垂直平分线角平分线综合应用.docx

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1、垂直平分线 角平分线 综合应用 一解答题共30小题1如图，BAC=90，ADBC于点D，1=2，EFBC交AC于点F试说明AE=CF2如图，四边形ABCD中，B=90，ABCD，M为BC边上的一点，且AM平分BAD，DM平分ADC求证：1AMDM；2M为BC的中点3：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明4如图，B=C=90，DE平分ADC，AE平分DAB，求证：E是BC的中点5如图在ABC中C=90，AC=BC，AD平分CAB，DEAB于E，假设AB=6cm，求DEB的周长6如图，AD为BAC的平分线，DFAC

2、于F，B=90，DE=DC，试说明：BE=CF7如图，AD是ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，且SABC=7，DE=2，AB=4，求AC的长8如图，ABC=60，点D在AC上，ED=6，DEBC，DFAB，且DE=DF，求：1ABD的度数；2DB的长度9如图ADBC，DCAD，BAD的平分线交CD于点E，且点E是CD的中点问：1点E在ABC的平分线上吗？2AD+BC及AB的大小关系怎样？请证明10如图，四边形ABCD中，B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC1求证：AE平分BAD；2判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明；3假设AD=10，CB=8，求SADE11如图

3、，BD平分ABC交AC于点D，DEAB于E，DFBC于F，AB=6，BC=8，假设SABC=28，求DE的长12如图，在ABC中，ACB=90，BE平分ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC13：如图，AD是ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线14如图，在RtABC中，C=90，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D求证：CAB=AED15如图，在ABC中，DM、EN分别垂直平分AC与BC，交AB于M、N两点，DM及EN相交于点F1假设CMN的周长为15cm，求AB的长；2假设MFN=70，求MCN的度数16如图

4、，ABC中，BD平分ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF1假设A=60，ABD=24，求ACF的度数；2假设BC=5，BF：FD=5：3，SBCF=10，求点D到AB的距离17：如图，在ABC中，BAC=120，假设PM、QN分别垂直平分AB、AC1求PAQ的度数；2如果BC=10cm，求APQ的周长18电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m与n的距离也必须相等请在图中作出发射塔P的位置尺规作图，不写作法，保存作图痕迹19如图：DE是ABC中AC边的垂直平分线，假设BC=8 米，AB=10厘米，求EBC的周长

5、20如图，ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DGCE，点G为垂足1说明：DC=BE；2假设AEC=72，求BCE的度数21如下图，MP与 NQ分别垂直平分AB 与AC1假设BAC=105，求PAQ的度数；2假设PAQ=25，求BAC的度数22如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AEBE于点E，且BE=求证：AB平分EAD23如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DFAB于F求证：BDF=ADE24如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F1求证：点O在AB的垂直平分

6、线上；2假设CAD=20，求BOF的度数25如图1，RtABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD及直线NE相交于点F试判断DEF的形状，并加以证明说明：1如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后，可以从以下、中选取一个补充或者更换条件，完成你的证明1、画出将BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形ACKN，如图2附加题：如图3，假设点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判

7、断DEF的形状，并说明理由26如图，以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE与ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE及AM之间的关系说明：1如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后，可以从以下、中选取一个补充或更换条件，完成你的证明画出将ACM绕某一点顺时针旋转180后的图形；BAC=90如图附加题：如图，假设以ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角ABE与ACD，其它条件不变，试探究线段DE及AM之间的关系27如图，在RtABC中，C=90，A=60，AB=12cm，假设点P从B点出发以2cm/秒

8、的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒解答以下问题：1用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；2当t为何值时APQ是以PQ为底的等腰三角形？3当t为何值时PQBC？28如图，ABC中，C=Rt，AC=8cm，BC=6cm，假设动点P从点C开场，按CABC的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒1当t为何值时，CP把ABC的周长分成相等的两局部2当t为何值时，CP把ABC的面积分成相等的两局部，并求出此时CP的长；3当t为何值时，BCP为等腰三角形？29如图，在ABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点P从

