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1、将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用(将军饮马问题)2、如图所示,如果将军从马棚M出发,先赶到河OA上的某一位置P,再马上赶到河OB上的某一位置Q,然后立即返回校场N请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q),使得总路程MPPQQN最短【变式】如图所示,将军希望从马棚M出发,先赶到河OA上的某一位置P,再马上赶到河OB上的某一位置Q请为将军设计一条路线(即选择点P和Q),使得总路程MPPQ最短3、将军要检阅一队士兵,要求(如图所示):队伍长为a,沿河OB排开(从点P到点Q);将军从马棚M出发到达队头P,从P至Q检阅队伍后再赶到校场N请问:在什么位置列队(即选择点P和Q),可以使
2、得将军走的总路程MPPQQN最短?4. 如图,点M在锐角AOB内部,在OB边上求作一点P,使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小5已知MON内有一点P,P关于OM,ON的对称点分别是和,分别交OM, ON于点A、B,已知15,则PAB 的周长为( )A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知AOB,试在AOB内确定一点P,如图,使P到OA、OB的距离相等,并且到M、N两点的距离也相等.7、已知MON40,P为MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当PAB的周长取最小值时,求APB的度数.8. 如图,在四边形ABCD中,A90,AD4,连接BD,BDCD,ADBC
3、.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为_. 练习1、已知点在直线外,点为直线上的一个动点,探究是否存在一个定点,当点在直线上运动时,点与、两点的距离总相等,如果存在,请作出定点;若不存在,请说明理由2、 如图,在公路的同旁有两个仓库、,现需要建一货物中转站,要求到、两仓库的距离和最短,这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理?3、 已知:、两点在直线的同侧, 在上求作一点,使得最小4、如图,正方形中,是上的一点,且,是上的一动点,求的最小值与最大值5、如图,已知AOB内有一点P,试分别在边OA和OB上各找一点E、F,使得PEF的周长最小。试画出图形,并说明理由。6、如图,直角坐标系中有两点
4、A、B,在坐标轴上找两点C、D,使得四边形ABCD的周长最小。.A. B7、如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?8、,当x为何值时,y的值最小,并求出这个最小值.9、在平面直角坐标系中,A(1,-3)、B(4,-1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形PABN的周长最小时,求a的值.10、如图,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,D=120,点E、F是底边AD与BC的中点,连接EF,在线段EF上找一点P,使BP+AP最短 练习1、观察下列银行标志,从图案看既是轴对称图形又是中心对
5、称图形的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个2、以下图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A等边三角形 B矩形 C等腰梯形 D平行四边形3、在下列四个图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是4、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中,是中心对称图形的个数为( )A1个 B2个 C3个 D4个5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲)结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是(
6、)(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分(C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行6、对右图的对称性表述,正确的是( )A 轴对称图形 B中心对称图形 C既是轴对称图形又是中心对称图形 D既不是轴对称图形又不是中心对称图形7、如图,ABC是由ABC经过变换得到的,则这个变换过程是(A)平移(B)轴对称 (C)旋转 (D)平移后再轴对称CBABBCABCC8、如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E(1)记ODE的面积为S,求S关于的函数关系式;(2
7、)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,9、探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.CDBAEO【答案】(1)由题意得B(3,1)若直线经过点A(3,0)时,则b若直线经过点B(3,1)时,则b若直线经过点C(0,1)时,则b1若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1b,如图25-a,图1 此时E(2b,0)SOECO2b1b若直线与折线OAB的交点在BA上时,即b,如图2图2此时E(3,),D(2b2,1)SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)1(52b)()3(
8、)(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制!图3由题意知,DMNE,DNME,四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知,MEDNED又MDENED,MEDMDE,MDME,平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA,垂足为H,由题易知,tanDEN,DH1,HE2,设菱形DNEM 的边长为a,则在RtDHM中,由勾股定理知:,S四边形DNEMNEDH矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为10如图,在平面直角坐标系中, AB
9、C的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(-1,1),C(-1,3)。(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1,并写出点C1的坐标;(2)画出ABC绕原点O顺时针方向旋转90后得到的A2B2C2,并写出点C2的坐标;,(3)将A2B2C2平移得到 A3B3C3,使点A2的对应点是A3,点B2的对应点是B3 ,点C2的对应点是C3(4,-1),在坐标系中画出 A3B3C3,并写出点A3,B3的坐标。【答案】(1)C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1)11、分别按下列要求解答:(1)在图1中,将ABC先向左平移5个单位,再作关于直线AB的轴对称图形,经
10、两次变换后得到A1B1 C1.画出A1B1C1;(2)在图2中,ABC经变换得到A2B2C2.描述变换过程.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1211121110987654321ABCA2B2C20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1211121110987654321ABC【答案】(1) 如图 (2) 将ABC先关于点A作中心对称图形,再向左平移2个单位,得到A2B2C2(变换过程不唯一)12、(1)观察发现 如题26(a)图,若点A,B在直线同侧,在直线上找一点P,使AP+BP的值最小 做法如下:作点B关于直线的对称点,连接,与直线的交点就是所求的点P 再如题26(
11、b)图,在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小 做法如下:作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,则这 点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为 题18(a)图 题18(b)图 (2)实践运用 如题26(c)图,已知O的直径CD为4,AD的度数为60,点B是的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值题18(c)图 题18(d)图 (3)拓展延伸 如题26(d)图,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使APB=APD保留作图痕迹,不必写出作法 【答案】解:(1);(2)如图:作点B关于CD的对称点E,则点E正好在圆周上,连接OA、OB、OE,连接AE交CD与一点P,AP+BP最短,因为AD的度数为60,点B是的中点,所以AEB=15,因为B关于CD的对称点E,所以BOE=60,所以OBE为等边三角形,所以OEB=60,所以OEA=45,又因为OA=OE,所以OAE为等腰直角三角形,所以AE=.(3)找B关于AC对称点E,连DE延长交AC于P即可,13、如图所示,A、B两村之间有一条河,河宽为a,现要在河上修一座垂直于河岸的桥,()要使AB两村路程最近,请确定修桥的地点。()桥建在何处才能使AB两村到桥的距离相等?第 11 页
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