函数最佳逼近.ppt

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1、关于函数的最佳逼近第一张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.20221第三章 函数的最佳逼近1 最佳逼近问题最佳逼近问题一、函数的逼近方法一、函数的逼近方法关于函数的关于函数的n次次多项式多项式逼近方法逼近方法，已知有下面的几种：，已知有下面的几种：1.Taylor展式展式如果如果误差为误差为第二张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.20222第三章 函数的最佳逼近2.2.插值多项式插值多项式 同为同为n 次多项式，哪一个逼近效果更好呢？这时可以建次多项式，哪一个逼近效果更好呢？这时可以建立一个立一个度量标准度量标准来进行度量。在所建立的度量标准之下，来进行度量

2、。在所建立的度量标准之下，就可以给出就可以给出最佳的最佳的n 次逼近多项式次逼近多项式。注：注：除了用除了用多项式多项式来逼近一个函数来逼近一个函数 f(x),也可以用其它具也可以用其它具有某种有某种共同特征的函数共同特征的函数来逼近来逼近 f(x)，并求出其相应的最，并求出其相应的最佳逼近。佳逼近。例如，例如，第三张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.20223第三章 函数的最佳逼近3.3.最佳逼近问题最佳逼近问题 给定给定函数空间函数空间函数空间函数空间X X 中的一个中的一个子集合子集合 ，对于对于某一已知函数某一已知函数f(x)X，在在 中寻求一个函数中寻求一个函数p(

3、x)作为作为函数函数f(x)关于某个关于某个度量度量标准标准下的最佳逼近下的最佳逼近函数函数,称之为称之为最佳逼近问题最佳逼近问题。X 本章我们主要考虑本章我们主要考虑连续函数空间连续函数空间X=Ca,b上的最佳逼近问题，这时的子集上的最佳逼近问题，这时的子集合合可以取为由具有可以取为由具有某种共同特征某种共同特征的函数的函数组成，例如组成，例如多项式函数多项式函数、三角函数三角函数、指数指数函数函数、分式有理函数分式有理函数等。等。同时，还需要给出连续函数空间同时，还需要给出连续函数空间上的一个上的一个度量标准度量标准，下面先通过，下面先通过内积内积给出给出平方范数平方范数。p(x)从总体上

4、更能反映从总体上更能反映f(x)的特性或总体上其偏差按某种度量达到最小的特性或总体上其偏差按某种度量达到最小第四张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.20224第三章 函数的最佳逼近二、连续函数的平方范数二、连续函数的平方范数 已知所有连续函数构成的集合已知所有连续函数构成的集合Ca,b是一个是一个线性空间线性空间，对于，对于Ca,b中的任意函数中的任意函数 f(x)、g(x)，定义实数定义实数可以证明此实数满足性质：可以证明此实数满足性质：这时，称这时，称(f,g)为为 f(x)与与 g(x)的的内积内积。(1).(f,g)=(g,f);(2).(f,g)=(f,g),R;(

5、3).(f+g,h)=(f,h)+(g,h);(4).(f,f)0,当且仅当当且仅当 f=0 时时(f,f)=0 第五张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.20225第三章 函数的最佳逼近为函数为函数 f(x)的的平方（欧氏）范数平方（欧氏）范数，且满足以下性质：，且满足以下性质：给出了函数的给出了函数的范数范数，便给出了函数的一个，便给出了函数的一个度量标准度量标准，在此，在此度量标准之下，就可以找出度量标准之下，就可以找出 f(x)在不同函数类中的最佳逼近。下在不同函数类中的最佳逼近。下面就来考虑面就来考虑这一最佳逼近问题的解决这一最佳逼近问题的解决。并称并称（3.1）（1

6、）f2 0,f2=0,当且仅当当且仅当 f=0 ；（2）c f2=|c|f2;（3）f+g2 f2+g2;无穷范数无穷范数第六张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.20226第三章 函数的最佳逼近柯西柯西施瓦施瓦茨不等式茨不等式第七张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.20227第三章 函数的最佳逼近基函数基函数2 函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近一、公式的推导一、公式的推导 对于连续函数空间对于连续函数空间 Ca,b 中的元素中的元素 f(x)及其及其子空间子空间所谓所谓 f(x)在在 中的中的最佳平方逼近最佳平方逼近最佳平方逼近最佳平方逼近，就是存在，就