9、点C出发，按CBA的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒1当t=1时，求ACP的面积2t为何值时，线段AP是CAB的平分线？3请利用备用图2继续探索：当t为何值时，ACP是以AC为腰的等腰三角形？直接写出结论30如图，ABC中，AB=AC，B、C的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F试答复：1图中等腰三角形是猜测：EF及BE、CF之间的关系是理由：2如图，假设ABAC，图中等腰三角形是在第1问中EF及BE、CF间的关系还存在吗？3如图，假设ABC中B的平分线BO及三角形外角平分线CO交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F这时图中还有等腰三角形吗？EF及BE、C

10、F关系又如何？说明你的理由垂直平分线 角平分线 综合应用_2021年03月11日的初中数学组卷参考答案及试题解析一解答题共30小题12021海淀区校级模拟如图，BAC=90，ADBC于点D，1=2，EFBC交AC于点F试说明AE=CF【分析】作EHAB于H，作FGBC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，那么EH=FG，通过证明AEHCFG即可【解答】解：作EHAB于H，作FGBC于G，1=2，ADBC，EH=ED角平分线的性质EFBC，ADBC，FGBC，四边形EFGD是矩形，ED=FG，EH=FG，BAD+CAD=90，C+CAD=90，BAD=C，又AHE=FGC=90

11、，AEHCFGAASAE=CF【点评】此题考察了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点22021秋宁江区期末如图，四边形ABCD中，B=90，ABCD，M为BC边上的一点，且AM平分BAD，DM平分ADC求证：1AMDM；2M为BC的中点【分析】1根据平行线的性质得到BAD+ADC=180，根据角平分线的定义得到MAD+ADM=90，根据垂直的定义得到答案；2作NMAD，根据角平分线的性质得到BM=MN，MN=CM，等量代换得到答案【解答】解：1ABCD，BAD+ADC=180，AM平分BAD，DM平分ADC，2MAD+2ADM=180，MAD+AD

12、M=90，AMD=90，即AMDM；2作NMAD交AD于N，B=90，ABCD，BMAB，CMCD，AM平分BAD，DM平分ADC，BM=MN，MN=CM，BM=CM，即M为BC的中点【点评】此题考察的是角平分线的性质，掌握平行线的性质与角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键32021春济南校级期末：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明【分析】当D为AB的中点时，AD为等腰三角形底边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一可知AD为A的平分线，又DEAB，DFAC，根据角平分线的性质可证DE=DF【解答】

13、解：当D为BC的中点时，DE=DF理由：AD为等腰三角形底边上的中线，AD平分BAC，又DEAB，DFAC，DE=DF【点评】此题考察了等腰三角形的性质，角平分线性质关键是运用等腰三角形的“三线合一解题42021春沭阳县期末如图，B=C=90，DE平分ADC，AE平分DAB，求证：E是BC的中点【分析】过点E作EFAD，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即刻得到结论【解答】证明：过点E作EFAD于F，B=C=90，CDBC，ABBC，DE平分ADC，AE平分DAB，CE=DF，EF=BE，CE=BE，E是BC的中点【点评】此题考察了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线

14、是解题的关键52021春潜江校级期中如图在ABC中C=90，AC=BC，AD平分CAB，DEAB于E，假设AB=6cm，求DEB的周长【分析】利用角平分线的性质求得AE=AC，CD=DE，然后利用线段中的等长来计算DEB的周长【解答】解：C=90，AD平分CAB，交BC于D，DEAB于E，AC=AE，CD=DE，AC=BC，B=45，BE=DE，DEB的周长=BE+DE+BD=BE+AC=AB=6cm【点评】此题考察了三角形的全等的性质；解题的关键是利用角平分线的性质求得AE=AC，CD=DE，要学会进展线段的等效转移62021秋监利县校级期中如图，AD为BAC的平分线，DFAC于F，B=90

