有限元法讲稿.ppt

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1、机机电工程学院工程学院关于有限元法课件第一页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院第一章第一章概述概述1.1 有限元法概述有限元法概述有限元法诞生于20世纪中叶，随着计算机技术和计算方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最为有效的方法，它几乎适用于求解所有连续介质和场的问题。工程有限单元法工程有限单元法第二页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院一、什么是有限元法？一、什么是有限元法？有限元法是将有限元法是将连续体理想化体理想化为有限个有限个单元集元集合而成，合而成，这些些单元元仅在有限个在有限个节点上相点上相连接，接，即用有限个即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个元的集合

2、来代替原来具有无限个自由度的自由度的连续体。体。工程有限单元法工程有限单元法第三页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院有限元方法是分析连续体的一种很有效的近似计算方法。是计算机问世以后迅速发展起来的一种广泛用于工程结构建模与分析的方法。说明工程明工程实际问题与与计算方法息息相关。算方法息息相关。自然现象的背后都对应有相关的物理本质与事物规律，用数学方法对物理本质与事物规律进行描述可以得到普适性定律和特定性定理，以及各种形式的（如代数、微分或积分）数学方程，即数学模型。工程有限单元法工程有限单元法第四页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院对于一个实际的工程问题，建立数学模型时，不仅需

3、要根据实际物理背景采用有效的数学方法，还要考虑求解的效率、结果的精度以及方法的适用性等因素，即分析方法。常用的分析方法有：1.对线性的、边界规则的简单问题，一般可以利用解析法，得到精确解。2.对于许多实际工程问题，由于研究系统的庞大，使得微分方程、边界和初始条件的复杂性大大增加，一般难以得到它的精确解。对非线性的、边界不规则等问题，一般不存在精确的解析解，只能利用数值法（如，有限差分法FDM、有限元方法FEM等）得到近似解。工程有限单元法工程有限单元法第五页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院有限元方法的发展首先，有限元方法在航空结构分析中取得了明显的成效首先，有限元方法在航空结构分析中

4、取得了明显的成效 1941年，Hrenikoff 利用框架分析法（framework method）分析平面弹性体，将平面弹性体描述为杆和梁 的组合体；1943年,Courant 在采用三角形单元及最小势能原理研 究扭转问题时，利用分片连续函数在子域中近似描述未知函数此后，有限元方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、流固耦合（水此后，有限元方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、流固耦合（水弹性）问题，均有发展。弹性）问题，均有发展。工程有限单元法工程有限单元法第六页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院 现如今，有限元法广泛应用于航空航天、汽车工业、桥梁、建筑、现如今，有限元法

5、广泛应用于航空航天、汽车工业、桥梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、生物医学等设计过程中的结电子产品、重型机械、微机电系统、生物医学等设计过程中的结构与力学分析。构与力学分析。实例实例1 1(EMA-(EMA-火箭发动机火箭发动机,卫星卫星,雷达雷达)工程有限单元法工程有限单元法第七页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院实例实例2 2(汽车汽车,工程机械工程机械)工程有限单元法工程有限单元法第八页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院工程有限单元法工程有限单元法第九页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院工程有限单元法工程有限单元法第十页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工

6、程学院二、有限元法的基本思想二、有限元法的基本思想有限元法的基本思想是：“分与合”。“分”是为了划分单元，进行单元分析；“合”则是为了集合单元，对整体结构进行综合分析。结构离散构离散-单元分析元分析-整体求解整体求解工程有限单元法工程有限单元法第十一页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院2.12.1有限元法的实现过程有限元法的实现过程工程有限单元法工程有限单元法第十二页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院(1)(1)对对象离散化象离散化 当研究对象为连续介质问题时，首先需要将所研究的对象进行合理的离散化分割，即根据精度预期或经验将连续问题进行有限元分割。(2 2)单单元分析元分析

