正交试验设计之方差分析讲稿.ppt

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1、关于正交试验设计之方差分析第一页，讲稿共四十四页哦计算离差的平方和:设用正交表安排m个因素的试验，试验总次数为n,试验的结果分别为x1,x2,xn.假定每个因素有na个水平，每个水平做a次试验，则n=ana.1)总离差的平方和ST记记为 其中ST反映了试验结果的总差异，它越大，说明各次试验的结果之间的差异越大。试验结果之所以有差异，一是由因素水平的变化所引起的，二是因为有试验误差。第一节：正交设计方差分析的步骤第二页，讲稿共四十四页哦2)各因素离差的平方和下面以计算因素A的离差的平方和SA为例来说明。设因素A安排在正交表的某列，可看作单因素试验。用xij表示因素A的第i个水平的第j个试验的结果

2、(i=1,2,na;j=1,2,a)，则有由单因素的方差分析记为 其中Ki 表示因素的第i 个水平a次试验结果的和。SA反映了因素A的水平变化时所引起的试验结果的差异，即因素A对试验结果的影响。用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对于两因素的交互作用，我们把它当作一个新的因素。如果交互作用占两列，则交互作用的离差的平方和等于这两列的离差的平方和之和。比如 SAxB=S(AxB)1+S(AxB)2第一节：正交设计方差分析的步骤第三页，讲稿共四十四页哦3)试验误差的离差的平方和SE设S因+交为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和，因为 ST=S因+交+SE,所以 SE=ST-S因+交计

3、算自由度:试验的总自由度 f总=试验总次数-1=n-1各因素的自由度 f因=因素的水平数-1=na-1两因素交互作用的自由度等于两因素的自由度之积fAxB=fA X fB试验误差的自由度fE=f总-f因+交第一节：正交设计方差分析的步骤第四页，讲稿共四十四页哦计算平均离差平方和(均方):在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和,它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。因素的平均离差平方和=(因素离差的平方和)/因素的自由度=S因/f因试验误差的平均离差平方和=(试验误差的离差的平方和)/试验误差的自由度=SE/f

4、E求F比:将各因素的平均离差的平方和与误差的平均离差平方和相比，得出F值。这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度的大小。第一节：正交设计方差分析的步骤第五页，讲稿共四十四页哦对因素进行显著性检验:给出检验水平，从F分布表中查出临界值F(f因，fE)。将在“求 F 比”中算出的F值与该临界值比较，若F F(f因，fE)，说明该因素对试验结果的影响显著，两数差别越大，说明该因素的显著性越大。第一节：正交设计方差分析的步骤第六页，讲稿共四十四页哦第二节：3水平正交设计的方差分析例1(无交互作用):磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于210g.cm。某生产厂过去

5、这项指标的合格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机的输出力矩。根据工程技术人员的经验，取试验因素和相应水平如下表：第七页，讲稿共四十四页哦第二节：3水平正交设计的方差分析解：(选用正交表L9(34)表头设计：试验计划与试验结果：第八页，讲稿共四十四页哦第二节：3水平正交设计的方差分析9个试验点的分布第九页，讲稿共四十四页哦第十页，讲稿共四十四页哦第二节：3水平正交设计的方差分析详细计算如下：第十一页，讲稿共四十四页哦第二节：3水平正交设计的方差分析列方差分析表如下：最佳条件的选择：对显著因子应取最好的水平对不显著因子的水平可以任意选取，在实际中通常从降低成本操作方便等角度加以选

6、择上面的例子中对因子A与B应选择A2B2，因子C可以任选，譬如为节约材料可选择C1第十二页，讲稿共四十四页哦第二节：3水平正交设计的方差分析验证试验：对A2B2C1进行三次试验，结果为：234，240，220，平均值为231.3.此结果是满意的第十三页，讲稿共四十四页哦例2(有交互作用):为提高某产品的产量，需要考虑3个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度。每个因素都取3个水平，具体数值见表。考虑因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。第二节：3水平正交设计的方差分析第十四页，讲稿共四十四页哦第十五页，讲稿共四十四页哦解：(选用正交表L27(313)根据前面的公式作如下计

7、算：第二节：3水平正交设计的方差分析第十六页，讲稿共四十四页哦由此得出类似地最后计算总平方和，得出第二节：3水平正交设计的方差分析第十七页，讲稿共四十四页哦用公式计算自由度：再用公式计算平均离差的平方和，然后计算F值，再与F分布表中查出的相应的临界值F(f因，fE)比较，判断各因素显著性的大小。通常，若F F0.01(f因，fE)，就称该因素是高度显著的，用两个星号表示；若F F0.05(f因，fE)，则称该因素的影响是显著的，用一个星号表示；若FF0.05(f因，fE)，就称该因素的影响是不显著的，不用星号表示。第二节：3水平正交设计的方差分析第十八页，讲稿共四十四页哦方差分析表：因为SAX

8、C和SBXC都很小，和误差项合并，作为误差项。通过F值与临界值比较看出，因素A,B,C和交互作用AXB对试验的影响都是显著的，从F值的大小看，因素C最显著，以下依次为A，B，AXB第二节：3水平正交设计的方差分析第十九页，讲稿共四十四页哦方差分析(2)：由于这里的试验指标是产品的产量，越大越好，所以最优方案应取各因素中K的最大值所对应的水平。因素A应取第1水平，因素B应取第3水平，因素C应取第3水平。交互作用AXB也是显著的，但由于AXB占两列，直观分析法有些困难，因此把A和B的各种组合的试验结果对照起来分析。从表中看出，当A取第1水平、B取第3水平时，试验结果为13.17，是所有结果中的最大

9、值，因此可取A1B3，这与前面单独考虑因素A，B时所得出的结果是一致的。于是，最优方案就取A1B3C3.第二节：3水平正交设计的方差分析第二十页，讲稿共四十四页哦2水平正交设计，各因素离差平方和为：因为 又所以上式可简化为这里2水平设计计算离差平方和的一般公式，同样适用于交互作用。第三节：2水平正交设计的方差分析第二十一页，讲稿共四十四页哦例3:某农药厂生产某种农药，指标是农药的收率，显然是越大越好。据经验知道，影响农药收率的因素有4个：反应温度A，反应时间B，原料配比C，真空度D。每个因素都是两水平，具体情况见表。要考虑A，B的交互作用。试进行方差分析。第三节：2水平正交设计的方差分析第二十

10、二页，讲稿共四十四页哦解：(选用正交表L8(27)第三节：2水平正交设计的方差分析第二十三页，讲稿共四十四页哦这里类似地计算误差平方和：SE=ST-(S因+S交)=146-(8+18+60.5+4.5+18)=5第三节：2水平正交设计的方差分析第二十四页，讲稿共四十四页哦计算自由度:计算均方值：由于各因素和交互作用AXB的自由度都是1，因此它们的均方值与它们各自的平方和相等。只有误差的均方为计算F比：第三节：2水平正交设计的方差分析第二十五页，讲稿共四十四页哦方差分析表：第三节：2水平正交设计的方差分析第二十六页，讲稿共四十四页哦方差分析:从方差分析表中F值的大小看出，各因素对试验影响大小的顺

11、序为 C，AXB，B，A，D。C影响最大，其次是交互作用AXB，D的影响最小.若各因素分别选取最优条件应当是C2，B1，A1，D2.但考虑到交互作用AXB的影响较大，且它的第2水平为好，在C2，(AXB)2的情况下，有B1A2和B2A1，考虑到B的影响比A大，而B选 B1为好，当然A只能选第2水平了。这样最后确定下来的最优方案应当是A2B1C2D2。这个方案不在正交表的9个试验中，可以按此进行试验，比较一下结果。第三节：2水平正交设计的方差分析第二十七页，讲稿共四十四页哦混合型正交设计的方差分析，本质上与一般水平数相等正交设计的方差分析相同，只要在计算时注意到各水平数的差别就行了。现以L8(4

12、X24)混合型正交表为例：总离差平方和为因素偏差平方和有两种情况：2水平因素：4水平因素：第四节：混合型正交设计的方差分析第二十八页，讲稿共四十四页哦例4:某钢厂生产一种合金，为便于校直冷拉，需要进行一次退火热处理,以降低合金的硬度。根据冷加工变形量，在该合金技术要求范围内,硬度越低越好。试验的目的是寻求降低硬度的退火工艺参数。考察的指标是洛氏硬度(HR)，经分析研究，要考虑的因素有3个：退火温度A，保温时间B，冷却介质C。第四节：混合型正交设计的方差分析第二十九页，讲稿共四十四页哦选正交表选正交表 L L8 8(4 X 2(4 X 24 4)安排试验及分析如下：安排试验及分析如下：第三十页，

13、讲稿共四十四页哦解：第四节：混合型正交设计的方差分析第三十一页，讲稿共四十四页哦方差分析表：从F值和临界值的比较看出，各因素均无显著影响，相对来说，B的影响大些。为提高分析精度，我们只考虑因素B，把因素A，C都并入误差。这样一来，SE就变成SA+SC+S4+S5=0.445+0.18+1.125+0.500=2.250，再列方差分析表。第四节：混合型正交设计的方差分析第三十二页，讲稿共四十四页哦方差分析表(2)：临界值 F0.05(1，6)=5.99,F0.01(1,6)=13.75从F值和临界值的比较来看，因素B就是显著性因素了。因素影响从大到小的顺序为BCA，选定的最优方案应为A2B2C1

14、第四节：混合型正交设计的方差分析第三十三页，讲稿共四十四页哦例5:钢片在镀锌前要用酸洗的方法除锈。为了提高除锈效率，缩短酸洗时间，先安排酸洗试验。考察指标是酸洗时间。在除锈效果达到要求的情况下，酸洗时间越短越好。要考虑的因素及其水平如表：选取正交表L9(34)，将因素C虚拟1个水平。据经验知，海鸥牌比OP牌的效果好，故虚拟第2水平并安排在第1列。第五节：拟水平法的方差分析第三十四页，讲稿共四十四页哦第三十五页，讲稿共四十四页哦解：虚拟水平的因素C的第1水平重复3次，第二水平重复6次。因此，离差平方和为：其余因素的离差平方和为误差的离差平方和为：第五节：拟水平法的方差分析第三十六页，讲稿共四十四

15、页哦方差分析表：从F值和临界值比较看出，各因素均无显著影响，相对来说，因素D的影响大些。我们把影响最小的因素B并入误差，使得新的误差平方和为SE=SE+SB，再列方差分析表第五节：拟水平法的方差分析第三十七页，讲稿共四十四页哦方差分析表(2)：由此看出，因素D有显著影响，因素A，B均无显著影响。因素重要性的顺序为DCAB，最优方案为A3B1C2D3.第五节：拟水平法的方差分析第三十八页，讲稿共四十四页哦重复试验就是对每个试验号重复多次，这样能很好地估计试验误差，它的方差分析与无重复试验基本相同。但要注意几点：(1)计算K1，K2，时，要用各号试验重复n次的数据之和；(2)计算离差平方和时，公式

16、中的“水平重复数”要改为“水平重复数与 重复试验数之积”；(3)总体误差的离差平方和SE由两部分构成：第一类误差，即空列误差SE1；第二类误差，即重复试验误差SE2；SE=SE1+SE2 fE=fE1+fE2(4)SE2的计算公式为其中r为各号试验的重复次数，n为试验号总数。fE2=n(r-1)第六节：重复试验的方差分析第三十九页，讲稿共四十四页哦第六节：重复试验的方差分析例6:硅钢带取消空气退火工艺试验。空气退火能脱除一部分碳，但钢带表面会生成一层很厚的氧化皮，增加酸洗的困难。现欲取消这道工序，为此要做试验。试验指标是钢带的磁性。本试验考虑2个因素,每个因素2个水平。退火工艺A：A1为进行空气退火，A2 为取消空气退火，成品厚度B，B1为0.20mm，B2为0.35mm。选用L4(23)正交表安排试验，每个试验号重复5次，试验结果列于后附表中。第四十页，讲稿共四十四页哦第六节：重复试验的方差分析第四十一页，讲稿共四十四页哦第六节：重复试验的方差分析第四十二页，讲稿共四十四页哦第六节：重复试验的方差分析方差分析表从方差分析的结果看出，取消空气退火工序对钢带磁性无显著影响，可以取消这个工序。第四十三页，讲稿共四十四页哦16.10.2022感感谢谢大大家家观观看看第四十四页，讲稿共四十四页哦