15、，DE=DC，试说明：BE=CF【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF，再证明BDEFDC就可以求出结论【解答】解：B=90，BDABAD为BAC的平分线，且DFAC，DB=DF在RtBDE与RtFDC中，RtBDERtFDCHL，BE=CF【点评】此题考察了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键72021秋红安县期中如图，AD是ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，且SABC=7，DE=2，AB=4，求AC的长【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出ABD的面积，求出ADC面积，即可求出答案【解答】解：AD是ABC的

16、角平分线，DEAB，DFAC于点F，DE=DF=2，SADB=ABDE=42=4，ABC的面积为7，ADC的面积为74=3，ACDF=3，AC2=3，AC=3【点评】此题考察的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键82021春毕节市校级期中如图，ABC=60，点D在AC上，ED=6，DEBC，DFAB，且DE=DF，求：1ABD的度数；2DB的长度【分析】1根据DEBC，DFAB，且DE=DF，即可得出点D在ABC的角平分线上，由ABC=60，即可得出ABD=30；2根据在直角三角形中，含30角的直角边等于斜边的一半，即可得出DB的长【解答】解：1DEBC，

17、DFAB，且DE=DF，DB平分ABC，即ABD=ABC=60=30；2在直角三角形BFD中，DBC=ABC=60=30，DE=5，BD=2DE=12【点评】此题考察了角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，含30角的直角边等于斜边的一半92021秋东胜区校级月考如图ADBC，DCAD，BAD的平分线交CD于点E，且点E是CD的中点问：1点E在ABC的平分线上吗？2AD+BC及AB的大小关系怎样？请证明【分析】1连结BE，作EHAB于H，如图，利用角平分线的性质得ED=EH，而ED=EC，那么EC=EH，然后根据角平分线的判定方法即可得到BE平分ABC；2利用“HL可证

18、明RtADERtAHE得到AD=AH，同样可证明RtBCERtBHE得到BC=BH，于是有AD+BC=AH+BH=AB【解答】解：1连结BE，作EHAB于H，如图，AE平分BAD，EDAD，EHAB，ED=EH，点E是CD的中点，ED=EC，EC=EH，而ADBC，DCAD，ECBC，BE平分ABC，即点E在ABC的平分线上；2AD+BC=AB理由如下：在RtADE与RtAHE中RtADERtAHE，AD=AH，同样可证明RtBCERtBHE，BC=BH，AD+BC=AH+BH=AB【点评】此题考察了角平分线：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上也

19、考察了全等三角形的判定及性质102021秋襄城区月考如图，四边形ABCD中，B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC1求证：AE平分BAD；2判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明；3假设AD=10，CB=8，求SADE【分析】1过点E作EFDA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，根据等量代换可得BE=EF，再根据角平分线的判定可得AE平分BAD；2首先证明RtDFE与RtDCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代换可得结论；3根据角平分线的性质可得EF=CE，再利用三角形的面积公式可得答案【解答】1证明：过点E作EFDA于

20、点F，C=90，DE平分ADC，CE=EF，E是BC的中点，BE=CE，BE=EF，又B=90，EFAD，AE平分BAD2证明：AD=CD+AD，C=DFE=90，在RtDFE与RtDCE中，RtDFE与RtDCEHL，DC=DF，同理AF=AB，AD=AF+DF，AD=CD+AD；3解：CB=8，E是BC的中点，CE=4，EF=4，AD=10，SADE=104=20【点评】此题主要考察了角平分线的性质与判定，以及全等三角形的性质与判定，关键是掌握角平分线的性质与判定定理112021秋黄冈校级月考如图，BD平分ABC交AC于点D，DEAB于E，DFBC于F，AB=6，BC=8，假设SABC=2

