20182019年北京市东城区高三数学一模理科试题.doc

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1、 北京市东城区2019学年度第二学期综合练习（一）高三数学（理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合，那么集合为（A） （B） （C） （D） （2）已知为平行四边形，若向量，则向量为（A） （B） （C） （D） （3）已知圆的方程为，那么该圆圆心到直线（为参数）的距离为（A） （B） （C） （D

2、）（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（A） （B） （C） （D）（5）已知数列中，那么数列的前项和等于高考资源*网（A） （B） （C） （D）（6）已知，分别是双曲线：的两个焦点，双曲线和圆：的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为（A） （B） （C）（D）（7）已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为（A）或 （B）或 （C）或 （D）或（8）已知向量，是坐标原点，若

3、，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到.现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，如此下去，经过一次变换后得到.设，则等于（A） （B） （C） （D）第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）复数的虚部是 . （10）的展开式中的系数是 （11）如图是甲、乙两名同学进入高中以来次体育测试成绩的茎叶图，则甲次测试成绩的平均数是 ，乙次测试成绩的平均数与中位数之差是 （12）如图，已知与圆相切于，半径，交于，若,，则 ， （13）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有 种 （1

4、4）数列an的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若， 则位于第10行的第8列的项等于 ，在图中位于 （填第几行的第几列）三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）在中，三个内角，的对边分别为，且（）求角；（）若，求的最大值（16）（本小题共14分）如图，已知是直角梯形，且，平面平面， 是的中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值（17）（本小题共13分）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片

5、上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.（）求所得奖品个数达到最大时的概率；（）记奖品个数为随机变量，求的分布列及数学期望.（18）（本小题共14分）已知函数，（为常数，为自然对数的底）（）当时，求；（）若在时取得极小值，试确定的取值范围； （）在（）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（ 为确定的常数）相切，并说明理由（19）（本小题共13分）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为 （）求椭圆的方程；（）过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值（20）（

6、本小题共13分）设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中 称为数组的“元”，称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为. （）若，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值； （）若，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；（）若数组中的“元”满足.设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数的最大值.北京市东城区2019学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）A （8

7、）B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13） （14） 第行的第列注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分） 解：（）因为，由正弦定理可得， 因为在中，所以.又，所以.（）由余弦定理 ，因为，所以.因为，所以.当且仅当时，取得最大值. （16）（共14分）证明（）取的中点，连结， 因为是的中点，所以， 因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形 所以因为平面，平面，所以平面 （）因为，平面平面，所以以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平

8、面内由已知可得，所以， 设平面的法向量为由所以取，所以 又因为平面的一个法向量为所以 即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为（17）（共13分）（）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为：（）的可能取值是：0246810所以 （18）（共14分）解：（）当时，所以令，得或当，即时，恒成立，此时在区间上单调递减，没有极小值；当，即时， 若，则若，则所以是函数的极小值点 当，即时，若，则若，则 此时是函数的极大值点综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是 （）由（）知当，且时，因此是的极大值点，极大值为所以 令则恒成立，即在区间上是增函数所以当时，即恒有又直线的斜率为，所以曲线不能与直线相切

9、 （19）（共13分）解：（I）由题意知，所以因为所以，所以 所以椭圆的方程为 （II）由题意,当直线的斜率不存在，此时可设，.又，两点在椭圆上，所以，所以点到直线的距离 当直线的斜率存在时，设直线的方程为由消去得由已知设，所以，因为，所以所以即所以整理得，满足 所以点到直线的距离为定值 （20）（共13分）解：（）依据题意，当时，取得最大值为2 （）当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中由，得 当且仅当，且时，达到最大值，于是 当不是中的“元”时，计算的最大值，由于，所以当且仅当时，等号成立即当时，取得最大值，此时综上所述，的最大值为1 （）因为满足由关系的对称性，只需考虑与的关系数的情况当时，有即，且，时，的最大值为当时，得最大值小于所以的最大值为第 12 页