竞赛课件两角和与差.ppt

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1、竞赛课件两角和与差辅助角公式：辅助角公式：一、温故知新一、温故知新二、二倍角公式的变形二、二倍角公式的变形升幂公式升幂公式降幂公式降幂公式一、温故知新一、温故知新二倍角公式二倍角公式 二倍角公式中的二倍角公式中的sin2,cos2sin2,cos2能否用能否用tantan来表示？来表示？提示提示:能能.1.cos33cos87+sin33cos1771.cos33cos87+sin33cos177的的值为值为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选B.cos33cos87+sin33cos177B.cos33cos87+sin33cos177=cos33sin3

2、-sin33cos3=cos33sin3-sin33cos3=sin(3-33)=-sin30=.=sin(3-33)=-sin30=.2.2.已知已知tan(+)=3,tan(-)=5,tan(+)=3,tan(-)=5,则则tan2=tan2=（）(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析】【解析】选选D.tan2=tanD.tan2=tan(+)+(-)(+)+(-)3.3.如果如果coscos2 2-cos-cos2 2=a=a，则则sin(+)sin(-)sin(+)sin(-)等于等于（）（A A）（B B）（C C）-a -a （D D）a a【解析】【解析】选选C.

3、sin(+)sin(-)C.sin(+)sin(-)=(sincos+cossin)(sincos-cossin)=(sincos+cossin)(sincos-cossin)=sin=sin2 2coscos2 2-cos-cos2 2sinsin2 2=(1-cos=(1-cos2 2)cos)cos2 2-cos-cos2 2(1-cos(1-cos2 2)=cos=cos2 2-cos-cos2 2=-a.=-a.1.cos33cos87+sin33cos177的值为的值为2.已知已知tan(+)=3,tan(-)=5,则则tan2=（）4.若若 则则2sin2-cos2=_.若若 则

4、则 =_.4.4.若若 则则2sin2sin2 2-cos-cos2 2=_.=_.【解析】【解析】由由 得，得，2+2tan=3-3tan,2+2tan=3-3tan,答案答案:5.5.化化简简：=_.=_.【解析】【解析】答案答案:1.1.两角和与差的三角函数公式的理解两角和与差的三角函数公式的理解(1)(1)正弦公式概括正弦公式概括为为“正余，余正符号同正余，余正符号同”“符号同符号同”指的是前面是两角和，指的是前面是两角和，则则后面中后面中间为间为“+”“+”号；号；前面是两角差，前面是两角差，则则后面中后面中间为间为“-”“-”号号.(2)(2)余弦公式概括余弦公式概括为为“余余，正

5、正符号异余余，正正符号异”.”.(3)(3)二倍角公式二倍角公式实际实际就是由两角和公式中令就是由两角和公式中令=可得可得.特特别别地，地，对对于余弦于余弦:cos2=cos:cos2=cos2 2-sin-sin2 2=2cos=2cos2 2-1=1-1=1-2sin2sin2 2，这这三个公式各有用三个公式各有用处处，同等重要，特，同等重要，特别别是逆用即是逆用即为为“降降幂幂公式公式”，在考，在考题题中常有体中常有体现现.2.2.弦切互化公式弦切互化公式对对于弦切互化于弦切互化 有有时时也起到也起到简简化解化解题过题过程的作用程的作用.三角函数式的化三角函数式的化简简【例【例1 1】化

6、】化简简下列各式：下列各式：(1)(1)【审题指导】【审题指导】对于含有根式的三角函数，化简一般采用倍角对于含有根式的三角函数，化简一般采用倍角公式转化为完全平方式后开根号，若含有常数可采用倍角公公式转化为完全平方式后开根号，若含有常数可采用倍角公式将常数化掉式将常数化掉.【自主解答】【自主解答】(1)(1)原式原式因为因为000)x(0)的最的最小正周期小正周期为为 (1)(1)求求的的值值；（2 2）若函数）若函数y=g(x)y=g(x)的的图图象是由象是由y=f(x)y=f(x)的的图图象向右平移象向右平移 个个单单位位长长度得到度得到,求求y=g(x)y=g(x)的的单调单调增区增区间

7、间.【审题指导】【审题指导】本例可将原函数平方展开本例可将原函数平方展开,利用同角三角函数基利用同角三角函数基本关系式及倍角公式和两角和与差的逆用化为一个角的一个本关系式及倍角公式和两角和与差的逆用化为一个角的一个三角函数，再利用周期可求三角函数，再利用周期可求，利用图象变换可求，利用图象变换可求g(x)g(x)的单的单调增区间调增区间.【规范解答】【规范解答】(1)f(x)=sin(1)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x+2sinxcosxx+2sinxcosx+1+cos2x=sin2x+cos2x+2+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=sin(2x+)+2,=s