7、是存在使得对于一切使得对于一切都有：都有：广义多项广义多项式式有限维有限维第八张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.20228第三章 函数的最佳逼近不等式不等式 说明说明所求的所求的满足等式：满足等式：其中其中(3.2)由于由于pn*(x)是由其系数是由其系数c0*,c1*,cn*唯一确定的，因此，只要我唯一确定的，因此，只要我们求出了满足们求出了满足(3.2)的的 c0*,c1*,cn*，就可以求出就可以求出f(x)最佳平方逼最佳平方逼近近：投影投影第九张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.20229第三章 函数的最佳逼近(3.3)构造多元函数构造多元函数根据

8、根据则则这时等式这时等式(3.4)意味着意味着(3.5)第十张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202210第三章 函数的最佳逼近(3.5)(3.3)的极小值点的极小值点。(3.4)也就是说，求出满足也就是说，求出满足等式等式(3.4)的的 pn*(x)，等价于求出满足等价于求出满足等式等式(3.5)的的 c0*,c1*,cn*。由由(3.5)可知可知 c0*,c1*,cn*是是 n+1 元二次函数函数元二次函数函数第十一张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202211第三章 函数的最佳逼近而而n+1元函数元函数在区间在区间(-,+)上具有上具有一阶连续导函

9、数一阶连续导函数，因此根据，因此根据极值原理极值原理，在，在最小值点最小值点 c0*,c1*,cn*处：处：而而于是于是即即第十二张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202212第三章 函数的最佳逼近利用内积利用内积可以得到可以得到这是一个含有这是一个含有n+1个变量的方程组，具体形式为：个变量的方程组，具体形式为：第十三张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202213第三章 函数的最佳逼近再写成再写成矩阵形式为矩阵形式为第十四张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202214第三章 函数的最佳逼近这是关于这是关于n+1个个变量变量c0,c1

10、,cn 的线性方程组，并称其为的线性方程组，并称其为法方程法方程组组，或者，或者正规方程组正规方程组。解此方程组，就可以得到解此方程组，就可以得到c0*,c1*,cn*，也就得到了也就得到了f(x)的的最佳平方逼近：最佳平方逼近：格拉姆格拉姆(Gram)矩阵矩阵最佳平方逼近函数存在惟一最佳平方逼近函数存在惟一第十五张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202215第三章 函数的最佳逼近二、误差估计二、误差估计最佳平方逼近的平方误差为最佳平方逼近的平方误差为由方程组由方程组可得可得对于最佳逼近解对于最佳逼近解第十六张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202216

11、第三章 函数的最佳逼近于是，最佳平方逼近于是，最佳平方逼近的平方误差为的平方误差为如果如果(3.6)则称则称(3.6)(3.6)为为 f(x)的在的在a,b上的最佳平方逼近上的最佳平方逼近n次多项式次多项式。n较大时，法方程组出现病态（第六章讲，实习题六6-3Hilbert矩阵）,可取基函数为正交基函数（如三角函数）第十七张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202217第三章 函数的最佳逼近*求求连续函数最佳平方逼近的步骤连续函数最佳平方逼近的步骤*1.给定给定a,b上的连续函数上的连续函数f(x),及子空间及子空间2.利用内积利用内积给出法方程组给出法方程组第十八张，PPT

12、共七十五页，创作于2022年6月16.10.202218第三章 函数的最佳逼近3.求出法方程组的解求出法方程组的解 c0*,c1*,cn*,得到最佳平方逼近得到最佳平方逼近4.求出求出平方平方误差误差称为称为均方均方误差误差第十九张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202219第三章 函数的最佳逼近 例例3.13.1求求 在在 上的上的最佳平方逼近最佳平方逼近一次多项式，一次多项式，并估计误差。并估计误差。直接套用公式：直接套用公式：解：设解：设 令基函数为令基函数为 则需要求解的方程组为：则需要求解的方程组为：第二十张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.20

13、2220第三章 函数的最佳逼近 这时由这时由 得到得到于是得到法方程组于是得到法方程组 第二十一张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202221第三章 函数的最佳逼近解之得解之得 最佳平方逼近最佳平方逼近一次多项式为一次多项式为 关于误差，由误差估计式关于误差，由误差估计式第二十二张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202222第三章 函数的最佳逼近得到得到 第二十三张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202223第三章 函数的最佳逼近 例例3.2 求求 f(x)=arctanx 在在0,1 上的最佳平方逼近二次多项上的最佳平方逼近二次多项