7、有限元方法的核心工作是单元分析，通过分析各单元的结点力与结点位移之间的关系和边界条件，以便建立单元刚度矩阵。(3 3)构造构造总总体方程体方程 将单元刚度矩阵组成总体方程刚度矩阵，且总体方程应满足相邻单元在公共结点上的位移协调条件，即整个结构的所有结点载荷与结点位移之间应存在相互的变量关系。工程有限单元法工程有限单元法第十三页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院4.解解总总体方程体方程 在求解有限元模型时，应考虑总体刚度方程中引入的边界条件，以便得到符合实际情况的唯一解。5.输输出出结结果果 有限元模型求解结束后，可通过数值解序列或由其构成的图形显示研究对象的物理结构变形情况以及各种物理

8、量间的变化关系，如通过列表显示各种数据信息，用等值线分布图显示等受力点，或动画显示各种量的变化过程。工程有限单元法工程有限单元法第十四页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院1)直接方法直接方法 直接方法是指直接从结构力学引伸得到。直接方法具有简单、物理意义明确、易于理解等特点。2)变变分方法分方法 变分方法是一种最常用的方法之一，主要用于线性问题的模型建立。3)加加权权残残值值法法 对于线性自共轭形式方程，加权残值法可得到和变分法相同的结果，如得到一个对称的刚度矩阵。对于那些“能量泛函”不存在的问题（主要是一些非线性问题和依赖于时间的问题）加权残值法是一种很有效的方法。2.2 2.2 建

9、立有限元方程的常用方法建立有限元方程的常用方法工程有限单元法工程有限单元法第十五页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院通常，实际工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界规则与不通常，实际工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界规则与不规则问题。规则问题。有限元法其实是非线性问题，如图右所示。2.3 2.3 有限元法与工程求解问题的关系有限元法与工程求解问题的关系工程有限单元法工程有限单元法第十六页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院三、有限元法的基本步三、有限元法的基本步骤 无论对于什么样的结构，有限元分析过程都是类似的。其基本步骤为：（1）研究分析结构的特点，包括结构形状与边界、

10、载荷工况等；（2）将连续体划分成有限单元，形成计算模型，包括确定单元类型与边界条件、材料特性等；工程有限单元法工程有限单元法第十七页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院（3）以单元节点位移作为未知量，选择适当的位移函数来表示单元中的位移，再用位移函数求单元中的应变，根据材料的物理关系，把单元中的应力也用位移函数表示出来，最后将作用在单元上的载荷转化成作用在单元上的等效节点力，建立单元等效节点力和节点位移的关系。这一过程就是单元特性分析。工程有限单元法工程有限单元法第十八页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院（4）利用）利用结构力的平衡条件和构力的平衡条件和边界条件把各个界条件把各个

11、单元按原来的元按原来的结构重新构重新连接起来，集合成整体接起来，集合成整体的有限元方程，求解出的有限元方程，求解出节点位移。点位移。重点：重点：对于不同的于不同的结构，要采用不同的构，要采用不同的单元，但元，但各种各种单元的分析方法又是一致的。元的分析方法又是一致的。工程有限单元法工程有限单元法第十九页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院四、有限元法的学四、有限元法的学习路路线 从最简单的平面结构入手，由浅入深，介绍有限元理论及其相关应用。工程有限单元法工程有限单元法第二十页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院五、有限元法的五、有限元法的发展与展与应用用 有限元法不仅能应用于结构分

12、析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。工程有限单元法工程有限单元法第二十一页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院（一）算法与有限元（一）算法与有限元软件件 从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：大型线性方程组的解法，非线性问题的解法。工程有限单元法工程有限单元法第二十二页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院目前目前应用用较多的通用有限元多的通用有限元软件如下表：件如下表

13、：软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件 另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。工程有限单元法工程有限单元法第二十三页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院（二）（二）应用用实例例有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学。工程有限单元法工程有限单元法第二十四

