中值定理以及导数应用.ppt

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1、关于中值定理及导数关于中值定理及导数应用应用第一张，PPT共九十四页，创作于2022年6月一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理拉格朗日中值定理及中值公式4.1 中值定理中值定理第二张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 一、罗尔定理一、罗尔定理xO yCx 设连续光滑的曲线 yf(x)在端点 A、B 处的纵坐标相等。ABabyf(x)提问：提问：f(x)？观察与思考：观察与思考：第三张，PPT共九十四页，创作于2022年6月罗尔定理：罗尔定理：如果函数yf(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且有f(a)f(b)，

2、那么在(a,b)内至少在一点x，使得f(x)0。简要证明：简要证明：(1)如果 f(x)f(a)，则 f(x)0，定理的结论显然成立的。(2)如果有 x(a,b)，使 f(x)f(a)，不妨设 f(x)f(a)，则函数f(x)的最大值点 x 必在(a,b)内。于是因此必有f(x)0。第四张，PPT共九十四页，创作于2022年6月应注意的问题：应注意的问题：如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。xO yAB f(x)不满足条件(1)abxO yAB f(x)不满足条件(3)abxO yAB f(x)不满足条件(2)abc罗尔定理：罗尔定理：如果函数yf(x)在闭区间a,b上连

3、续，在开区间(a,b)内可导，且有f(a)f(b)，那么在(a,b)内至少在一点x，使得f(x)0。第五张，PPT共九十四页，创作于2022年6月二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理观察与思考：观察与思考：设连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标不相等。f(x)？，f(h)？提问：提问：直线AB的斜率k？答案：答案：f(x)f(h)k，C2h xO yABaby=f(x)C1x f(b)f(a)f(x)(ba)。f(b)f(a)？第六张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点x，使得 f(

4、b)f(a)f(x)(ba)。拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：C2h xO yABaby=f(x)C1x 第七张，PPT共九十四页，创作于2022年6月则函数j(x)在区间a,b上满足罗尔定理的条件，于是至少存在一点x(a,b)，使j(x)0，即 简要证明：简要证明：令 由此得 f(b)f(a)f(x)(ba)。拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点x，使得 f(b)f(a)f(x)(ba)。第八张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 f(b

5、)f(a)f(x)(ba)，f(xDx)f(x)f(xqDx)Dx(0q 1)，Dy f(xqDx)Dx(0q 1)。拉格朗日中值公式：拉格朗日中值公式：拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点x，使得 f(b)f(a)f(x)(ba)。第九张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 定定理理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。证证明明：在区间I上任取两点x1，x2(x1x2)，应用拉格朗日中值定理，就得 f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)(x1x N时f(x)

6、及F(x)都存在且F(x)0；说明：说明：在上述定理中，把xa换成x，把条件(2)换成结论仍成立。第十四张，PPT共九十四页，创作于2022年6月“零比零零比零”型未定式的定值法：型未定式的定值法：第十五张，PPT共九十四页，创作于2022年6月“零比零零比零”型未定式的定值法：型未定式的定值法：第十六张，PPT共九十四页，创作于2022年6月“无穷比无穷无穷比无穷”型未定式的定值法：型未定式的定值法：第十七张，PPT共九十四页，创作于2022年6月其它类型未定式的定值法：其它类型未定式的定值法：未定式0、00、1、0都可以转化为“零比零”型或“无穷比无穷”型未定式。第十八张，PPT共九十四页

7、，创作于2022年6月其它类型未定式的定值法：其它类型未定式的定值法：未定式0、00、1、0都可以转化为“零比零”型或“无穷比无穷”型未定式。第十九张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 1洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。应注意的问题：应注意的问题：第二十张，PPT共九十四页，创作于2022年6月应注意的问题：应注意的问题：2本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。所以

8、不能用洛必达法则。但其极限是存在的：第二十一张，PPT共九十四页，创作于2022年6月一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法二、确定函数单调区间的步骤二、确定函数单调区间的步骤4.3 函数单调性的判定法函数单调性的判定法第二十二张，PPT共九十四页，创作于2022年6月一、函数单调性的判定法观察与思考：观察与思考：函数单调增加函数单调减少 函数的单调性与导数的符号有什么关系？f(x)0 f(x)0 f(x)0，则f(x)在a,b上单调增加；(2)如果在(a,b)内f(x)0，则f(x)在a,b上单调减少。由拉格朗日中值公式，有 f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)(x1x0，x2x1

