通信原理——随机信号分析.ppt

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1、华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程本章主要内容随机过程的基本概念平稳随机过程高斯随机过程平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声高斯白噪声和带限白噪声华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程信号分为确知信号和随机信号，在信号与系统中，详细讨论了确知信号的分析问题。实际的通信系统中传输的信号都是随机的，如话音信号、图像信号等；系统中的噪声也是随机的。因而，通信原理课程所涉及的信号一般为随机信号。下面，我们将在回顾概率论有关概念的基础上，详细讨论随机信号分析问题。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机变量的基本概念和统计特性随机变量的基本概念和统计特性随机变量对于某随机试验，有

2、许多种可能的结果，我们可以规定一些数值来对应表示各个可能的结果。如果引入一个变量X表示试验结果，则X将随机地取某些值，而对应每一个可能的值，有一个概率，这一变量X就称为随机变量。例如：抛硬币试验，可能有两种结果：一种是正面向上，另一种是反面向上。我们规定数值1表示正面向上，数值0表示反面向上。引入变量X表示试验结果，则X将随机地取1或0，而对应于1和0，有一个概率，则X就是随机变量。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机变量的基本概念和统计特性随机变量的基本概念和统计特性当随机变量X只能取有限值时，则称之为离散随机变量，当随机变量在某一区间内取值时，则称之为连续随机变量。华北水利水电学院信息工程

3、系 王玲随机变量的基本概念和统计特性随机变量的基本概念和统计特性概率分布函数和概率密度函数 设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数 F(x)=PXx F(x)称为随机变量X的概率分布函数。设X是一连续随机变量，其分布函数为F(x)，对于F(x)，若对于任意x，存在 (导数关系)则函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数。华北水利水电学院信息工程系 王玲二维随机变量和二维概率分布设E是一个随机试验，它的样本空间S=e，设X和Y是定义在S上的两个随机变量，则由X和Y构成的向量(X,Y)，叫做二维随机变量/向量。设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：F(x,y)=PXx,Yy

4、称为二维随机变量(X,Y)的概率分布函数。随机变量的基本概念和统计特性随机变量的基本概念和统计特性华北水利水电学院信息工程系 王玲对于连续二维随机变量(X,Y)的概率分布函数F(x,y)，如果对于任意x,y，有：f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度函数。随机变量的基本概念和统计特性随机变量的基本概念和统计特性华北水利水电学院信息工程系 王玲随机变量的基本概念和统计特性随机变量的基本概念和统计特性随机变量的数字特征(期望，方差，协方差，相关系数)数学期望 设连续随机变量X的概率密度函数为f(x)，则积分：称为随机变量X的数学期望，又称均值。用E(X)表示。方差 设X为一随机变量，则：

5、EX-E(X)2D(X)称为随机变量X的方差，用D(X)表示。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机变量的基本概念和统计特性随机变量的基本概念和统计特性 协方差 设X，Y为两随机变量，则：EX-E(X)Y-E(Y)=cov(X,Y)称为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X,Y)相关系数 设X，Y为两随机变量，则：称为随机变量X与Y的相关系数。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性随机过程：设Sk(k=1,2,)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数或实现)，记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体 x1(t),x2(t)，,xn(

6、t)，就构成一随机过程，记作(t)。简言之，无穷多 个样本函数的总 体叫做随机过程，如图所示。样本函数的总体 华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性 噪声电压的起伏波形华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性随机过程(t)基本特征体现在两个方面：一，它是时间t的函数；二，在固定的某一观察时刻t1，全体样本在t1时刻的取值(t1)是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数t的一簇随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和

7、统计特性随机过程的基本概念和统计特性随机过程的概率分布函数和概率密度函数一维概率分布函数 设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻 t1T，其取值(t1)是一个一维随机变量。我们把随机变量(t1)小于等于某一数值x1的概率P(t1)x1，简记为F1(x1,t1)，即 F1(x1,t1)=P(t1)x1 式称为随机过程(t)的一维概率分布函数。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性一维概率密度函数 如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有 则称f1(x1,t1)为(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅

8、描述了随机过程在任意一个孤立时刻上取值的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性二维概率分布函数及概率密度函数 任给两个时刻t1,t2T，则随机变量(t1)和(t2)构成一个二维随机变量(t1),(t2)，则 F2(x1,x2;t1,t2)=P(t1)x1,(t2)x2 称为随机过程(t)的二维概率分布函数。如果存在 则称f2(x1,x2;t1,t2)为(t)的二维概率密度函数。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性n维概率分布函数及概率密

9、度函数 任给t1,t2,tnT,则(t)的n维概率分布函数被定义为:则称fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)为(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性随机过程的数字特征数学期望设随机过程(t)，在任意给定时刻t1，(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1,t1)，则(t1)的数学期望为注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t,x1改为x,这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期

10、望a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心(均值)。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性方差D(t)D(t)常记为2(t)。它表示随机过程偏离均值a(t)的程度。均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在任意一个孤立时刻的统计特性。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性 常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来衡量随机过程在任意两个时刻取值的关联程度。自相关函数 自协方差函数式中，a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻

11、得到随机变量的数学期望；f2(x1,x2;t1,t2)为二维概率密度函数。关于互相关函数以及互协方差函数不再介绍。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性【例】设Z(t)是一随机过程，Z(t)可表示为：Z(t)=X1cos0tX2sin0t 若X1和X2是彼此独立且具有均值为0、方差为2的正态随机变量，试求：(1)EZ(t)、EZ2(t)；(2)Z(t)的一维概率密度函数f(z)；(3)R(t1，t2)与B(t1，t2)。华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性解：(1)EZ(t)=E(X1cos0

12、t-X2sin0t)=cos0tE(X1)-sin0tE(X2)=0 EZ2(t)=E(X12cos20t-X1X2sin20t+X22sin20t)=cos20tE(X12)-sin20tE(X1X2)+sin20tE(X22)因为X1和X2独立，所以：E(X1X2)=E(X1)E(X2)又因为D(X1)=D(X2)=2，E(X1)=E(X2)=0，因而：E(X12)=E(X22)=2 所以：EZ2(t)=2(cos20t+sin20t)=2 (2)因为X1、X2是同分布的正态随机变量，Z(t1)是X1和X2的线性组合，所以Z(t1)也服从正态分布，其概率密度函数为：华北水利水电学院信息工程

13、系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性(3)R(t1,t2)=EZ(t1)Z(t2)=E(X1cos0t1X2sin0t1)(X1cos0t2X2sin0t2 =E(X12cos0t1cos0t2+X22sin0t1sin0t2 X1X2cos0t1sin0t2X1X2cos0t2sin0t1)=2(cos0t1cos0t2+sin0t1sin0t2)=2cos0(t1t2)B(t1,t2)=R(t1，t2)EZ(t1)EZ(t2)=2cos0(t1t2)华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性数学期望的性质：设c是一常

14、数，则：E(c)=c设c是一常数，X是一随机变量，则：E(cX)=cE(X)设X，Y为任意两个随机变量，则：E(XY)=E(X)E(Y)设X，Y是两个相互独立的随机变量，则：E(XY)=E(X)E(Y)华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性例：设(t)是一随机过程，(t)可表示成：(t)2cos(2t+)式中，是一个离散随机变量，且P(=0)=1/2，P(=/2)=1/2，试求E(1)及R(0,1)。注：若X为一离散随机变量，则其中，P(X=xi)=pi 华北水利水电学院信息工程系 王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的基本概念和统计特性解

15、：E(1)=E2cos(2t+)|t=1 E2cos(2+)2E(cos)=2 P(=0)cos0+P(=/2)cos(/2)=1 R(0,1)=E(0)(1)=E2cos2cos(2+)E4cos2 4P(=0)cos20+P(=/2)cos2(/2)=2华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程通信系统所涉及到的信号及噪声一般情况下都是平稳随机过程。一般来说，若产生随机过程/信号的主要物理条件不随着时间的变换而变化，那么此过程就是平稳的。若随机过程是平稳的，在讨论其统计特性时，无论在何时对其进行测试都能得到相同的结果，因此，可使问题的分析变得简单。华北水利水电学院信息工程系

