直线MN上（不与点A重合）.（1）如图1，DE与AC交于点P，小明发现：过点D作AD的垂线交AB于点F，可以证明出DPBD.你也能证明出吗DPBD？请你写出证明过程.（2）在图2中，DE与AC延长线交于点P，DPBD 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（3）在 图3中，DE与AC延 长 线 交 于 点P，是否相等与DPBD？请直接写出你的结论，无需证明.第26题图3图2图1PPPEEEDDDCCCBBBAAANNNMMM 4、具备下列条件的两个三角形，不能判

32、断全等的是（）A、两边及其夹角分别相等的两个三角形 B、两角及其夹边分别相等的两个三角形 C、三边分别相等的两个三角形 D、两边且其中一条对应边的对角对应相等的两个三角形 19（6 分）如图，点E，F在BC上，CFBE，DCAB，CB.求证：DA。（第19题图）FEADCB 23.（8 分）如图，在ABC中，2 ACAB，40CB，点D在线段BC上运动（点D不与CB、重合），连接AD，作40ADE，DE交线段AC于E。（1）当20BAD时，EDC=_；（2）当DC等于多少时，DCEABD?请写出证明过程；（3）ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时BAD的度数；若不能，请说明理由。第2

33、4题图ECABD 如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E.(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.C B A E D 图N M A B C D E M N 图A C B E D N M 图 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连结AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD