离散数学二元关系与函数.ppt

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1、关于离散数学二元关系和函数第一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月 在高等数学中，函数是在实数集合上进行讨论的，在高等数学中，函数是在实数集合上进行讨论的，其定义域是连续的。其定义域是连续的。本章把函数概念予以推广本章把函数概念予以推广 定义域为一般的集合，支持离散应用。定义域为一般的集合，支持离散应用。把函数看作是一种特殊的关系：单值二元关系。把函数看作是一种特殊的关系：单值二元关系。4.6函数的定义与性质第二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月函数定义函数定义定义设F 为二元关系,若xdomF 都存在唯一的yranF 使xFy 成立,则称F 为函数.对于函数F,如果有xFy,则

2、记作y=F(x),并称y 为F 在x 的函数值.例1F1=,F2=,F1是函数,F2不是函数4.6函数的定义与性质第三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月函数与关系的区别函数与关系的区别从从A A到到B B的函数的函数f f与一般从与一般从A A到到B B的二元关系的二元关系R R有如下有如下区别：区别：A A的每一元素都必须是的每一元素都必须是f f的序偶的第一坐标，的序偶的第一坐标，即即dom(f)=Adom(f)=A；但；但dom(R)dom(R)R R若若f(x)=yf(x)=y，则则函函数数f f在在x x处处的的值值是是惟惟一一的的，即即(f(x)=y)f(x)=y)(f(x

3、)=z)(f(x)=z)(y=z)(y=z)，；但但(xRy)(xRy)(xRz)(xRz)得不到得不到y=zy=z4.6函数的定义与性质第四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例例1 1 设设A=1,2,3,4,5A=1,2,3,4,5，B=6,7,8,9,10B=6,7,8,9,10，分别确定下列，分别确定下列各式中的各式中的f f是否为由是否为由A A到到B B的函数。的函数。(1)f=(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)(1)f=(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)(2)f=(1,9),(3,10),(2,6),(4,9)(2)f=

4、(1,9),(3,10),(2,6),(4,9)(3)f=(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10),(3,9)(3)f=(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10),(3,9)解解 （1 1）能构成函数，因）能构成函数，因为为符合函数的定符合函数的定义义条件。条件。（2 2）不不能能构构成成函函数数，因因为为A A中中的的元元素素5 5没没有有像像，不不满满足像的存在性。足像的存在性。（3 3）不能构成函数，因）不能构成函数，因为为A A中的元素中的元素1 1有两个像有两个像7 7和和9 9，不，不满满足像的惟一性。足像的惟一性。4.6函数的定义与性质第五张

5、，PPT共三十六页，创作于2022年6月函数相等函数相等定义设F,G为函数,则F=G FGGF一般使用下面两个条件：(1)domF=domG(2)xdomF=domG 都有F(x)=G(x)实例函数F(x)=(x21)/(x+1),G(x)=x1不相等,因为domFdomG.4.6函数的定义与性质第六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月从从A A到到B B的函数的函数定义设A,B为集合,如果f 为函数domf=A ranf B,则称f 为从A到B的函数,记作f：AB.实例f：NN,f(x)=2x 是从N 到N 的函数 g：NN,g(x)=2也是从N 到N 的函数4.6函数的定义与性质第七

6、张，PPT共三十六页，创作于2022年6月B B上上A A定义所有从A 到B 的函数的集合记作BA,读作“B上A”，符号化表示为BA=f|f：AB 计数：|A|=m,|B|=n,且m,n0,|BA|=nm.A=,则BA=B=.A且B=,则BA=A=.4.6函数的定义与性质第八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月实例实例例2设A=1,2,3,B=a,b,求BA.解BA=f0,f1,f7,其中f0=,f1=,f2=,，f3=,f4=,，f5=,f6=,f7=,4.6函数的定义与性质第九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月函数的像函数的像定义设函数f：AB,A1A.A1在f 下的像：f(