16、王玲平稳随机过程平稳随机过程通信系统所涉及的信号及噪声一般情况下都是平稳随机过程。若随机过程是平稳的，在讨论其统计特性时，无论在何时对其进行测试都能得到相同的结果，因此，可使问题的分析变得简单。一般来说，若产生随机过程/信号的主要物理条件不随着时间的变化而变化，那么此过程就是平稳的。华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程的定义：宽平稳随机过程：设有一个随机过程(t)，若满足条件：E(t)=a常数常数 R(t1,t2)=R(t2-t1)R(t1-t2)R()则称随机过程(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程，宽平稳随机过程又称为平稳随机过程。华北水利水电学院信息工

17、程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程的典型例子华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程例：设有一随机过程X(t)=tY。其中Y是随机变量。讨论X(t)的平稳性。华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程解：EX(t)=EtY=tEY RX(t1,t2)=E(t1Y)(t2Y)=t1t2EY2 可见，这个随机过程的均值与时间t有关，自相关函数也与时间t1，t2有关，所以是非平稳随机过程。华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程的各态历经性(不再详细介绍)假设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个样本函数，x(t)的时间均值和时间

18、相关函数分别为：如果下式成立：则称该平稳随机过程具有各态历经性。华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程“各态历经”的含义：随机过程中的任一样本函数都经历了随机过程的所有可能状态。“各态历经”的意义：为了研究随机过程的统计特性，需获得大量样本函数；若随机过程具有各态历经性，则只需获得一个样本函数，通过讨论其“时间平均”便可得随机过程的“统计平均”，这样，可使实际测量和计算问题大为简化。注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般都具备各态历经性。华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过

19、程例：例：设一随机相位正弦波(t)=sin(0t+)，式中，0为常数，是在(0，2)内均匀分布的随机变量，试讨论其平稳性。求其功率谱密度。(P41)华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程解：随机过程(t)的数学期望为常数，自相关系数只与时间差有关时，(t)才是平稳随机过程。(t)的数学期望为：华北水利水电学院信息工程系 王玲(t)的自相关函数为:可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔有关，所以(t)为平稳随机过程。平稳随机过程平稳随机过程华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程 平稳随机过程的自相关函数(不再详细介绍)平稳随机过程的自相关函数是

20、特别重要的一个函数。其一，它描述了平稳随机过程的统计特性；其二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。设(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数：(1)R(0)=E2(t)=S (t)的平均功率)(2)R()=R(-)(R()是偶函数)华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程(3)|R()|R(0)(R()的上界)华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程(4)R()E2(t)(t)的直流功率)(5)R(0)R()2 (t)的交流功率)华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程信号的频谱特性

21、的描述方法：确知信号 可以通过频谱密度函数，功率谱或能量谱来描述。随机信号 往往用功率谱来描述其频率特性。本节课，我们在简单介绍确知信号的频谱特性的基础上，详细介绍随机信号的频谱特性。华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程能量信号与功率信号(P1718)设确定信号s(t)为电压或电流，当它通过阻值R=1的电阻时，信号s(t)在电阻上产生的瞬时功率：在-T/2，T/2时间内消耗的能量为：平均功率为：华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程当T时，若E为有限值，S为0，即：则s(t)为能量(有限)信号。s(t)的能量为：这里，s(t)S(f)(帕塞瓦尔定理：对于能

22、量信号，时域内能量与频域 内能量是相等的。)华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程 当T时，若P为有限值，E为无穷大，即：则s(t)为功率(有限)信号。s(t)的功率为：这里，ST(f)是s(t)的截短函数sT(t)的频谱函数华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程功率信号s(t)及其截短函数sT(t)的示意图如下所示：功率信号s(t)及其截短sT(t)函数在t-T/2,T/2时，sT(t)s(t)，当T时，sT(t)=s(t)。华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程能量谱密度G(f)和功率谱密度 P(f)：(P2627)定义G(f)和 P(

23、f)分别为：则，信号的能量和平均功率为：G(f)和 P(f)分别能量谱和功率谱。华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程随机过程的功率谱密度：随机过程的频谱特性是通过其功率谱密度来表述。一般地，随机过程的任一样本函数都是确定的功率信号。设f(t)是随机过程(t)的任意一个样本函数，则f(t)的功率谱密度为：式中，FT(f)是f(t)的截短函数fT(t)的频谱函数。华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程 由于(t)是无穷多个样本的集合，因而随机过程(t)的功率谱密度应看作是无穷多个样本函数的功率谱的统计平均，即：(t)的平均功率S则可表示成：华北水利水电学院信息