14、式，并估计误差。式，并估计误差。解：设解：设 P2(x)=c0+c1 x+c2x2，则则 需要写出法方程组需要写出法方程组 这时这时第二十四张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202224第三章 函数的最佳逼近第二十五张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202225第三章 函数的最佳逼近法方程组为法方程组为解得：解得：且且第二十六张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202226第三章 函数的最佳逼近本节本节(2)小结小结1.1.何为连续函数最佳平方逼近多项式？何为连续函数最佳平方逼近多项式？2.2.如何计算连续函数的最佳平方逼近如何计算连续

15、函数的最佳平方逼近n次次多项式？多项式？3.如何估计最佳平方逼近如何估计最佳平方逼近n次多项式的误差？次多项式的误差？4.练习：试求函数练习：试求函数 f(x)=1/x 在区间在区间1,3上的最佳平方逼近一次多上的最佳平方逼近一次多项式并估计误差。项式并估计误差。第二十七张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202227第三章 函数的最佳逼近3 3 离散数据拟合的最小二乘法离散数据拟合的最小二乘法 当我们得到的实验数据是准确值时，可以用代数插值的当我们得到的实验数据是准确值时，可以用代数插值的方法，求出原函数的近似表达式。方法，求出原函数的近似表达式。经常由观察或测试可得到经常

16、由观察或测试可得到 y=f(x)的一组离散数据的一组离散数据：但是，这组离散数据由观察或测试得到，往往并非完全精但是，这组离散数据由观察或测试得到，往往并非完全精确，如果用插值的方法来逼近，效果就不会太好确，如果用插值的方法来逼近，效果就不会太好。这时可以考虑用这时可以考虑用最小二乘法最小二乘法进行数据拟合，给出逼近曲线。其进行数据拟合，给出逼近曲线。其特点特点是：是：所求的逼近曲线不一定经过这些离散点，但却尽可能所求的逼近曲线不一定经过这些离散点，但却尽可能的靠近原曲线的靠近原曲线。(xi,yi),yi=f(xi),i=0,1,m离散点的最佳平方逼近离散点的最佳平方逼近-几何上称为几何上称为

17、曲线拟合曲线拟合(curve fitting)第二十八张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202228第三章 函数的最佳逼近最小二乘拟合曲线最小二乘拟合曲线第二十九张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202229第三章 函数的最佳逼近三次样条函数插值曲线三次样条函数插值曲线第三十张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202230第三章 函数的最佳逼近LagrangeLagrange插值曲线插值曲线第三十一张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202231第三章 函数的最佳逼近一、数据拟合的最小二乘法的思想一、数据拟合的最小二乘

18、法的思想 已知离散数据：已知离散数据：(xi,yi),i=0,1,2,m,假设我们用函数假设我们用函数 逼近函数逼近函数f(x)，则两个函数在每一个点，则两个函数在每一个点xi都会产生一个误差：都会产生一个误差：我们希望所求的逼近函数在每一个我们希望所求的逼近函数在每一个xi 处所产生的误差处所产生的误差i 的绝对值的绝对值|i|达最小达最小。但这样分别考虑太困难，所以我们应考虑整体误差。但这样分别考虑太困难，所以我们应考虑整体误差第三十二张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202232第三章 函数的最佳逼近应该使应该使整体达最小整体达最小（误差的平方和最小）（误差的平方和最

19、小）。通过这种通过这种度量标准度量标准求得拟合曲线的方法，就称作求得拟合曲线的方法，就称作曲线拟合的曲线拟合的最小二乘法最小二乘法(最小二乘逼近最小二乘逼近)。按照以上思想求按照以上思想求 f(x)的拟合曲线（的拟合曲线（逼近函数逼近函数）时，首先需要确）时，首先需要确定出定出 f(x)所属的函数类，然后进一步求出具体函数，具体按照以下所属的函数类，然后进一步求出具体函数，具体按照以下步骤进行步骤进行。第三十三张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202233第三章 函数的最佳逼近二、最小二乘法拟合曲线的步骤二、最小二乘法拟合曲线的步骤第二步：根据图示判断点第二步：根据图示判断