14、页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院转向机构支架的向机构支架的强度分析（刘道勇，度分析（刘道勇，东风汽汽车工程研究院工程研究院动，用，用MSC/Nastran完成）完成）工程有限单元法工程有限单元法第二十五页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院基于基于ANSYS的的齿轮啮合仿真合仿真 工程有限单元法工程有限单元法第二十六页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院第第2 2章章 弹性力学基本方程及平面问题的有限元法弹性力学基本方程及平面问题的有限元法工程有限单元法工程有限单元法第二十七页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院2.1 弹性力学性力学简介介 本课程中的有限单元法理

15、论要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。工程有限单元法工程有限单元法第二十八页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院弹性力学性力学 区区别与与联系系 材料力学材料力学1、研究的内容：研究的内容：基本上没有什么区基本上没有什么区别。弹性力学也是研究性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此，以及由此产生的生的应力和力和变形。形。2、研究的研究的对象：象：有相同也有区有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即等杆状构件，即长度度远大于大于宽度

16、和厚度的构件。度和厚度的构件。弹性力学性力学虽然也研究杆状然也研究杆状构件，但构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体体结构，即两个尺寸构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。件。工程有限单元法工程有限单元法第二十九页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院弹性力学性力学 区区别与与联系系 材料力学材料力学3、研究的方法：研究的方法：有有较大的区大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但行研究，但是在建立是在建立这三方面条件三方面条件时，采用了不同的分析

17、方法。材料，采用了不同的分析方法。材料力学是力学是对构件的整个截面来建立构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常些条件的，因而要常常引用一些截面的引用一些截面的变形状况或形状况或应力情况的假力情况的假设。这样虽然大然大大大简化了数学推演，但是得出的化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不果往往是近似的，而不是精确的。而是精确的。而弹性力学是性力学是对构件的无限小构件的无限小单元体来建立元体来建立这些条件的，因而无些条件的，因而无须引用那些假引用那些假设，分析的方法比，分析的方法比较严密，密，得出的得出的结论也比也比较精确。所以，我精确。所以，我们可以用可以用弹性力学的解性力学的解答来估

18、答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范的适用范围。工程有限单元法工程有限单元法第三十页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院弹性力学性力学 区区别与与联系系 材料力学材料力学例如，材料力学在研究有孔的拉伸构件通常就假定拉应力在净截断面均匀分布。工程有限单元法工程有限单元法第三十一页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院弹性力学性力学 区区别与与联系系 材料力学材料力学 总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性

19、力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。工程有限单元法工程有限单元法第三十二页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院弹性力学基本方程性力学基本方程 一一、弹性力学中的几个基本概念：性力学中的几个基本概念：1、体力体力，是分布于物体体，是分布于物体体积内的外力，如重力、内的外力，如重力、磁力、磁力、惯性力等。性力等。单位体位体积内的体力亦可分解内的体力亦可分解为三三个成分，用个成分，用记号号X、Y、Z表示。表示。2、面力、面力，是分布于物体表面的力，

20、如静水，是分布于物体表面的力，如静水压力，一力，一物体与另一物体之物体与另一物体之间的接触的接触压力等。力等。单位面位面积上的表上的表面力通常分解面力通常分解为平行于座平行于座标轴的三个成分，用的三个成分，用记号号来表示。来表示。工程有限单元法工程有限单元法第三十三页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院 3、内力、平均内力、平均应力和力和应力力（1）内力（Internal forces）：是物体本身不同部分之间相互作用的力；（2）平均应力（the average stress）：设作用在包含P点某一个截面mn上的单元面积（elementary area）A 上的力为F，则F/A 称为A

21、上的平均应力；（3）应力：如果假设内力分布连续，命A无限减小并趋向P点,则F/A 将趋向一个极限p:这个极限P就叫做物体在截面mn上，在P点的应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。工程有限单元法工程有限单元法第三十四页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院 内力、平均内力、平均应力和力和应力的概念力的概念工程有限单元法工程有限单元法第三十五页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院4.正正应力和切力和切应力的概念力的概念正应力：应力在作用截面法线方向的分量；切应力：应力在作用截面切线方向的分量。正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正平行六面体，

