企业退休职工养老金问题的数学模型(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上企业退休职工养老金问题的数学模型一、 摘要本文通过对企业退休职工养老金制度的改革问题进行了探究，建立Logistic数学模型并使用Matlab来预测未来一段时间内职工的年平均工资，并利用预测数据来推算职工养老金替代率和未来职工的养老金缺口情况和收支平衡进行分析与计算。最后提出了合理建议使得建立的模型尽可能地满足目标替代率58.5%和养老保险基金收支平衡。关键词：Logistic数学模型 预测 替代率 收支平衡二、问题重述我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按

2、一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅

3、速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。

4、所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基

5、金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，该采取什么措施，请给出你的理由。三、模型的假设1、假设无论哪一年的个人账户储存额的一年期存款利率利率均为3%；2、假设企业职工都愿意参加并缴纳养老保险金；3、假设职工的工资平稳增长，不会受到它因素的影响（比如金融危机）；4、假设个人账户养老金领取完后，只发放基础养老金。四、符号说明y：年度平均工资；K：个人账户养老金；R：基础养老金；T：替代率；pi：自2000年起，第i年个人工资；五、模型分析问题一 要求对未来我国的经济发展和工资

6、增长形势做出假设，就要根据实际情况作出合理的假设；要求根据已知数据预测出未来的平均工资，就要根据达到中等发达国家水平后工资增长较慢来建立模型，当达到一定程度后增长速度可能会下降，甚至达到0。所以这就会想到Logistic数学模型。问题二 要求计算养老金替代率，而且在题目中已经给出了替代率的计算公式，只要找出退休时的养老金及退休的工资即可。问题三 在题目中提到养老保险基金的缺口即是指养老保险基金入不敷出时的收支出之差，收入就是社会统筹基金账户和个人账户的和，支出即发放给职工的养老金保险金额，由附录三养老金计算公式可以求得支出。问题四 既要达到目标替代率即题目中提到的，又要维持养老保险基金收支平衡

7、，而平衡既是指现在收入的与现在付出的差值为0。六、模型的建立与求解问题一模型：根据附表一所给数据我们用Matlab（代码见附录1）做出了如图1的年份与工资的关系图。图1 山东省职工历年平均工资统计图由图中的变化趋势，选用指数趋势线对数据进行拟合。设指数曲线的一般方程为其中的k1,k2表示待定系数。其中1978表示第一年，以此类推2010表示第33年，这里的t就是表示第几年。采用1978年至2010年的数据进行拟合，用Matlab软件计算可得(Matlab代码见附录2)： 所以拟合出来的函数为：带入t值2011-2035年山东省职工年平均工资的预测值（如表1所示）表1 用指数模型预测2011-2

8、035年山东省职工年平均工资年份2011201220132014201520162017年平均工资37832432004933156332643267345483878年份2018201920202021202220232024年平均工资95781年份2025202620272028202920302031年平均工资年份2032203320342035年平均工资通过表1中预测数据的分析，我们发现用指数增长模型所得的预测值在后面几年的逐期增长量过大，不符合实际，所以我们对指数模型进行修改，建立Logistic模型。由题中的意思和实际分析了解到工资的增长务必会随着年份的增长，增长速度会慢慢的渐下来

9、，不会一直往上增长。由这样的分析我们就会想到Logistic数学模型。设r为工资的增长速度也是在经济不发达时的自然增长速度，分析知日r会随着工资y的增长而减小，所以可将r表示为y的函数： （1)为了解释q可以引一个社会可达到的最高工资额ym，这样便可知道当时工资的增长率趋于0，由此便可知道：将此式带人（1）得： （2）因为单位时间内 的增量等于乘以,所以可得到如下关系：将（2）式带入得： 对此式求解得：我们利用1978年至2010年的山东省职工历年平均工资数据，用MATLAB软件拟合得r=0.1237,ym=所以拟合后的函数为：拟合的图像如图2所示。图2 Matlab拟合图由上式可以预测201