9、0，所以 f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)0，即 f(x1)f(x2)，这就证明了函数f(x)在(a,b)内单调增加。证明：证明：只证(1)。在(a,b)内任取两点x1，x2(x10，则f(x)在a,b上单调增加；(2)如果在(a,b)内f(x)0，所以函数 yxsin x 在0,2p上的单调增加。函数单调性的判定法：函数单调性的判定法：设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导。(1)如果在(a,b)内f(x)0，则f(x)在a,b上单调增加；(2)如果在(a,b)内f(x)0，则f(x)在a,b上单调减少。第二十七张，PPT共九十四页，创作于2022年6月二、确定函数单调区间

10、的步骤讨论：讨论：1设函数 yf(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，x1，x2是 f(x)的两个相邻的零点，问f(x)在x1,x2上是否单调？2如何把区间a,b划分成一些小区间，使函数 f(x)在每个小区间上都是单调的？第二十八张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 (1)确定函数的定义域；(2)求出导数f(x)；(3)求出f(x)全部零点；(4)判断或列表判断；(5)综合结论。二、确定函数单调区间的步骤二、确定函数单调区间的步骤第二十九张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 因为在(,0)内y0，所以函数 yexx1在0,)上单调增加。50551015xyyexx1 解：解：函

11、数ye x x1的定义域为(,)。ye x 1。例例2讨论函数 ye x x1的单调性。第三十张，PPT共九十四页，创作于2022年6月3210123412yx 解：解：函数的定义域为(,)。所以函数在0,)上单调增加。因为x0时，y0，所以函数在(,0 上单调减少；因为x0时，y0。所以函数yx3在区间(,0及0,)内都是单调增加的。因此函数在整个定义域(,)内是单调增加的。第三十三张，PPT共九十四页，创作于2022年6月0123x1y y 2x(3x1)因为当x1时，f(x)0，所以f(x)在1,)上f(x)单调增加。因此当x1时，f(x)f(1)0，即第三十四张，PPT共九十四页，创作

12、于2022年6月 44 函数的极值与最值函数的极值与最值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法极值的定义取得极值的必要条件、驻点取得极值的第一种充分条件确定极值点和极值的步骤取得极值的第二种充分条件第三十五张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 设 函 数f(x)在 区 间(a,b)内 有 定 义，x0(a,b)x1x2x3x4x5x6x7xyOab y=f(x)f(a)和 f(b)是否为极值？xU(x0)，有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一。如果U(x0)，个极小值；一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法极值的定义：第三十六张，PPT共九十四页，创作于20

13、22年6月 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点 设 函 数f(x)在 区 间(a,b)内 有 定 义，x0(a,b)xU(x0)，有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一。如果U(x0)，个极小值；函数的极值及其求法函数的极值及其求法极值的定义：第三十七张，PPT共九十四页，创作于2022年6月取得极值的必要条件：观察极值与切线的关系：在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的xyOabx1x2x3x4x5x6x7 y=f(x)第三十八张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 定理1（必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值

14、，那么f(x0)0证明驻点：使导数为零的点(即方程f(x)0的实根)叫函数f(x)的驻点应注意的问题：可 导 函 数f(x)的 极 值 点 必 定 是 函 数 的 驻 点 但 反 过 来，函 数f(x)的驻点却不一定是极值点取得极值的必要条件：第三十九张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 假定f(x0)是极大值，根据极大值的定义，在x0的某个去心邻域内，对于任何点 x，f(x)f(x0)均成立于是当xx0时因此因此从而得到 f(x0)0 x 0时 极小值的情形可类似地证明必要条件的证明：第四十张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 观察函数f(x)x在x0处的导数与极值情况xyOy=

15、x3在 x=0处，f(0)0.但函数在x=0无极值第四十一张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 定理2（第一种充分条件）设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续，在x0的左右邻域内可导 (1)如果在x0的某一左邻域内f(x)0，在x0的某一右邻域内 f(x)0，那么函数f(x)在x0处取得极大值；(2)如果在x0的某一左邻域内f(x)0，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果在x0的左右邻域内f(x)不改变符号，那么函数f(x)在 x0处没有极值取得极值的第一种充分条件：第四十二张，PPT共九十四页，创作于2022年6月取得极值的第一种充分条件的几何意义：x1x2x3x4x5x6x