22、它的棱边分别平行于三个坐标轴，长度分别为dx,dy,dz.正平行六面体应力如图所示.工程有限单元法工程有限单元法第三十六页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院(1)应力的表示正应力用表示.它的下标表示作用方向.如x 表示正应力沿着x 方向;剪应力用表示,它有两个下标,例如xy 表示剪应力作用在垂直x轴的平面上,但沿着y方向.(2)应力的符号如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向，这个面就称为正面，这个面上的应力就以沿着坐标轴的正方向为正；沿着坐标轴的负方向为负。工程有限单元法工程有限单元法第三十七页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院 这个应力符号的规定与材料力学的不同,在材料力学

23、中:正应力的符号为拉为正,压为负;而剪应力为正面向下的为正;负面向上为正.或用右手法则确定:右手姆指沿面的外法线时,其余四个手指反时针为正,顺时针为负.材料力学中正的剪应力弹性力学中正的剪应力工程有限单元法工程有限单元法第三十八页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院剪剪应力互等定律力互等定律作用在两个互相垂直的面上并且垂直于作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交两面交线的剪的剪应力是互等的。力是互等的。(大小相等，正大小相等，正负号也相同号也相同)。因此。因此剪剪应力力记号的两个角号的两个角码可以可以对调。工程有限单元法工程有限单元法第三十九页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学

24、院可可以以证明明:如如果果 这六六个个量量在在P点点是是已已知知的的，就就可可以以求求得得经过该点点的的任任何何面面上上的的正正应力力和和剪剪应力力，因因此此，这六六个个量量可可以以完完全全确确定定该点点的的应力状力状态，它，它们就称就称为在在该点的点的应力分量力分量。一一般般说来来，弹性性体体内内各各点点的的应力力状状态都都不不相相同同，因因此此，描描述述弹性性体体内内应力力状状态的的上上述述六六个个应力力分分量量并并不是常量，而是坐不是常量，而是坐标x、y、z的函数。的函数。六个六个应力分量的力分量的总体，可以用一个列矩体，可以用一个列矩阵来表来表示：示：工程有限单元法工程有限单元法第四十

25、页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院5、形、形变和正和正应变、剪、剪应变的概念的概念（1）形变:形状的改变，它包含长度和角度的改变。（2）正应变：各线段单位长度的伸缩。以伸长为正；缩短为负。（3）剪应变：各线段之间的直角的改变。6、位移、位移是指位置的移动.它在x,y 和z 轴上的投影用u,v 和w,来表示。它的符号是沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。工程有限单元法工程有限单元法第四十一页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院二、二、弹性力学中关于材料性性力学中关于材料性质的基本假定的基本假定(1)连续性性:假定物体是连续.即整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留任何空

26、隙.这样,物体内的物理量,例如应力形变和应变,才可能是连续的,才可以用连续函数来表示;(2)完全完全弹性性:假定物体是完全弹性的.所谓弹性,是指物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的性质.而完全弹性是指物体能完全恢复原形而没有任何剩余变形.(3)均匀性均匀性:假定物体是均匀的,整个物体由同一材料组成.(4)各向同性各向同性:假定物体是各向同性的,即物体的弹性性质在所有各个方向都相同.符合以上四个假定的物体,称为理想理想弹性体性体.工程有限单元法工程有限单元法第四十二页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院(5)小小变形假定形假定:假定物体的位移和形变是微小的.即物体的位移远小于物体原来

