2009年北京大学自主招生试题数学部分1262.pdf

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1、2009 年北京大学自主招生试题数学部分 1，设圆及其内接四边形 ABCD。已知 AB=1，BC=2，CD=3，DA=4，求圆的半径。2，设等差数列，其公差为正数。已知 29，41，57 都是其中的项，证明 2009 也是其中的项。3，问：是否存在实数 x 使得xtan3 和xcot3 都是有理数。4，不等式12coscosxbxa对任意实数x 都成立，求 a+b 的最大值。5，有 333 人考试，一共答对了 1000 道题。答对题数小于等于 3 为不及格，答对题数大于等于 6为优秀。已知不是所有人答对题数的奇偶性都相同，问：不及格的人多，还是优秀的多。2008 年北京大学自主招生试题数学部分

2、 1，证明：边长为 1 的正五边形的对角线长为251。2，六边形 AFBDCE，满足 EA=AF，FB=BD，DC=CE，及A+B+C=D+E+F。证明：三角形 ABC 面积为六边形的一半。3，两组实数 a,b,c 和 x,y,z 满足 a+b+c=x+y+z，ab+bc+ca=xy+yz+zx，及 mina,b,c小于等于minx,y,z。证明 maxa,b,c同样小于等于 maxx,y,z。4，在排球单循坏赛中，南方球队比北方球队多 9 支。最终，南方球队的总得分是北方球队的 9倍。证明：冠军是一支南方球队（胜得 1 分，败 0 分）。5，设空间直角坐标系 O-xyz。在 xOy 平面上的图形220 xy绕 y 轴旋转，得到不透光的几何体 B。在点 P(1,0,1)处有一光源，而在 xOy 平面上有一圆周以原点为圆心。圆周被照亮部分的长度为 2，求未被照亮部分的长度。