21、8，求DE的长【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可【解答】解：BD平分ABC交AC于点D，DEAB，DFBC，DE=DF，SABC=28，AB=6，BC=8，6DE+8DF=28，DE=DF=4【点评】此题考察了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出DE=DF是解此题的关键122021历下区一模如图，在ABC中，ACB=90，BE平分ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC【分析】根据角平分线性质得出CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可【解答】证明：ACB=90，ACBC，

22、EDAB，BE平分ABC，CE=DE，DE垂直平分AB，AE=BE，AC=AE+CE，BE+DE=AC【点评】此题考察了角平分线性质与线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等132021萧山区二模：如图，AD是ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线【分析】由AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，BED=CFD=90，继而证得RtBEDRtCFD，那么可得B=C，证得AB=AC，然后由三线合一，证得AD是BC的中垂线【解答】证明：AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC

23、，DE=DF，BED=CFD=90，在RtBED与RtCFD中，RtBEDRtCFDSAS，B=C，AB=AC，AD是ABC的角平分线，AD是BC的中垂线【点评】此题考察了等腰三角形的性质及判定以及全等三角形的判定及性质注意掌握三线合一性质的应用142021怀柔区一模如图，在RtABC中，C=90，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D求证：CAB=AED【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论【解答】证明：DE是线段AB的垂直平分线，AE=BE，ADE=90，EAB=B在RtABC中，C=90，CAB+B=90在RtADE中，ADE=90，AED

24、+EAB=90，CAB=AED【点评】此题考察的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键152021秋农安县期末如图，在ABC中，DM、EN分别垂直平分AC与BC，交AB于M、N两点，DM及EN相交于点F1假设CMN的周长为15cm，求AB的长；2假设MFN=70，求MCN的度数【分析】1根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出CMN的周长=AB；2根据三角形的内角与定理列式求出MNF+NMF，再求出A+B，根据等边对等角可得A=ACM，B=BCN，然后利用三角形的内角与定理列式计算即可得解【解答】解

25、：1DM、EN分别垂直平分AC与BC，AM=CM，BN=CN，CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，CMN的周长为15cm，AB=15cm；2MFN=70，MNF+NMF=18070=110，AMD=NMF，BNE=MNF，AMD+BNE=MNF+NMF=110，A+B=90AMD+90BNE=180110=70，AM=CM，BN=CN，A=ACM，B=BCN，MCN=1802A+B=180270=40【点评】此题考察了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角与定理，2整体思想的利用是解题的关键162021春雁塔区校级期末如图，ABC中

26、，BD平分ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF1假设A=60，ABD=24，求ACF的度数；2假设BC=5，BF：FD=5：3，SBCF=10，求点D到AB的距离【分析】1根据线段垂直平分线的性质得到FB=FC，根据角平分线的定义得到CBA=48，根据三角形内角与定理计算即可；2根据三角形的面积公式求出DG，根据角平分线的性质解答即可【解答】解：1BD平分ABC，CBA=2CBD=2ABD=48，ACB=1806048=72，EF是BC的中垂线，FB=FC，FCB=FBC=24，ACF=7224=48；2作DGBC于G，DHAB于H，BD平分ABC，DGBC，DHAB，DH

27、=DG，BF：FD=5：3，SBCF=10，SDCF=6，SBCD=16，DG=，DH=DG=，即点D到AB的距离为【点评】此题考察的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是今天的关键172021春东明县期中：如图，在ABC中，BAC=120，假设PM、QN分别垂直平分AB、AC1求PAQ的度数；2如果BC=10cm，求APQ的周长【分析】1根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PA=PB，再根据等边对等角的性质可得PAB=B，同理求出QAC=C，然后根据三角形的内角与定理求出B+C=60，然

28、后进展计算即可得解；2求出APQ的周长=BC，然后代入数据即可得解【解答】解：1PM垂直平分AB，PA=PB，PAB=B，同理，QA=QC，QAC=C，BAC=120，B+C=180120=60，PAQ=BACPAB+QAC=BACB+C=12060=60；2由1可知：PA=PB，QA=QC，PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即APQ的周长为10cm【点评】此题考察了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质熟记解题的关键182021秋西市区校级期中电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条