8、in(2x+)+2,依题意得依题意得 故故(2)(2)依题意得依题意得由由解得解得故故g(x)g(x)的单调增区间为的单调增区间为【规律方法】【规律方法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用需要利用这些公式，先把函数解析式化为这些公式，先把函数解析式化为y=Asin(x+)y=Asin(x+)的形式，再的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质性、对称性等性质.三角函

9、数、三角恒等三角函数、三角恒等变换变换的的综综合合问题问题【典例】（【典例】（20102010湖南高考）已知函数湖南高考）已知函数(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的最大的最大值值；(2(2）求函数）求函数f(x)f(x)的零点的集合的零点的集合.【审题指导】【审题指导】由已知利用降幂公式及由已知利用降幂公式及 将函数化为同一个角的三角函数，而后求解即可得将函数化为同一个角的三角函数，而后求解即可得结果结果.第第(2)(2)问可解方程求解问可解方程求解.两角和与差及倍角公式解答两角和与差及倍角公式解答题题的答的答题题技巧技巧【典例】（【典例】（1212分）（分）（20102010北京高考

10、）已知函数北京高考）已知函数f(x)=2cos2x+sinf(x)=2cos2x+sin2 2x.x.(1)(1)求求 的的值值；(2(2)求求f(x)f(x)的最大的最大值值和最小和最小值值.【审题指导】【审题指导】利用倍角公式展开和同角三角函数关系转化求利用倍角公式展开和同角三角函数关系转化求解，也可利用倍角公式逆用转化求解解，也可利用倍角公式逆用转化求解.【规范解答】【规范解答】方法一方法一:4 4分分(2)f(x)=2(2cos(2)f(x)=2(2cos2 2x-1)+(1-cosx-1)+(1-cos2 2x)x)=3cos=3cos2 2x-1,xR.x-1,xR.cosxcos

11、x-1,1-1,1,cos,cos2 2xx0,10,1，1010分分当当cosx=1cosx=1时时,f(x),f(x)maxmax=2.=2.当当cosx=0cosx=0时，时，f(x)f(x)minmin=-1.12=-1.12分分方法二方法二:(1):(1)由由f(x)=2cos2x+sinf(x)=2cos2x+sin2 2x x得得 4 4分分(2)xR,cos2x(2)xR,cos2x-1,1-1,1.9 9分分 12 12分分【失分警示】【失分警示】本题考查二倍角公式的正用、逆用及其性质，本题考查二倍角公式的正用、逆用及其性质，属容易题，掌握好公式是关键，其失分原因主要有：一是

12、特属容易题，掌握好公式是关键，其失分原因主要有：一是特殊角的三角函数值记不清，二是运算错误造成失分殊角的三角函数值记不清，二是运算错误造成失分.解决此类问题的失分点主要是：解决此类问题的失分点主要是：1.1.不能对所给函数式准确化简造成失分不能对所给函数式准确化简造成失分.2.2.求最值或取值范围问题忽略相应变量的取值范围造成失分求最值或取值范围问题忽略相应变量的取值范围造成失分.函数函数 的最小正周期是的最小正周期是_.2.（2010全国全国）已知）已知 则则cos(-2)=（）(A)(B)(C)(D)已知已知为第二象限角，为第二象限角，则则tan2=_.1.(20111.(2011福州模拟

13、福州模拟)将函数将函数 的图象向左平的图象向左平移移m m个单位个单位(m0)(m0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则，若所得图象对应的函数为偶函数，则m m的最的最小值是小值是()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析】【解析】选选A.A.由由 向左平移向左平移m m个个单位后得单位后得g(x)=2sin(x-+m),g(x)=2sin(x-+m),若若g(x)g(x)是偶函数是偶函数,则则m-=m-=k+(kZ),k+(kZ),m=k+(kZ),mm=k+(kZ),mminmin=.=.2.(20102.(2010陕西高考陕西高考)对于函数对于函数f(x)=2sinx