7、A1)=f(x)|xA1函数的像f(A)=ranf 注意：函数值f(x)B,而像f(A1)B.例3 设 f：NN,且 令A=0,1,B=2,那么有f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,24.6函数的定义与性质第十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月函数的性质函数的性质定义设f：AB,（1）若ranf=B,则称f：AB是满射的.（2）若任意x1，x2A而且不相等，都有f(x1)与f(x2)不相等,则称f：AB是单射的.（3）若f：AB既是满射又是单射的,则称f：AB是双射的f满射意味着：y B,都存在x使得 f(x)=y.f 单射意味着：f(x1)=f(x2)x1=x24.6函数

8、的定义与性质第十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月注意：注意：由单射的定义可知，设由单射的定义可知，设X X和和Y Y是有限集合，是有限集合，若存在单射函数若存在单射函数f:XYf:XY，则则|X|Y|X|Y|。由满射的定义可知，设由满射的定义可知，设X X和和Y Y是有限集合，是有限集合，若存在满射函数若存在满射函数f:XYf:XY，则则|X|Y|X|Y|。由由双双射射的的定定义义可可知知，设设X X和和Y Y是是有有限限集集合合，若存在双射函数若存在双射函数f:XYf:XY，则则|X|=|Y|X|=|Y|。4.6函数的定义与性质第十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月实例

9、实例例4判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?(1)f：RR,f(x)=x2+2x1(2)f：Z+R,f(x)=lnx,Z+为正整数集(3)f：RZ,f(x)=x(4)f：RR,f(x)=2x+1(5)f：R+R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+为正实数集.4.6函数的定义与性质第十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解(1)f：RR,f(x)=x2+2x1在x=1取得极大值0.既不单射也不满射.(2)f：Z+R,f(x)=lnx单调上升,是单射.但不满射,ranf=ln1,ln2,.(3)f：RZ,f(x)=x满射,但不单射,例如f(1.5)=f(1.2)=1.(4)f

10、：RR,f(x)=2x+1满射、单射、双射,因为它是单调的并且ranf=R.(5)f：R+R+,f(x)=(x2+1)/x有极小值f(1)=2.该函数既不单射也不满射.实例（续）实例（续）4.6函数的定义与性质第十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月构造从构造从A A到到B B的双射函数的双射函数有穷集之间的构造例5A=P(1,2,3),B=0,11,2,3解 A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3.B=f0,f1,f7,其中f0=,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,.令f：AB,f()=f0,f(1)=f1,f(2)=f2,f(3)=f3,f(1,

11、2)=f4,f(1,3)=f5,f(2,3)=f6,f(1,2,3)=f74.6函数的定义与性质第十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月实数区间之间构造双射构造方法：直线方程例6A=0,1B=1/4,1/2构造双射f:AB构造从构造从A A到到B B的双射函数（续）的双射函数（续）解令f：0,11/4,1/2 f(x)=(x+1)/44.6函数的定义与性质第十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月构造从构造从A A到到B B的双射函数（续）的双射函数（续）A 与自然数集合之间构造双射方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始按照次序与自然数对应例7A=Z,B=N，构造双射

12、f：AB将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：Z：0112233N：0123456则这种对应所表示的函数是：4.6函数的定义与性质第十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月常函数、恒等函数、单调函数常函数、恒等函数、单调函数 1.设f：AB,若存在cB 使得xA 都有f(x)=c,则称f：AB是常函数.2.称A 上的恒等关系IA为A 上的恒等函数,对所有的xA 都有IA(x)=x.3.设f：RR，如果对任意的x1,x2R，x1x2,就有f(x1)f(x2),则称f 为单调递增的；如果对任意的x1,x2A,x1x2,就有f(x1)f(x2),则称f 为严格单调递增的.类似可以定义单调递

13、减和严格单调递减的函数.4.6函数的定义与性质第十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月集合的特征函数集合的特征函数4.设设 A 为集合为集合,A A,A 的的 特征函数特征函数 A：A0,1 定义为定义为实例集合：X=A,B,C,D,E,F,G,H,子集：T=A,C,F,G,HT 的特征函数T：xABCDEFGHT(x)101001114.6函数的定义与性质第十九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月5.设R 是A 上的等价关系,令g：AA/Rg(a)=a,aA称g 是从A 到商集A/R 的自然映射.自然映射自然映射 4.6函数的定义与性质第二十张，PPT共三十六页，创作于2022