24、工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程如何方便地求功率谱P(f)呢？经过推导，我们可以得到这样一个结论：对于平稳随机过程(t)，有R()P(f)：并且：华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程例：例：求随机相位正弦波(t)=sin(0t+)的功率谱密度和平均功率。式中，0为常数，是在(0，2)内均匀分布的随机变量。(P44)华北水利水电学院信息工程系 王玲(t)的自相关函数为:功率谱：SR(0)=1/2平稳随机过程平稳随机过程华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程平稳随机过程 例：设Z(t)是一随机过程，Z(t)=m(t)cos(0t+)，其中，m(t)是平稳随机过程，且m

25、(t)的自相关函数Rm()为：是在(0,2)内服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此独立。(1)证明Z(t)是平稳随机过程；(2)绘出Z(t)的自相关函数Rz()的波形；(3)求功率谱密度Pz()及平均功率S。华北水利水电学院信息工程系 王玲高斯随机过程高斯随机过程 高斯过程或称为正态过程，在通信中应用最为广泛。高斯过程(t)是：任意n维概率密度函数都服从高斯(正态)分布的随机过程称为高斯随机过程。概率密度函数表示为：华北水利水电学院信息工程系 王玲高斯随机过程 :归一化协方差矩阵的行列式；：行列式中元素的代数余因子；：归一化协方差。华北水利水电学院信息工程系 王玲高斯随机过程 在分析数字基

26、带传输系统误码率时，会涉及到高斯随机过程的一维概率分布的有关内容。下面对其进行详细介绍。一维正态(高斯)分布概率密度函数(特征略)设X为高斯/正态随机变量，则概率密度函数为：a为随机变量X的数学期望，2为方差。概率分布函数华北水利水电学院信息工程系 王玲高斯随机过程概率分布函数的描述方法：我们很难通过直接计算得到高斯/正态随机变量的概率分布函数，通常采用特殊函数来表示，这些特殊函数在数学手册上可以查出数值。误差函数和互补误差函数误差函数：互补误差函数：华北水利水电学院信息工程系 王玲高斯随机过程用误差函数与互补误差函数描述概率分布函数：或华北水利水电学院信息工程系 王玲高斯随机过程概率积分函数

27、：Q(x)是概率积分函数华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程通过线性系统前面介绍了平稳随机过程的基本概念及频谱特性，下面简单介绍平稳随机过程通过线性系统之后，在线性系统输出端得到的随机过程的统计特性。确定信号vi(t)通过冲激响应为h(t)的线性系统，所引起的响应vo(t)为：华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程通过线性系统当输入信号是随机信号i(t)时，输出信号也是一个随机过程，用o(t)表示，且有假定输入i(t)是平稳随机过程，那么：Ei(t)=C Ri(t1,t2)=Ri(t1t2)Ri()下面来分析系统的输出随机过程o(t)的统计特性。华北水利水电学院信息工程系 王玲平

28、稳随机过程通过线性系统输出随机信号o(t)的数学期望Eo(t)由于：可得：由此可见，输出随机过程的数学期望也应该是一个常数。华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程通过线性系统输出随机信号o(t)的自相关函数Ro(t1，t1+)可见，自相关函数只依赖时间间隔有关而与时间起点t1无关。从数学期望与自相关函数的性质可见，这时的输出过程是一个平稳随机过程。华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程通过线性系统输出随机信号o(t)的功率谱密度Po()利用公式，有：p()R()华北水利水电学院信息工程系 王玲平稳随机过程通过线性系统输出随机信号o(t)的概率分布 若线性系统的输入随机信号i(t)是

29、高斯随机过程，则：由于卷积运算是线性运算，所以随机过程o(t)也是高斯随机过程。高斯过程通过线性变换后仍然是一个高斯过程。华北水利水电学院信息工程系 王玲窄带随机过程 窄带系统：设系统允许通过的带宽为f，中心频率为fc，当f fc时，称该系统为窄带系统。窄带随机过程：若窄 带系统输出的信号或 噪声是一个随机过程，则称信号或噪声为窄 带随机过程。可以看出：(t)是包络 a(t)和相位(t)缓慢变化的正弦波。华北水利水电学院信息工程系 王玲窄带随机过程窄带随机信号的表示：式中：a(t)是包络函数；(t)是随机相位函数；c是正弦波的中心频率。c(t)和s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量。c(

