第六章定积分的几何应用精选文档.ppt

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1、1本讲稿第一页，共四十四页类似地类似地,若若而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,则定义则定义而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,存在存在,若极限若极限a,b 上的反常积分上的反常积分,记作记作则称则称此极限为函数此极限为函数 f(x)在在 无界函数的反常积分无界函数的反常积分无界点常称无界点常称 为为瑕点瑕点本讲稿第二页，共四十四页而在点而在点 c 的的邻域内无界邻域内无界,则定义则定义本讲稿第三页，共四十四页说明说明:(1)有时通过换元有时通过换元,反常积分和常义积分可以互反常积分和常义积分可以互相转化相转化.例如例如,(2)当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常

2、积分时,应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分分别讨论每一区间上的反常积分.本讲稿第四页，共四十四页不存在不存在例例解解本讲稿第五页，共四十四页第六章第六章 定积分的应用定积分的应用第一节第一节 元素法元素法本讲稿第六页，共四十四页在在第第五五章章，我我们们学学习习了了定定积积分分的的概概念念和和定定积积分分的的计计算算，本本章章我我们们将将研研究究如如何何利利用用定定积积分分作作为为工具来解决一些实际问题中有关的计算工具来解决一些实际问题中有关的计算:实际问题实际问题化为积分模型化为积分模型 计算定积分计算定积分。1.什么类型的问题可化为积分模型什么类型的问题可化为积分模

3、型?2.如何化成积分模型如何化成积分模型?本讲稿第七页，共四十四页回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、问题的提出一、问题的提出ab xyo本讲稿第八页，共四十四页面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得求和，得A的近似值的近似值本讲稿第九页，共四十四页ab xyo（4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值面面积积元元素素本讲稿第十页，共四十四页本讲稿第十一页，共四十四页具体问题表示为定积分的一般步骤：具体问题表示为定积分的一般步骤：本讲稿第十二页，共四十四页这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：几何上几何上:平面图形的面积；

4、体积；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面曲线的弧长；物理上物理上:功；水压力；引力等功；水压力；引力等本讲稿第十三页，共四十四页小结小结元素法的实质是元素法的实质是:在小的范围内以常量代在小的范围内以常量代替变量替变量,求和取得近似值求和取得近似值,再取极限得到精再取极限得到精确值确值本讲稿第十四页，共四十四页第六章第六章 定积分的应用定积分的应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用本讲稿第十五页，共四十四页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积一、平面图形的面积1 直角坐标系情形直角坐标系情形本讲稿第十六页，共四十四页本讲稿第十七

5、页，共四十四页解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量本讲稿第十八页，共四十四页例例2 解解本讲稿第十九页，共四十四页解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量本讲稿第二十页，共四十四页于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？本讲稿第二十一页，共四十四页解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量本讲稿第二十二页，共四十四页如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积本讲稿第二十三页，共四十四页解解

6、椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积本讲稿第二十四页，共四十四页面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积2、极坐标系情形、极坐标系情形本讲稿第二十五页，共四十四页解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一倍第一象限部分面积象限部分面积本讲稿第二十六页，共四十四页解解利用对称性知利用对称性知本讲稿第二十七页，共四十四页例例7解解本讲稿第二十八页，共四十四页本讲稿第二十九页，共四十四页求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰

7、当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积有助于简化积分运算）分运算）小结小结本讲稿第三十页，共四十四页 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积、旋转体的体积二二 体积体积本讲稿第三十一页，共四十四页xyo旋转体的体积为旋转体的体积为本讲稿第三十二页，共四十四页解解直线直线 方程为方程为本讲稿第三十三页，共四十四页本讲稿第三十四页，共四十四页解解本讲稿第三十五页，共四十四页本讲稿第三十六页，共四十四页例例3.计算摆线计算摆线的一拱与的一拱与 y0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴轴,y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积.解解:绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为利用对称性利用对称性本讲稿第三十七页，共四十四页绕绕 y 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为注意上下限注意上下限注意上下限注意上下限!本讲稿第三十八页，共四十四页解解例例4本讲稿第三十九页，共四十四页本讲稿第四十页，共四十四页本讲稿第四十一页，共四十四页“柱壳法柱壳法”本讲稿第四十二页，共四十四页解解体积元素为体积元素为本讲稿第四十三页，共四十四页练练 习习本讲稿第四十四页，共四十四页