29、高速公路m与n的距离也必须相等请在图中作出发射塔P的位置尺规作图，不写作法，保存作图痕迹【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上故两线交点即为发射塔P的位置【解答】解：设两条公路相交于O点P为线段AB的垂直平分线及MON的平分线交点或是及QON的平分线交点即为发射塔的位置如图，满足条件的点有两个，即P、P【点评】此题考察了线段的垂直平分线与角的平分线的性质，属根本作图题192021秋鹤庆县校级期中如图：DE是ABC中AC边的垂直平分线，假设BC=8 米，AB=10厘米，求EBC的周长【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形的周长公式计算即

30、可【解答】解：DE是ABC中AC边的垂直平分线，EA=EC，EBC的周长=BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+AB=18cm，答：EBC的周长为18cm【点评】此题考察的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键202021秋盐都区期中如图，ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DGCE，点G为垂足1说明：DC=BE；2假设AEC=72，求BCE的度数【分析】1由G是CE的中点，DGCE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是RtADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

31、得到DE=BE=AB，即可得到DC=BE；2由DE=DC得到DEC=BCE，由DE=BE得到B=EDB，根据三角形外角性质得到EDB=DEC+BCE=2BCE，那么B=2BCE，由此根据外角的性质来求BCE的度数【解答】解：1如图，G是CE的中点，DGCE，DG是CE的垂直平分线，DE=DC，AD是高，CE是中线，DE是RtADB的斜边AB上的中线，DE=BE=AB，DC=BE；2DE=DC，DEC=BCE，EDB=DEC+BCE=2BCE，DE=BE，B=EDB，B=2BCE，AEC=3BCE=72，那么BCE=24【点评】此题考察了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距

32、离相等也考察了直角三角形斜边上的中线性质212021秋与平区期中如下图，MP与 NQ分别垂直平分AB 与AC1假设BAC=105，求PAQ的度数；2假设PAQ=25，求BAC的度数【分析】1先根据三角形内角与等于180求出ABP+ACQ=75，再根据线段垂直平分线的性质PAB=ABP，QAC=ACQ，所以PAB+QAC=75，便不难求出PAQ的度数为30；2根据线段垂直平分线的性质，得AP=BP，AQ=CQ，那么B=BAP，C=CAQ，那么APQ=2B，AQP=2C；根据三角形的内角与定理，得APQ+AQP=180PAQ=150，那么B+C=75，进而求解【解答】解：1BAC=105，ABP+

33、ACQ=180105=75，MP、NQ分别垂直平分AB与AC，PB=PA，QC=QAPAB=ABP，QAC=ACQ，PAB+QAC=ABP+ACQ=75，PAQ=10575=30；2MP与NQ分别垂直平分AB与AC，AP=BP，AQ=CQ，B=BAP，C=CAQ，APQ=2B，AQP=2CPAQ=25，APQ+AQP=180PAQ=155，B+C=77.5BAC=B+C+PAQ=77.5+25=102.5【点评】此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质222021西城区一模如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AEBE于点E，且BE=求证：AB平

34、分EAD【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=BC，ADBC根据角平分线的判定定理即可得到结论【解答】证明：AB=AC，AD是BC边上的中线，BD=BC，ADBC，BE=BC，BD=BE，AEBE，AB平分EAD【点评】此题考察了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键232021黄冈模拟如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DFAB于F求证：BDF=ADE【分析】根据等腰三角形的性质得到BAD=CAD，ADB=ADC=90，根据等腰三角形的判定定理得到CAD=ADE根据余角的性质得到BAD=BDF，等量代换即可得到结论【解