30、t)a(t)cos(t)；c(t)a(t)sin(t)华北水利水电学院信息工程系 王玲窄带随机过程窄带随机信号的统计特性(P52)若窄带随机过程(t)是平稳高斯随机过程，其均值为0、方差为2，则：c(t)、s(t)同样是平稳高斯随机过程，均值也为0、方差为2；c(t)与s(t)在同一时刻上得到的值c(t1)、s(t1)是不相关的。华北水利水电学院信息工程系 王玲窄带随机过程P(54)包络函数a(t)的一维概率密度函数服从瑞利分布；相位函数(t)的一维概率密度函数服从均匀分布；包络函数和相位函数的一维随机变量a与是统计独立的；华北水利水电学院信息工程系 王玲高斯白噪声和带限白噪声白噪声(宽带随机

31、过程)(从功率谱的角度定义)如果随机过程n(t)，它的功率谱密度满足：则称为白噪声，上式中n0为常数。高斯白噪声(从功率谱和概率分布两方面定义)如果随机过程的功率谱密度在频域内服从均匀分布，同时概率密度函数服从高斯分布，那么称之为高斯白噪声。华北水利水电学院信息工程系 王玲高斯白噪声和带限白噪声注意：实际上，通信系统的工作带宽都是有限的，当白噪声通过信道时，频带将受到限制，称之为带限白噪声。两种常见带限白噪声：理想低通白噪声：白噪声通过理想低通信道时就产生带限白噪声。假定理想低通信道传输特性为H(f)：(基带传输系统)则该信道的带限白噪声的功率谱为：华北水利水电学院信息工程系 王玲高斯白噪声和

32、带限白噪声通信系统一般模型：S(t)n(t)S(t)+ni(t)华北水利水电学院信息工程系 王玲高斯白噪声和带限白噪声理想带通白噪声：白噪声通过理想带通信道后产生的带限噪声。假定理想带通信道：(频带传输系统)则该信道的带限白噪声的功率谱为：其中fc是信道的中心频率，B是信道的宽度。华北水利水电学院信息工程系 王玲正弦波加窄带高斯噪声 我们在研究数字带通系统可靠性时，要用到正弦波加加窄带噪声的包络概率密度函数。下面简单对其进行介绍。被考察的合成信号的形式为：式中，n(t)为窄带高斯过程，n(t)=an(t)cosct+n(t)=nc(t)coswctns(t)sinwct n(t)的均值为零。正

33、弦波的相位在0，2均匀分布，且假定振幅A和频率c已知。华北水利水电学院信息工程系 王玲正弦波加窄带高斯噪声 则：其中，zc(t)=Acosnc(t)；zs(t)=Asin+ns(t)显然信号r(t)的包络函数和相位函数为：统计特性：合成波的包络函数z(t)的一维概率密度函数服从莱斯分布(广义瑞利分布)：华北水利水电学院信息工程系 王玲正弦波加窄带高斯噪声 式中，I0(x)为零阶修正贝塞尔函数。当x0时，I0(x)时单调上升函数，且有I0(0)1，当A=0时，概率密度函数为瑞利分布。合成波的相位函数(t)的一维概率密度函数不再服从均匀分布，由于求解复杂，不再给出结果。华北水利水电学院信息工程系

34、王玲例题【例】(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为2(秒)的周期函数。在区间(-1，1)(秒)上，该自相关函数R()1|。试求的功率谱密度函数，并用图形表示。华北水利水电学院信息工程系 王玲例题f(t)是周期为T的周期信号，则在设f(t)可展开为傅氏级数的形式：信号f(t)的傅立叶级数系数 (02/T)信号f(t)的傅立叶变换为：华北水利水电学院信息工程系 王玲例题R()的傅氏级数系数：傅氏变换：华北水利水电学院信息工程系 王玲例题功率谱密度图：华北水利水电学院信息工程系 王玲随机信号分析本章作业2-52-14思考题：2-4，2-7，2-9，2-10华北水利水电学院信息工程系 王玲随机信号分析本章重点平稳随机过程的数字特征(尤其是数学期望和自相关函数)；平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度；(关系)通信系统中的噪声(白噪声、高斯白噪声(概念)与窄带高斯过程(概念、表示式、统计特性)