27、的尺寸,而且应变和转角都远小于1.因此,本课程所讨论的问题,都是理想理想弹性体的小性体的小变形形问题.工程有限单元法工程有限单元法第四十三页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院三、三、弹性力学的研究方法性力学的研究方法 在弹性体内部,考虑静力学,几何学和物理学三方面条件,分别建立三套基本方程.此外,在弹性体的边界上,建立边界条件.位移边界条件位移边界条件边界条件边界条件应力边界条件应力边界条件工程有限单元法工程有限单元法第四十四页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院弹性力学的基本性力学的基本变量量工程有限单元法工程有限单元法第四十五页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院弹性力

28、学的基本方程性力学的基本方程-平衡方程平衡方程由物体的受力平衡条件建立的方程：工程有限单元法工程有限单元法第四十六页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院弹性力学的基本方程性力学的基本方程-几何方程几何方程由物体的受力变形后，各应变分量和位移分量的关系建立的方程：工程有限单元法工程有限单元法第四十七页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院弹性力学的基本方程性力学的基本方程-物理方程物理方程由物体材料本身的物理特性建立的方程，其中E-弹性模量；-泊松比；G-剪切弹性模量。且对各向同性材料，工程有限单元法工程有限单元法第四十八页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院在限元法中，物理方程

29、可表示在限元法中，物理方程可表示为：工程有限单元法工程有限单元法第四十九页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院弹性力学的基本方程性力学的基本方程-边界条件界条件工程有限单元法工程有限单元法第五十页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院四、四、弹性力学性力学问题的解法的解法空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量，共有15个未知函数，在给定边界条件时，问题是可解的。弹性力学问题的提法是，给定作用在物理全部边界或内部的作用，求解物理由此产生的应力场和位移场。工程有限单元法工程有限单元法第五十一页，讲稿共一百

30、零八页哦机机电工程学院工程学院 按照三种不同的边界条件，弹性力学问题可分为应力边界条件问题、位移边界问题和混合边界。由于有限元模型是对实际结构的反映，对有限元模型施加合适的载荷条件和边界条件，是正确求解有限元解的关键。工程有限单元法工程有限单元法第五十二页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院根据先求出的基本未知量的不同，弹性力学问题有三种方法：（1）应力法：以应力分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。求得应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求出位移分量。（2）位移法：以位移分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。求得位移分量

31、后，用几何方程求应变分量，再由物理方程求应力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。（3）混合法：采用各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。工程有限单元法工程有限单元法第五十三页，讲稿共一百零八页哦五、五、虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程图1-8a示示一一平平衡衡的的杠杠杆杆，对C点点写写力力矩矩平衡方程：平衡方程：图1-8b表表示示杠杠杆杆绕支支点点C转动时的的刚体体位位移移图：综合可得：合可得：即：即：上上式式是是以以功功的的形形式式表表述述的的。表表明明：图a的的平平衡衡力力系系在在图b的的位位移移上上作作功功时，功功的的总和和必必须等于零。等于零。这就叫做

32、虚功原理。就叫做虚功原理。第五十四页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院虚功原理虚功原理 进一一步步分分析析。当当杠杠杆杆处于于平平衡衡状状态时，和和 这两两个个位位移移是是不不存存在在的的，但但是是如如果果某某种种原原因因，例例如如人人为地地振振一一下下让它它倾斜斜，一一定定满足足上上式式的关系。的关系。将将这个个客客观存存在在的的关关系系抽抽象象成成一一个个普普遍遍的的原原理理，去去指指导分分析析和和计算算结构。构。对于于在在力力的的作作用用下下处于于平平衡衡状状态的的任任何何物物体体，不不用用考考虑它它是是否否真真正正发生生了了位位移移，而而假假想想它它发生生了了位位移移，(由由于

33、于是是假假想想，故故称称为虚虚位位移移)，那那么么，物物体体上上所所有有的的力力在在这个个虚虚位位移移上上的的总功功必必定定等等于于零零。这就就叫叫做做虚虚位位移移原原理理，也也称称虚虚功功原原理理。在在图1-8a中中的的 和和 所所作作的的功功就就不不是是发生生在在它它本本身身(状状态a)的的位位移移上上，(因因为它它本本身身是是平平衡衡的的，不不存存在在位位移移)，而而是是在在状状态(b)的的位位移移上上作作的的功功。可可见，这个位移个位移对于状于状态(a)来来说就是虚位移，亦即是状就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。假象的位移。工程有限单元法工程有限单元法第五十五页，讲稿共一百零八页