20、点(xi,yi)所反映的函数类，确定曲线所反映的函数类，确定曲线 所属的所属的函数类型函数类型，例如，例如多项式函数类、三角函数多项式函数类、三角函数 类、指数函数类、对数函数类类、指数函数类、对数函数类等。假设所确定的等。假设所确定的 函数类的基函数为函数类的基函数为第一步：根据如下已知点的坐标，在坐标系里描点第一步：根据如下已知点的坐标，在坐标系里描点则所求的函数可以表示为：则所求的函数可以表示为：只要确定了系数，就可以求出拟合曲线。只要确定了系数，就可以求出拟合曲线。经验公式经验公式第三十四张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202234第三章 函数的最佳逼近第三步：对

21、于其整体误差第三步：对于其整体误差所求的解应该使以上二次函数所求的解应该使以上二次函数达到极小达到极小，由极值原理应有：，由极值原理应有：令：令：第三十五张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202235第三章 函数的最佳逼近这样由这样由及及求得求得整理为整理为第三十六张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202236第三章 函数的最佳逼近令令则有则有这样就给出了求解这样就给出了求解 方程组方程组：离散内积离散内积第三十七张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202237第三章 函数的最佳逼近同样称其为同样称其为法方程组法方程组法方程组法方程组。

22、解法方程组求得。解法方程组求得便得到最小二乘拟合曲线便得到最小二乘拟合曲线为了便于求解，我们再对为了便于求解，我们再对法方程组法方程组的导出作进一步分析。的导出作进一步分析。第三十八张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202238第三章 函数的最佳逼近得到得到法方程组法方程组系数矩阵系数矩阵系数矩阵系数矩阵第第 j 行的元素为：行的元素为：由由第三十九张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202239第三章 函数的最佳逼近于是法方程组的于是法方程组的系数矩阵系数矩阵可写为：可写为：将右端第二个矩阵记为将右端第二个矩阵记为：第四十张，PPT共七十五页，创作于20

23、22年6月16.10.202240第三章 函数的最佳逼近则则系数矩阵系数矩阵可以表示为：可以表示为：此外，关于法方程组的此外，关于法方程组的右端项右端项（常数项）（常数项）：第四十一张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202241第三章 函数的最佳逼近由由得到得到第四十二张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202242第三章 函数的最佳逼近最后可以将最后可以将法方程组法方程组表示为：表示为：其中其中这样可以较快写出这样可以较快写出法方程组法方程组来。来。第四十三张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202243第三章 函数的最佳逼近如果所求得

24、最小二乘拟合函数为如果所求得最小二乘拟合函数为n次多项式次多项式，则：，则：这时这时：误差误差：第四十四张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202244第三章 函数的最佳逼近三、三、数值例子数值例子 例例3.4 根据如下根据如下离散数据离散数据拟合曲线并估计误差拟合曲线并估计误差 x 1 2 3 4 6 7 8 y 2 3 6 7 5 3 2解解:step1:描点描点 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1*step2:从图形可以看出拟合从图形可以看出拟合曲线为曲线为一条抛物线一条抛物线：step3:根据基函数给出法方根据基函数给出法方程组程组第四十五张，

25、PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202245第三章 函数的最佳逼近由由得到得到即即又又求得求得法方程组为法方程组为：第四十六张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202246第三章 函数的最佳逼近解得解得：求得拟合二次多项式函数求得拟合二次多项式函数误差为：误差为：先计算出拟合函数值：先计算出拟合函数值：得到得到：或者：或者：xi1234678 p21.72724.00015.50026.22755.36373.77261.4087第四十七张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202247第三章 函数的最佳逼近 解：在坐标轴描点解：在坐标轴描点

26、例例 3.5 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差根据如下离散数据拟合曲线并估计误差 xi-3-2 -1 0 1 2 3 yi 4 2 3 0-1 -2 -5从离散点的图形上从离散点的图形上看不看不出出原函数属于哪一类型，原函数属于哪一类型，一般多采用多项式拟合，一般多采用多项式拟合，在此我们用二次多项式拟在此我们用二次多项式拟合。合。第四十八张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202248第三章 函数的最佳逼近根据如下离散数据给出法方程组根据如下离散数据给出法方程组 xi-3-2 -1 0 1 2 3 yi 42 3 0-1 -2 -5这时这时求得求得得到法方程组得到法方程组