14、cosxf(x)=2sinxcosx，下列选项中，下列选项中正确的是正确的是()()(A)f(x)(A)f(x)在在 上是递增的上是递增的(B)f(x)(B)f(x)的图象关于原点对称的图象关于原点对称(C)f(x)(C)f(x)的最小正周期为的最小正周期为22(D)f(x)(D)f(x)的最大值为的最大值为2 2【解析】【解析】选选B.f(x)=2sinxcosx=sin2x,B.f(x)=2sinxcosx=sin2x,其增区间为其增区间为 kZ kZ且且f(x)f(x)是奇函数是奇函数,图象关于原点对称，最图象关于原点对称，最小正周期小正周期T=T=，f(x)f(x)maxmax=1,=

15、1,故选故选B.B.3.(20113.(2011银银川模川模拟拟)已知已知 且且sin-cos1,sin-cos1,则则sin2=sin2=（）【解析】【解析】选选A.sin=sin-cos1,cos1,cos0,在第二象限，在第二象限，4.(20114.(2011长长沙模沙模拟拟)已知已知cos(-)=,cos(-)=,则则的的值为值为()()【解析】【解析】选选B.B.5.(20115.(2011南通模南通模拟拟)满满足足 的的锐锐角角x=_.x=_.【解题提示】【解题提示】利用两角和的余弦公式的逆用化为一个角的三利用两角和的余弦公式的逆用化为一个角的三角函数后解方程可得角函数后解方程可得

16、.【解析】【解析】由题意知由题意知即即 故故 又因为又因为x x为锐角，为锐角，故故答案答案:一、选择题一、选择题(每小题每小题4 4分，共分，共2020分分)1.(20111.(2011山师大附中模拟山师大附中模拟)若若 则则的值为的值为()()【解析】【解析】选选D.D.故故2.(cos15-cos75)(sin75+sin15)=()2.(cos15-cos75)(sin75+sin15)=()(A)(B)(C)(D)1(A)(B)(C)(D)1【解析解析】选选C.C.原式原式=(cos15-sin15)(cos15+sin15)=(cos15-sin15)(cos15+sin15)=c

17、os=cos2 215-sin15-sin2 215=cos30=.15=cos30=.3.3.已知已知 则则f()f()取得最大取得最大值时值时的的值值是是()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析】【解析】选选B.B.当当 即即 时，函数时，函数f()f()取得最大值取得最大值.4.(20114.(2011长长沙模沙模拟拟)函数函数y=2sin(-x)-cos(+x)y=2sin(-x)-cos(+x)(x(0,)(x(0,)，则则函数函数()()(A)(A)有最小有最小值值-1,-1,无最大无最大值值(B)(B)有最大有最大值值1 1，无最小，无最小值值(C)(C)有

18、最小有最小值值 最大最大值值1 1(D)(D)有最小有最小值值-1-1，最大，最大值值【解析】【解析】选选A.y=2sin cosx-2cos sinx-A.y=2sin cosx-2cos sinx-cos cosx+sin sinxcos cosx+sin sinx=cosx-sinx=cos(x+).=cosx-sinx=cos(x+).0 x,0 x,函数有最小值函数有最小值-1,-1,无最大值无最大值.5.(20115.(2011杭州模杭州模拟拟)已知已知 且且x,yx,y为锐为锐角，角，则则tan(x-y)=()tan(x-y)=()【解题提示】【解题提示】解答本题的关键是利用已知

19、条件求出解答本题的关键是利用已知条件求出cos(x-y)cos(x-y)的值，然后结合的值，然后结合x,yx,y的范围及同角三角函数关系式求的范围及同角三角函数关系式求出相应的值出相应的值.【解析】【解析】选选B.B.由由两边平方得两边平方得 由由 两边平方得两边平方得 +得得 且且xy,x0,0,x x为为月份）的模型波月份）的模型波动动,已知已知3 3月份达最高价月份达最高价8 8千元，千元，7 7月份价月份价格最低格最低为为4 4千元千元.该该商品每件的售价商品每件的售价为为g(x)(xg(x)(x为为月份月份)且且满满足足g(x)=f(x-2)+2.g(x)=f(x-2)+2.(1)(1)求求f(x),g(x)f(x),g(x)的解析式；的解析式；(2)(2)一年内几个月能盈利？一年内几个月能盈利？【解析】【解析】（1 1）由）由 题意得题意得且且T=8T=8，故，故(2)(2)要使商家盈利则只需要使商家盈利则只需g(x)f(x),g(x)f(x),即即即即即即故故8k+3x8k+9,kZ,8k+3x8k+9,kZ,1x12,kZ,1x12,kZ,k=0k=0时时,3x9,3x9,k=1k=1时时,11x17,11x17,故故x=4,5,6,7,8,12,x=4,5,6,7,8,12,故故4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、1212六个月能盈利六个月能盈利.谢谢大家！