10、1-2035年的平均工资如表2所示。表2 Logistic模型对2011-2035年年平均工资的预测年份2011201220132014201520162017年平均工资36079405614556251133573276419971805年份2018201920202021202220232024年平均工资802019442099581年份2025202620272028202920302031年平均工资年份2032203320342035年平均工资问题二 对于问题二中求企业各年龄段职工工资与企业平均工资之比，可以先求出各年龄段的总工资，这时可以利用公式:即可求出该年龄段对应的工资段的总平均

11、工资。其中表示组中值，m表示该工资段的。表3 各年龄段职工工资与企业平均工资比值表年龄段年龄段的总工资比值各年龄段人数20-240.669128225-29.50.805026330-340.982524235-391.066622640-441.172822145-491.266619450-541.2086613555-59.51.15504101根据表3数据用Matlab绘制散点图（Matlab代码见附录3）如图3所示。图3 各年龄段职工工资与企业平均工资比值散点图根据散点图可看出其图像近似二次函数，并用Matlab拟合函数（代码见附录4）为:所以60-65岁的缴费指数参考值为1.096

12、8。下面就要计算养老金的替代率了，跟据题中所给信息和附件3中的公式了解到：（1）养老金=基础养老金+个人账户养老金。（2）个人账户养老金=个人账户储存额计发月数，用公式表示为：个人账户养老金；（3）基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）2缴费年限1%，用公式表示为：基础养老金 ；本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数，该指标能够反映参保人员在整个缴费年限的缴费工资平均水平。 能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资指标的计算公式为：。（4）替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例，计算公式为由（4）中公式计算问题二情况下的替

13、代率如表4所示。表4 不同年龄参保不同年龄退休的替代率开始交保险时年龄退休时年龄替代率30550.302430600.398730650.534240550.187840600.247940650.3287问题三 主要计算养老保险基金的缺口缺口以及养老金的收支平衡问题。要使收支平衡，即要使退休后每年养老金的累加额等于退休前养老金的缴费额的本息和。（1）参保人员退休后第年所领取的养老金额：；(2)参保人员缴纳养老金年后账户本息和；(3)退休年后参保人员养老金基金账户余额。当时表示员工缴存的养老保险金与其领取的养老保险金之间达到收支平衡时表明养老保险基金缺口。带入数据统筹基金比例20%，个人账户比

14、例8%，个人账户比例3%。表5 保险基金缺口与收支平衡年龄分布表年龄30-5530-6030-65额缺口（负表缺口）65872-平衡是年龄677381问题4 根据问题二的替代率公式以及问题三的分析知影响替代率及收支平衡的因素有：职工刚开始交养老保险时的年龄、退休年龄、养老金的领取等。所以针对这几个方面可有如下措施：1、 在其他量不变的情况下，开始交保年龄高一年，养老保险的缴费年限就会减少一年，总交款额会因此减少，个人账户储存额也就相对减少，从而个人账户养老金年领取额也降低。2、 提高退休年龄，则总贡献因缴费年限的延长而增加, 同时, 基础养老金因给付年限的缩短而减少。而贡献的增加会导致个人帐户

15、储存额增加, 相应地, 个人帐户养老金年给付额也增加, 但个人帐户养老金给付年限缩短,也有利于缺口问题的缓解。3、 养老保险金领取年限的长短对替代率没有多大的影响，但是对缺口的影响比较大，养老保险金的领取年限每增加1年，养老金缺口就会增加1.07%，缺口增大就会导致负债增加，因此为了平衡两者国家应禁止提前退休并鼓励延长退休年龄，在平均寿命不变的情况下来使得领取养老金的年限缩短，以此来减小养老金的缺口。七、附录附录1：t=1978:2010;F=566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,433

16、8,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,32074;plot(t,F,o)附录2： t=1:33;F=566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,32074; k0=0,1; k=lsqcurvefit(curvefun1,k0,t,F)k = 415.3480 -0.1327附录3： x=1:8; y=0.669 0.805 0.983 1.067 1.173 1.267 1.209 1.155; plot(x,y,o)附录4：x=1:8; y=0.669 0.805 0.983 1.067 1.173 1.267 1.209 1.155; a=polyfit(x,y,2)a = -0.0189 0.2457 0.4164专心-专注-专业