27、第四十九张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202249第三章 函数的最佳逼近所求二次拟合曲线为所求二次拟合曲线为 拟合曲线的均方偏差为拟合曲线的均方偏差为由由解得：解得：第五十张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202250第三章 函数的最佳逼近 拟合曲线拟合曲线在实际中有广泛应用，特别在在实际中有广泛应用，特别在实验、统计实验、统计等方面是如等方面是如此。通常，由一组试验或观测取得数据，这些数据先在平面上标出，此。通常，由一组试验或观测取得数据，这些数据先在平面上标出，然后确定拟合曲线的类型。然后确定拟合曲线的类型。例如，电阻与导线的长度呈线性关系，如何

28、确定具体的线例如，电阻与导线的长度呈线性关系，如何确定具体的线性表示式，可通过对不同长度的导线测试电阻所得数据作拟合性表示式，可通过对不同长度的导线测试电阻所得数据作拟合曲线而得曲线而得。对于某些具体问题，有时对于某些具体问题，有时拟合曲线的类型拟合曲线的类型是是已知的已知的已知的已知的，所对，所对应的公式也叫做应的公式也叫做经验公式经验公式，只需确定曲线的，只需确定曲线的具体参数具体参数即可即可。下面给出一个已知经验公式，如何确定其中参数的例子下面给出一个已知经验公式，如何确定其中参数的例子。第五十一张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202251第三章 函数的最佳逼近例例

29、3.6 对如下数据作形如对如下数据作形如 y=aeb x 的拟合曲线的拟合曲线 解解:由于函数集合由于函数集合=aeb x|a,b R 不是一线性空间，因此直不是一线性空间，因此直接作拟合曲线是困难的。接作拟合曲线是困难的。为了便于计算，在函数为了便于计算，在函数 y=a eb x 两端分别取两端分别取对数对数得到得到这时，需要将这时，需要将原函数表原函数表进行转换如下进行转换如下令令 z=ln y ,A=ln a,B=b,则则 z=A+Bxln y=ln a+bx xi12345678 yi15.320.527.436.649.165.687.8117.6第五十二张，PPT共七十五页，创作于

30、2022年6月16.10.202252第三章 函数的最佳逼近对对 z=A+Bx 作线性拟合曲线，取作线性拟合曲线，取这时这时 xi12345678 yi15.320.527.436.649.165.687.8117.6 xi12345678 zi2.723.023.313.603.894.184.484.77第五十三张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202253第三章 函数的最佳逼近得正则方程组得正则方程组解得解得 于是有于是有拟合曲线为拟合曲线为：第五十四张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202254第三章 函数的最佳逼近例例3.7 3.7 利用最小二

31、乘法解下列超定（矛盾）方程组利用最小二乘法解下列超定（矛盾）方程组 解解:超定方程组很难得到一组值使得每一个方程都成立。一般情超定方程组很难得到一组值使得每一个方程都成立。一般情况下用况下用尽量使每一个方程都近似成立尽量使每一个方程都近似成立的的一组值一组值作为超定方程的近似解。作为超定方程的近似解。这时最小二乘法就可以用于解这类方程这时最小二乘法就可以用于解这类方程。采用最小二乘法，考虑如下的误差函数：采用最小二乘法，考虑如下的误差函数：独立方程数独立方程数多于变量数多于变量数第五十五张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202255第三章 函数的最佳逼近所求的所求的最小二乘

32、最小二乘解应该满足解应该满足第五十六张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202256第三章 函数的最佳逼近同理可得同理可得：令偏导数等于零令偏导数等于零第五十七张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202257第三章 函数的最佳逼近法方程组为：法方程组为：解此方程组得最小二乘解：解此方程组得最小二乘解：x1=-0.3141 x2=0.1333 x3=0.0269第五十八张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202258第三章 函数的最佳逼近关于法方程组的获得，可以用更简便的方法，先将方程组用矩关于法方程组的获得，可以用更简便的方法，先将方程组用