14、年6月实例实例例8(1)A的每一个子集A都对应于一个特征函数,不同的子集对应于不同的特征函数.例如A=a,b,c,则有=,，a,b=,(2)给定集合A，A 上不同的等价关系确定不同的自然映射,其中恒等关系确定的自然映射是双射,其他的自然映射一般来说是满射.例如 A=1,2,3,R=,IA g(1)=g(2)=1,2,g(3)=34.6函数的定义与性质第二十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月函数复合的定理函数复合的定理定理设F,G是函数,则F G也是函数,且满足(1)dom(FG)=x|xdomG G(x)domF(2)xdom(F G)有FG(x)=F(G(x)推论1设F,G,H为函

15、数,则(FG)H 和F(GH)都是函数,且(FG)H=F(GH)推论2设f：BC,g：AB,则fg：AC,且xA 都有fg(x)=f(g(x).4.7函数复合和反函数第二十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月函数复合运算的性质函数复合运算的性质定理设g：AB,f：BC.(1)如果f,g都是满射,则fg：AC也是满射.(2)如果g,f 都是单射,则f g:AC也是单射.(3)如果g,f 都是双射,则fg：AC也是双射.证(1)cC,由f：BC 的满射性,bB 使得f(b)=c.对这个b,由g：AB 的满射性，aA 使得f(a)=b.由合成定理fg(a)=f(g(a)=f(b)=c从而证明

16、了fg：AC是满射的.第二十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月函数复合运算的性质函数复合运算的性质(2)假设存在x1,x2A使得fg(x1)=fg(x2)由合成定理有f(g(x1)=f(g(x2).因为f：BC是单射的,故g(x1)=g(x2).又由于g：AB也是单射的,所以x1=x2.从而证明fg：AC是单射的.(3)由(1)和(2)得证.定理设f:AB，则f=fIB=IAf 第二十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月定理定理 设设f:XYf:XY，g:YZg:YZ，那么那么（1 1）若）若gfgf是单射，则是单射，则f f是单射。是单射。（2 2）若）若gfgf是满射，则

17、是满射，则g g是满射。是满射。（3 3）若）若gfgf是双射，则是双射，则f f是单射，是单射，g g是满射。是满射。函数复合运算的性质函数复合运算的性质第二十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月反函数存在的条件反函数存在的条件任给函数F,它的逆F 1不一定是函数,是二元关系.实例：F=,，F 1=,任给单射函数f：AB,则f 1是函数,且是从ranf 到A的双射函数,但不一定是从B 到A 的双射函数.实例：f:NN,f(x)=2x,f 1:ranfN,f 1(x)=x/2第二十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月反函数反函数定理设f：AB是双射的,则f 1：BA也是双射函数

18、.证因为f 是函数,所以f 1是关系,且dom f 1=ranf=B,ran f 1=domf=A,对于任意的yB=dom f 1,假设有x1,x2A使得f 1f 1成立,则由逆的定义有ff根据f 的单射性可得x1=x2,从而证明了f 1是函数，且是满射的.下面证明f 1的单射性.若存在y1,y2B 使得f 1(y1)=f 1(y2)=x,从而有f 1f 1ffy1=y2第二十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月反函数的定义及性质反函数的定义及性质对于双射函数f：AB,称f 1：BA是它的反函数.反函数的性质定理 设f：AB是双射的,则f 1f=IA,ff 1=IB对于双射函数f：AA

19、,有f 1f=ff 1=IA第二十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月定理定理 若若f:XYf:XY是可逆的，那么是可逆的，那么 （l l）(f(f-1-1)-1-1=f=f （2 2）f f-1-1f=If=IX X，f ff f-1-1=I=IY Y定理定理3.93.9 设设X,Y,ZX,Y,Z是集合，如果是集合，如果f:XYf:XY，g:YZg:YZ都是可逆的，那么都是可逆的，那么g gf f也是可逆的，且也是可逆的，且(g gf)f)-1-1=f=f-1-1g g-1-1 。第二十九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月函数复合与反函数的计算函数复合与反函数的计算例设f：R