35、答】证明：AB=AC，AD是ABC点的中线，BAD=CAD，ADB=ADC=90，E是AC的中点，DE=AE=EC，CAD=ADE在RtABD中，ADB=90，B+BAD=90DFAB，B+BDF=90，BAD=BDF，BDF=CAD，BDF=ADE【点评】此题考察了等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键242021春西藏校级期末如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F1求证：点O在AB的垂直平分线上；2假设CAD=20，求BOF的度数【分析】1根据等腰三角形的性质可得ADBC，根据垂直平分线的性质可得

36、BO=AO，依此即可证明点O在AB的垂直平分线上；2根据等腰三角形的性质可得BAD=CAD=20，CAB=40，再根据垂直的定义，等腰三角形的性质与角的与差应选即可得到BOF的度数【解答】1证明：AB=AC，点D是BC的中点，ADBC，AD是BC的垂直平分线，BO=CO，OE是AC的垂直平分线，AO=CO，BO=AO，点O在AB的垂直平分线上；2解：AB=AC，点D是BC的中点，AD平分BAC，CAD=20，BAD=CAD=20，CAB=40，OEAC，EFA=9040=50，AO=CO，OBA=BAD=20，BOF=EFAOBA=5020=30【点评】考察了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的

37、性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质252006大连如图1，RtABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD及直线NE相交于点F试判断DEF的形状，并加以证明说明：1如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后，可以从以下、中选取一个补充或者更换条件，完成你的证明1、画出将BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形ACKN，如图2附加题：如图3，假设点D、E是直线AC上两动点，其

38、他条件不变，试判断DEF的形状，并说明理由【分析】1要证DF=EF，就要证出FDE=FED，也就是BDA=NEC，观察这两个角，不能直接用角的大小关系或全等来得出相等，那么可通过构建全等三角形来得出一个与两个分别相等的中间值，以此来证出两角相等，那么可过C作CPAC，那么我们可通过证三角形ABD与APC全等来得出ADB=ACP，通过证三角形CPN与CEN全等来得出MEC=NPC先看第一对三角形，的条件有AB=AD，一组直角，而ABD与PAC都是ADB的余角，因此ABD=PAD，那么两三角形就全等，可得出AC=PC=CE，ADB=NPC，又知道了NCE=PCN=45，一条公共边CN，那么后面的一

39、对三角形也全等，就能得出ADB=MEC=NPC，也就能得出FDE=FED了由此可得证2解题思路与1一样，也是先证三角形ABD与APC全等，后证三角形CPN与CEN全等，来得出结论【解答】解：DEF是等腰三角形证明：如图，过点C作CPAC，交AN延长线于点PRtABC中AB=ACBAC=90，ACB=45PCN=ACB，BAD=ACPAMBDABD+BAM=BAM+CAP=90ABD=CAPBADACPAD=CP，ADB=PAD=CECE=CPCN=CNCPNCENP=CENCEN=ADBFDE=FEDDEF是等腰三角形附加题：DEF为等腰三角形证明：过点C作CPAC，交AM的延长线于点PRtA

40、BC中AB=ACBAC=90，ACB=45PCN=ACB=ECNAMBDABD+BAM=BAM+CAP=90ABD=CAPBADACPAD=CP，D=PAD=EC，CE=CP又CN=CNCPNCENP=ED=EDEF为等腰三角形【点评】此题主要考察了等腰三角形的判定与全等三角形的判定及性质；通过与所求条件正确的构建出全等三角形是解题的关键262006西岗区如图，以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE与ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE及AM之间的关系说明：1如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后，可以从以下、中选取一个补充或更换条件，完成你的证明画出将ACM绕某一点顺时针旋转180后的图形；BAC=90如图附加题：如图，假设以ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角ABE与ACD，其它条件不变，试探究线段DE及AM之间的关系【分析】1分三种情况讨论，当BAC=90，易得ABCAED；根据直角三角形的性质，可得ED=2AM；进而可以在BAC90及BAC90时，比拟可得有ED=2AM的结论；2根据1的结论，选取易得答案【解答】解：1分三种情况；当BAC=90，M是BC的中点AM