34、哦机机电工程学院工程学院虚功原理虚功原理 必必须指指出出，虚虚功功原原理理的的应用用范范围是是有有条条件件的的，它它所所涉涉及及到到的的两两个个方方面面，力力和和位位移移并并不不是是随随意意的的。对于于力力来来讲，它它必必须是是在在位位移移过程程中中处于于平平衡衡的的力力系系；对于于位位移移来来讲，虽然然是是虚虚位位移移，但但并并不不是是可可以以任任意意发生生的的。它它必必须是是和和约束束条件相符合的微小的条件相符合的微小的刚体位移。体位移。还要要注注意意，当当位位移移是是在在某某个个约束束条条件件下下发生生时，则在在该约束束力力方方向向的的位位移移应为零零，因因而而该约束束力力所所作作的的虚

35、虚功功也也应为零零。这时该约束束力力叫叫做做被被动力力。(如如图1-8中中的的反反力力 ，由由于于支支点点C没没有有位位移移，故故 所所作作的的虚虚功功对于零于零)。反之，如。反之，如图1-8中的中的 和和 是是在在位位移移过程程中中作作功功的的力力，称称为主主动力力。因因此此，在在平平衡衡力力系系中中应当当分分清清楚楚哪哪些些是是主主动力力，哪哪些些是是被被动力力，而而在在写写虚虚功功方方程程时，只只有有主主动力力作虚功，而被作虚功，而被动力是不作虚功的。力是不作虚功的。工程有限单元法工程有限单元法第五十六页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院虚功原理与虚功方程虚功原理与虚功方程虚功原

36、理表述如下：虚功原理表述如下：在在力力的的作作用用下下处于于平平衡衡状状态的的体体系系，当当发生生与与约束束条条件件相相符符合合的的任任意意微微小小的的刚体体位位移移时，体体系系上上所所有有的的主主动力力在在位位移移上上所所作作的的总功功(各各力力所所作的功的代数和作的功的代数和)恒恒对于零。于零。虚功原理用公式表示虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中就是虚功方程，其中P和和相相应的代表力和虚位移。的代表力和虚位移。工程有限单元法工程有限单元法第五十七页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院虚功原理虚功原理-用于用于弹性体的情况性体的情况 虚虚功功方方程程是是按按刚体体的的情情况况得

37、得出出的的，即即假假设图1-8的的杠杠杆杆是是绝对刚性性，没没有有任任何何的的变形，因而在方程中没有内功形，因而在方程中没有内功项出出现，而只有外功，而只有外功项。将将虚虚功功原原理理用用于于弹性性变形形时，总功功W要要包包括括外外力力功功(T)和和内内力力功功(U)两两部部分分，即即：W=T-U ；内内力力功功(-U)前前面面有有一一负号号，是是由由于于弹性性体体在在变形形过程程中中，内内力力是是克克服服变形形而而产生的，所有内力的方向生的，所有内力的方向总是与是与变形的方向相反，所以内力功取形的方向相反，所以内力功取负值。根据虚功原理，根据虚功原理，总功等于零得：功等于零得：T -U=0

38、外力虚功外力虚功 T =内力虚功内力虚功 U 弹性性力力学学中中的的虚虚功功原原理理可可表表达达为：在在外外力力作作用用下下处于于平平衡衡状状态的的弹性性体体，如如果果发生生了了虚虚位位移移，那那么么所所有有的的外外力力在在虚虚位位移移上上的的虚虚功功(外外力力功功)等等于于整整个个弹性性体体内内应力力在在虚虚应变上上的的虚虚功功(内力功内力功)。工程有限单元法工程有限单元法第五十八页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院六、两种平面六、两种平面问题 弹性力学可分性力学可分为空空间问题和平面和平面问题，严格地格地说，任何一个，任何一个弹性体都是空性体都是空间物体，一般的外力都是空物体，一般