33、矩阵表示阵表示 简化为简化为 两边同乘以系数矩阵的转置矩阵，就得到所需要的法方程组两边同乘以系数矩阵的转置矩阵，就得到所需要的法方程组：具体计算结果如下：具体计算结果如下：第五十九张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202259第三章 函数的最佳逼近与前面计算的法方程组相同，解值得最小二乘解与前面计算的法方程组相同，解值得最小二乘解x1=-0.3141 x2=0.1333 x3=0.0269第六十张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202260第三章 函数的最佳逼近最小二乘曲线拟合最小二乘曲线拟合 矛盾方程组求最小二乘解矛盾方程组求最小二乘解矛盾方程组的最小

34、二乘解矛盾方程组的最小二乘解第六十一张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202261第三章 函数的最佳逼近本节本节(3)问题问题1、最小二乘法拟合曲线的步骤是什么？最小二乘法拟合曲线的步骤是什么？2、如何根据离散数据写出法方程组？如何根据离散数据写出法方程组？第六十二张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202262第三章 函数的最佳逼近3、最小二乘法拟合曲线的平方误差最小二乘法拟合曲线的平方误差如何计算？如何计算？4、确定经验公式确定经验公式 中的参数，使之中的参数，使之 与下列数据拟合与下列数据拟合 xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 y

35、i 0.1720.323 0.484 0.690 1.000 1.579第六十三张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202263第三章 函数的最佳逼近解解:该问题的求解，可以将其化为线性函数进行该问题的求解，可以将其化为线性函数进行由由得到得到令令则则则则再令再令第六十四张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202264第三章 函数的最佳逼近函数值转化为函数值转化为 xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 yi 0.172 0.323 0.484 0.690 1.000 1.579 xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 yi 5.

36、814 3.096 2.066 1.449 1.000 0.633这时，法方程组的系数矩阵按下式计算这时，法方程组的系数矩阵按下式计算第六十五张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202265第三章 函数的最佳逼近第六十六张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202266第三章 函数的最佳逼近由由计算出计算出法方程组法方程组第六十七张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202267第三章 函数的最佳逼近解得解得 c0 =6.0631 c1=-0.0474 c2=-10.0748利用利用得到得到最后得到最后得到第六十八张，PPT共七十五页，创作于2

37、022年6月16.10.202268第三章 函数的最佳逼近第三章第三章 最佳逼近小结最佳逼近小结一、一、最佳逼近问题最佳逼近问题 连续函数空间连续函数空间:X=Ca,b 子子 函函 数数 空空 间间:X 两种度量标准两种度量标准:|f|2 及及|f|二、连续函数的最佳平方逼近二、连续函数的最佳平方逼近1.三要素三要素第六十九张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202269第三章 函数的最佳逼近2.最佳平方逼近及法方程组最佳平方逼近及法方程组3.平方误差估计式平方误差估计式第七十张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202270第三章 函数的最佳逼近三、数据拟合

38、的最小二乘法三、数据拟合的最小二乘法1、最小二乘法拟合曲线的步骤最小二乘法拟合曲线的步骤2、法方程组的写出法方程组的写出3、平方误差平方误差第七十一张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202271第三章 函数的最佳逼近练练 习习 三三 3-1 求求 a,b ，使，使 达到极小。达到极小。3-2 给给出数据表出数据表使分别作出线性、二次曲线拟合，并给出最佳平方误差。使分别作出线性、二次曲线拟合，并给出最佳平方误差。xi-1.00-0.500.000.250.751.00 yi0.2200.8002.0002.5003.8004.200第七十二张，PPT共七十五页，创作于2022

39、年6月16.10.202272第三章 函数的最佳逼近3-3 用最小乘法求一个形如用最小乘法求一个形如 y=a+bx2 的经验公式，的经验公式，使与下列数据拟合，并计算均方误差。使与下列数据拟合，并计算均方误差。xi1925313344 yi19.0 32.2 49.0 73.3 97.83-4 对下列数据对下列数据求形如求形如 y=aebx 的拟合曲线的拟合曲线 3-5 用最小二乘法解方程组用最小二乘法解方程组 xi12345 yi16.427.244.573.5120.4第七十三张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202273第三章 函数的最佳逼近 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1*Oxy*xy*第七十四张，PPT共七十五页，创作于2022年6月16.10.202274第三章 函数的最佳逼近感感谢谢大大家家观观看看16.10.2022第七十五张，PPT共七十五页，创作于2022年6月