一元二次方程的实根分布问题.doc

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1、一元二次方程的实根分布问题问题1. 试讨论方程的根的情况。（1） 根的个数：b、c满足什么条件时，方程有两个不等的实根？相等实根？无实根？（2） 根的大小：b、c满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？一正根、一负根？一根为0？（3） 根的范围：b、c满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1？一根小于1，一根大于1？说明 对于一元二次方程的根的研究，主要分为四个方面A有没有实数根；B有实数根时，两根相等还是不等；C根的正负；D根的分布范围。利用根的判别式，可以解决A，B，结合运用韦达定理，可以解决C。而要解决D，需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。思路1 方程思想设（1） 方程有两个

2、大于1的实根的充要条件是： （2） 方程有两个小于1的实根的充要条件是：（3） 方程有一根大于1，一根小于1的充要条件是思路2 函数思想设，结合图形，那么1 方程有两根都大于1的条件是： （2） 方程有两根都小于1的条件是：（3） 方程有两根一个大于1，小于1的条件是：令，导出下题。问题2 关于x的方程，分别在以下条件下，求实数n的取值范围。1有一个根小于1，一个根大于1；2两根均在内。解：1设为使有一个根小于1，一个根大于1，那么有即为所求。2两根均在内的充要条件是即为所求。思考：1中为什么不考虑？2中为什么要考虑四个条件，缺一行吗？问题3 假设关于x的方程有两个不同的实数根，且只有一根在1

3、，2内，求a的取值范围。解：令，（1） 假设方程在1，2上有一根。（2） 假设，此时a=8, 方程的两根为适合题意。（3） 假设，此时a=4，方程的两根为不适合题意。综上所述，a的取值范围是说明：在进展一元二次方程根的讨论时，一定要注意是在方程有实根的前提下进展的，所以“D0千万不可漏掉，对于一元二次方程根的讨论，通常有以下几种情况：1有两个正根的条件是当a0时，简化为2有两负根的条件是当a0时，简化为3两根异号的条件是0a0，简化为c04两根异号，且正根绝对值大的条件是当a0时，简化为5两根异号，且负根绝对值大的条件是当a0时，简化为例4如果关于x的方程3x5m0的两个实数根都小于1求实数m的取值范围分析：我们知道，两数、都为负数的条件是，那么是不是，就可由来决定呢？不，不能我们通常是将，转化为，从而由来解决解：设原方程的两个根为、，那么+=，=m由题意，知1，1， 10，10 110，+10，m+10 m1又 =9425m=940m0 m， 1m说明：利用根与系数的关系确定方程中字母的取值范围时，首先要由0或0，及方程中根的分布情况建立字母系数的不等式组，这里的关键是条件的等价变形与转化第 4 页