39、的外力都是空间力系，因而任何力系，因而任何实际问题都都是空是空间问题，都必，都必须考考虑所有的位移分量、所有的位移分量、应变分量和分量和应力分量。但力分量。但是，如果所考是，如果所考虑的的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空就有可能把空间问题简化化为近似的平面近似的平面问题，只考，只考虑部分的位移分量、部分的位移分量、应变分量和分量和应力分量即可。力分量即可。平面平面应力力问题平面平面应变问题工程有限单元法工程有限单元法第五十九页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平平面面应力力问题 厚厚度度为t的的很很薄薄的的均均匀匀木木板

40、板。只只在在边缘上上受受到到平平行行于于板板面面且且不不沿沿厚厚度度变化化的面力，同的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度，体力也平行于板面且不沿厚度变化。化。以以薄薄板板的的中中面面为xy面面，以以垂垂直直于于中中面面的的任任一一直直线为Z轴。由由于于薄薄板板两两表表面面上上没没有有垂垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可化，可认为在整个薄板内各点均有：在整个薄板内各点均有：于于是是，在在六六个个应力力分分量量中中，只只需需要要研研究究剩剩下下的的平平行行于于XOY平平面

41、面的的三三个个应力力分分量量，即即，所以称，所以称为平面平面应力力问题。工程有限单元法工程有限单元法第六十页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面平面应力力问题应力矩力矩阵(1-2)可以可以简化化为：工程有限单元法工程有限单元法第六十一页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院物理方程物理方程(1-10)中后两式可见，这时的剪应变：中后两式可见，这时的剪应变：由物理方程由物理方程(1-10)中的第三式可见：中的第三式可见：一一般般 ，并并不不一一定定等等于于零零，但但可可由由 及及 求求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑 三个应变分量即可

42、，于是应变矩阵三个应变分量即可，于是应变矩阵(1-3-2)简化为：简化为：工程有限单元法工程有限单元法第六十二页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面应力问题平面应力问题物理方程物理方程(1-10)简化为：简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：转化成应力分量用应变分量表示的形式：工程有限单元法工程有限单元法第六十三页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面应力问题平面应力问题将将(1-21)式用矩阵方程表示：式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则简化为：则简化为：工程有限单元法工程有限单元法第六十四页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程

43、学院平面应力问题平面应力问题只有只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程三个应变分量需要考虑，所以几何方程(1-3)简化为：简化为：工程有限单元法工程有限单元法第六十五页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面应力问题平面应力问题弹性体的虚功方程弹性体的虚功方程(1-17)简化为简化为工程有限单元法工程有限单元法第六十六页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面应变问题平面应变问题 一一纵纵向向(即即Z向向)很很长长，且且沿沿横横截截面面不不变变的的物物体体，受受有有平平行行于于横横截截面面而而且且不不沿沿长长度度变变化的面力和体力，如图化的面力和体力，如图1-11所示。所示。由由

44、于于物物体体的的纵纵向向很很长长(在在力力学学上上可可近近似似地地作作为为无无限限长长考考虑虑)，截截面面尺尺寸寸与与外外力力又又不不沿沿长长度度变变化化；当当以以任任一一横横截截面面为为xy面面，任任一一纵纵线线为为Z轴轴时时，则则所所有有一一切切应应力力分分量量、应应变变分分量量和和位位移移分分量量都都不不沿沿Z方方向向变变化化，它它们们都都只只是是x和和y的的函函数数。此此外外，在在这这一一情情况况下下，由由于于对对称称(任任一一横横截截面面都都可可以以看看作作对对称称面面)，所所有有各各点点都都只只会会有有x和和y方方向向的的位移而不会有位移而不会有Z方向的位移，即方向的位移，即 w=