16、7xyOab y=f(x)f(x)0 f(x)0 f(x)0在极小值点附近在极大值点附近第四十三张，PPT共九十四页，创作于2022年6月确定极值点和极值的步骤：(1)求出导数f(x)；(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点；(3)列表判断（考察f(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理 2 确定对应的函数值是极大值还是极小值）；(4)确定出函数的所有极值点和极值第四十四张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 函数f(x)的极大值为f(1)10，极小值为f(3)22 例1 求函数f(x)x 33x 29x 5的极值 解 (1)f(

17、x)3x 26x 93(x1)(x3)(2)令3(x1)(x3)0，得驻点x 11，x 23(3)列表判断：(3,)22(,1)1(1,3)3 f(x)00 f(x)10极大极小10123x2010y y=x3-3x2-9x+5第四十五张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 例2 求函数f(x)1(x2)2/3的极值解 (1)当x 2时，(2)函数无驻点，x2是导数不存在的点；(3)列表判断：f(x)f(x)(，2)2(2，)不存在1极大值函数f(x)在x2取得极大值，极大值为f(2)1101234x1y f(x)1(x2)2/3第四十六张，PPT共九十四页，创作于2022年6月应注意的问

18、题：如果函数f(x)在驻点x 0处的二导数f(x 0)0，那么点x 0一定是极值点，并且可以按二阶导数f(x 0)的符来判定f(x 0)是极大值还是极小值但如果f(x 0)0，定理3就不能应用 定理2(第二种充分条件)设函数f(x)在点x 0处具有二阶导数且f(x 0)0，f(x 0)0，那么 (1)当f(x 0)0时，函数f(x)在x 0处取得极小值证明取得极值的第二种充分条件：第四十七张，PPT共九十四页，创作于2022年6月从而知道，对于这去心邻域内的x来说，f(x)与xx0符号相反因此，当xx00即x0；当xx00即xx0时，f(x)0 于根据定理2，f(x)在点x0处取得极大值 在情

19、形(1)，由于f(x0)0，按二阶导数的定义有根据函数极限的局部保号性，当x 在x0的足够小的去心邻域内时，但f(x0)0，所以上式即 类似地可以证明情形(2)第二种充分条件的证明：第四十八张，PPT共九十四页，创作于2022年6月讨论：函数 f 1(x)x 4，f 2(x)x 3在点x0是否有极值？f 1(x)4x 3，f 1(0)0，f 1(x)12x 2，f 1(0)0当x0时，f 1(x)0时，f 1(x)0 f 1(0)为极小值 f 2(x)3x 2，f 2(0)0，f 2(x)6x，f 2(0)0 f 2(x)0，f 2(0)不是极值 1012112xy101x1234y第四十九张

20、，PPT共九十四页，创作于2022年6月 (2)令f(x)0，求得驻点x 11，x 20，x 31 (3)f(x)6(x 21)(5x 21)(4)因f(0)60，所以x0为极小值点，极小值为 f(0)0 (5)因f(1)f(1)0，用定理 3 无法判别 例3 求函数f(x)(x 21)31的极值 解法一(1)f(x)6x(x 21)2同理，f(x)在1处也没有极值 因为在1的左右邻域内f(x)0，则f(x)在a，b上的图形是凹的；(2)若在(a，b)内f(x)0，则f(x)在a，b上的图形是凸的确定曲线的凹凸性和拐点的步骤：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求出在函数二阶导数f(x)；

21、(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；(4)判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点；注：根据具体情况（1）（3）步有时省略曲线凹凸性的判定：第七十张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 例1 判断曲线yln x 的凹凸性 解 (1)函数yln x 的定义域为(0，)；(3)因为当0 x时，y0，所以曲线yln x是凸的 例2 判断曲线yx 3的凹凸性 解 (1)函数yx 3的定义域为(，)；(2)y3x 2，y6x；(3)由y0，得x0；(4)判断：因为当x0时，y0时，y0，所以曲线在0，)内为凹的第七十一张，PPT共九十四页，创作于2022年6月(，0)(0，)0f(x)

22、f(x)+0 曲线在(，0内为凸的，在0，)内为凹的 (4)列表判断：例1 判断曲线yln x 的凹凸性 解 (1)函数yln x 的定义域为(0，)；(3)因为当0 x时，y0，在区间(，)内曲线是凹的，因此曲线无拐点 (3)无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为x0；(4)判断：当x0；当x0时，y0因此，点(0，0)曲线的拐点 解 (1)函数的定义域为(，)；第七十六张，PPT共九十四页，创作于2022年6月46 函数图形的讨论（描绘）函数图形的讨论（描绘）复习观察与思考描绘函数图形的一般步骤画图举例函数图形的描绘函数图形的描绘第七十七张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 f(x