20、R,g：RR 求f g,g f.如果f 和g 存在反函数,求出它们的反函数.解 f：RR不是双射的,不存在反函数.g：RR是双射的,它的反函数是g1：RR,g1(x)=x2第三十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月一、两个有限集如何比较多少。一、两个有限集如何比较多少。设两个班级A 和B，要比较这两个班级的学生哪班多，哪班少，可采取两种方法。方法1：报数。报数后看谁的数目大，数目大的就表示这个班上学生人数多。但这个方法对无限集却行不通。方法2：配对。将A 中的一个学生a1 和B 中的一个学生b1 配成一对，配好以后，不许他们再和别人配对了。然后再把A 中的另一个学生a2 和B 中的一个学

21、生b2 配成一对，同样，配好以后也不准他们再和其他人配对了。这样一对一配下去，如果A中的人都配完了，而B还剩下一些人，则说B中的学生比A多；如果B 中的人都配完了，而A 剩下一些人，则说A中的学生比B多；如果A和B中的学生正好都能一对一地搭配起来，则说A和B的学生人数一样多。这种“配对”的办法可以应用到无限集中去。第三十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月定义一定义一 设设A A与与B B为集合，若存在从为集合，若存在从A A到到B B的双射，则的双射，则称称A A和和B B为等势，记为为等势，记为A AB B。例例6.13(-1,1)6.13(-1,1)(-,+)(-,+)。证明证明

22、 因存在着双射因存在着双射 ，x(-1,1)x(-1,1)，所以，所以(-(-1,1)1,1)(-,+)(-,+)。等势关系具有如下性质等势关系具有如下性质 A AA A。若若A AB B，则，则B BA A。若若A AB B，B BC C，则，则A AC C。所以等势关系是等价关系。所以等势关系是等价关系。第三十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月定义二定义二 设设N Nn n=0,1,2,n-1=0,1,2,n-1，A A 为任一集合。若为任一集合。若A=A=或或A A 与某个与某个N Nn n等势，则称等势，则称A A为有限集；否则称为有限集；否则称A A 为无为无限集。限集。定

23、理一定理一 自然数集N为无限集。证明 任取nN，f 是从Nn 到N 的任意一个函数。令k=1+maxf(0),f(1),f(n-1)，则kN。但对每个xNn，都有f(x)k，因此f不是满射，从而f 不是双射。由n和f的任意性得知N 是无限的。第三十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月定义三定义三 （1 1）对于有限集合）对于有限集合A A，有唯一的，有唯一的NnNn与其等势，与其等势，对应的对应的n n称为称为A A的基数，记为的基数，记为|A|A|（2 2）自然数集）自然数集N N 的基数记为的基数记为 0 0（读作阿列夫零）。（读作阿列夫零）。（3 3）实数集）实数集R R 的基数

24、记为的基数记为（读作阿列夫）。（读作阿列夫）。由定义可知，有限集合的基数就是其所含元素的由定义可知，有限集合的基数就是其所含元素的个数。两个有限集合等势当且仅当个数。两个有限集合等势当且仅当A A和和B B 的元素个数相的元素个数相同。同。第三十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月定义四定义四 与自然数集N 等势的集合叫做可数集或可列集，其基数记为0。与自然数集N不等势的无限集叫做不可数集或不可列集。下面介绍可数集的一些性质。定理五定理五 集合A 为可数集的充要条件是A 的元素可以排列成无限序列的形式（即A=a0,a1,an,）。定理二定理二 任一无限集必含有可数子集。定理三定理三 任一无限集必与其某一真子集等势。定理四定理四 可数集的任何无限子集是可数的。定理五定理五 两个可数集的并集仍是可数集。第三十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第三十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月