45、0 因因此此，这这种种问问题题称称为为平平面面位位移移问问题题，但但习习惯上常称为惯上常称为平面应变问题平面应变问题。工程有限单元法工程有限单元法第六十七页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面应变问题平面应变问题既然既然w=0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函数，由几何方程的函数，由几何方程(1-3-1)可见可见 。于是只剩下三个应变分量。于是只剩下三个应变分量 ，几何方程仍然简化为方程几何方程仍然简化为方程(1-24)。工程有限单元法工程有限单元法第六十八页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面应变问题平面应变问题因因为由物理方程由物理方程(1-11)中后两式可中

46、后两式可见又由物理方程又由物理方程(1-11)中的第三式可中的第三式可见：在平面在平面应变问题中，中，虽然然，但但一般并不等于零，不一般并不等于零，不过它可它可以由以由及及求得，在分析求得，在分析问题时不必考不必考虑，于是也就只有三个，于是也就只有三个应力分量力分量需要考需要考虑。工程有限单元法工程有限单元法第六十九页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面应变问题平面应变问题物理方程物理方程(1-11)简化为：简化为：工程有限单元法工程有限单元法第七十页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面应变问题平面应变问题将将(1-25)式用矩阵方程表示：式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为

47、：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则为：则为：工程有限单元法工程有限单元法第七十一页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面应变问题平面应变问题 平平面面应应变变问问题题，由由于于在在Z方方向向没没有有外外力力，应应力力和和应应变变也也不不沿沿Z方方向向变变化化，所所以以虚虚功功方方程程(1-25)仍仍然然适适用用，其其中中的的t可可以以取取为为任任意意数数值，但值，但 必须是这个必须是这个t范围内的外力。范围内的外力。需需要要说说明明一一下下，工工程程中中有有许许多多问问题题很很接接近近于于平平面面应应变变问问题题，如如受受内内压压力力的的圆圆管管、滚滚柱柱轴轴承承中中的的滚滚柱柱

48、等等等等，但但它它们们的的沿沿Z向向长长度度都都不不是是无无限限长长的的。故故在在靠靠近近两两端端的的部部分分，其其应应力力应应变变状状态态比比较较复复杂杂，并并不不符符合合平平面面应应变变问问题题的的条条件件；因因此此将将这这类类问问题题当当作作平平面面应应变变问问题题来来考考虑虑时时，对对于于离离开开两两端端有有一一定定距距离离的的地地方方，得得出出的的结结果果还还是是相相当当满满意意的的；但但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。工程有限单元法工程有限单元法第七十二页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面应力问题与

49、平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 对对于于两两种种平平面面问问题题，几几何何方方程程都都是是(1-24)，虚虚功功方方程程都都是是(1-25)，物物理理方方程程都是：都是：工程有限单元法工程有限单元法第七十三页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用(1-23)式，式，而对于平面应变则采用而对于平面应变则采用(1-28)式，式，还可注意，在还可注意，在(1-23)式中，若将式中，若将E改换为改换为 ，将，将 改换为改换为 ，就得出公式就得出公式(1-28)。工

50、程有限单元法工程有限单元法第七十四页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院平平面面应应力力问问题题与与平平面面应应变变问问题题 在两种平面问题中，如果在两种平面问题中，如果 ，则和，则和1-3中中(1-4)式相似，式相似，由几何方程的积分得出：由几何方程的积分得出：其中其中 及及 分别代表弹性体沿分别代表弹性体沿x及及y方向的刚体移动，而方向的刚体移动，而代表弹性体绕代表弹性体绕Z轴的刚体转动。轴的刚体转动。工程有限单元法工程有限单元法第七十五页，讲稿共一百零八页哦机机电工程学院工程学院2.2 平面平面问题的有限元法的有限元法工程有限单元法工程有限单元法第七十六页，讲稿共一百零八页哦机机电