23、)0，f(x)0，abxyO y=f(x)ab函数单调增加 f(x)0，复习：函数图形的描绘函数图形的描绘第七十八张，PPT共九十四页，创作于2022年6月xyO函数单调减少曲线是凹的 y=f(x)f(x)0，abxyO y=f(x)ab函数单调减少曲线是凸的 f(x)0，f(x)0，1、函数的单调性与曲线的凹凸性复习：函数图形的描绘函数图形的描绘第七十九张，PPT共九十四页，创作于2022年6月xyOx1x2x3 f(x3)(x2,f(x2)极大值极小值极小值点极大值点拐点 y=f(x)f(x1)f(x1)=0f(x2)=0 f(x3)=02、极值点、极值与拐点第八十张，PPT共九十四页，创

24、作于2022年6月 观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？函数的图形有无渐近线？有无对称性？21012xy观察与思考：第八十一张，PPT共九十四页，创作于2022年6月21012xy 观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？函数的图形有无渐近线？有无对称性？观察与思考：第八十二张，PPT共九十四页，创作于2022年6月21012xy 观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？函数的图形有无渐近线？有无对称性？观察与思考：第八十三张，PPT共九十四页，创作于2022年6月210

25、12123xy第八十四张，PPT共九十四页，创作于2022年6月21012123xy第八十五张，PPT共九十四页，创作于2022年6月21012123xy第八十六张，PPT共九十四页，创作于2022年6月321O1234532112345xyx=1是函数的间断点，无极值点和拐点 画函数的图形都要考虑什么？第八十七张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 (1)确定函数的定义域；(2)观察函数y=f(x)是否具有奇偶性、周期性；(3)求出一阶、二阶导数为零的点和一阶、二阶导数不存在的点；(4)列表，确定曲线的单调性、极值点和极值，确定曲线的凹凸性和拐点；(5)确定曲线有无渐近性；(6)确定一些

26、特殊点(曲线与坐标轴的交点等);(7)在直角坐标系中，描出所有关键性的点，画出渐近线，最后按照曲线的性态逐段描绘描绘函数图形的一般步骤：第八十八张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 (4)计算特殊点：f(0)1；f(1)0.解 (1)函数的定义域为(，)，(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1)，f(x)6x22(3x1)驻点为x 1/3和x1；二阶导数为零的点为x 1/3 (3)列表分析：f(x)f(x)f(x)(,1/3)1/3(1/3,1/3)1/3(1/3，1)(1，)1+000+x32/27极大0极小16/27拐点 (5)描点联线画出图形：例1 画出函数yx 3x 2x1的

27、图形第八十九张，PPT共九十四页，创作于2022年6月补充：f(3/2)5/8Oxy12-11 yx 3x 2x1 f(x)f(x)f(x)(,1/3)1/3(1/3,1/3)1/3(1/3，1)(1，)1+000+x32/27极大0极小16/27拐点 (5)描点联线画出图形：(4)计算特殊点：f(0)1；f(1)0第九十张，PPT共九十四页，创作于2022年6月请比较:1011xyOxy12-11 yx 3x 2x1第九十一张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 (4)列表：解 (1)所给函数的定义域为(，3)(3，)；(2)所给函数是非奇非偶函数；(3)当x=3时，f(x)=0，当x=

28、6时，f(x)=0；(，3)(3，3)3(3，6)6(6，)x f(x)f(x)f(x)004极大11/3拐点 (5)x=3是曲线的铅直渐近线，y=1是曲线的水平渐近线；(6)特殊点：f(0)1 (7)绘图补充f(1)8，f(9)8，f(15)11/4；例2 第九十二张，PPT共九十四页，创作于2022年6月 y=1Oxy63912-3-6-9-12-153-3x=3(3,4)(9,8)(1,8)(，3)(3，3)3(3，6)6(6，)x f(x)f(x)f(x)004极大11/3拐点 (5)x=3是曲线的铅直渐近线，y=1是曲线的水平渐近线；(6)特殊点：f(0)1 (7)绘图补充f(1)8，f(9)8，f(15)11/4；第九十三张，PPT共九十四页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第九十四张，PPT共九十四页，创作于2022年6月