第四章：格林函数ppt课件.ppt

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1、在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确数学物理方法概论数学物理方法概论之之（格林函数）（格林函数）（格林函数）（格林函数）主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐联系电话：联系电话：联系电话：联系电话：1529145699615291456996mailto:mailto:http:/ 格林函数格林函数 格林函数格林函数在电磁场理论中有广泛的应用，本节在电磁场理论中有广泛的应用，本节将在线性空间的框架下

2、，建立格林函数的定义和应将在线性空间的框架下，建立格林函数的定义和应用分析。用分析。事实上，希尔伯特空间中的事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。程，进而得到问题的求解。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学

3、中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1、点源函数法回顾；点源函数法回顾；2、格林函数的引入；格林函数的引入；3、格林函数与格林函数与 函数函数；4、一维格林函数；一维格林函数；5、三维格林函数；三维格林函数；6、格林函数在电磁学中的应用；格林函数在电磁学中的应用；7、并矢格林函数并矢格林函数第四章第四章 格林函数格林函数 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4

4、.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 经典的经典的格林函数方法格林函数方法在力学、电磁场理论中有在力学、电磁场理论中有广泛的应用。广泛的应用。从从点源点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源的概念出发（如质点、点电荷、点热源等），根据等），根据叠加原理叠加原理，通过点源场的有限积分来得，通过点源场的有限积分来得到任意源的场。到任意源的场。这种求解数学物理方程的方法即这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函经典的格林函数法数法，又称为点源函数法或影响函数法。，又称为点源函数法或影响函数法。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所

5、提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1.1 格林函数法的回顾格林函数法的回顾 首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加，于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加，利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可

6、得到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。回顾内容包括：回顾内容包括：1、点源函数的性质；、点源函数的性质；2、格林函数的一般求法（电像法）等；、格林函数的一般求法（电像法）等；3、格林函数求解边值问题的途径。、格林函数求解边值问题的途径。4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 例如：空间中，静电荷产生的电势问题，例如

7、：空间中，静电荷产生的电势问题，MOXYZ电荷源电荷源 电荷密度电荷密度空间空间M处的电势满足泊松方程：处的电势满足泊松方程：实际上：由静电学可知，位于实际上：由静电学可知，位于 点的单位正电荷在点的单位正电荷在r处的电势为处的电势为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得：表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得：1）找

8、到一个点源在一定边界或初值条件下的场）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场即格林函即格林函数（或称点源函数，影响函数）数（或称点源函数，影响函数）2）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般源的场源的场即通过有限积分表示原问题的解。即通过有限积分表示原问题的解。格林函数法（点源法）格林函数法（点源法）根据迭加原理，任意电荷分布的电势为：根据迭加原理，任意电荷分布的电势为：4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘

9、教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是：从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是：1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界条件的局限），条件的局限），2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题；物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题；3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算出任

10、意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换为关键是求解点源的相对简单的问题。为关键是求解点源的相对简单的问题。4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1.2 函数函数4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在

11、整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 2、定义、定义 函数函数更普遍的定义为更普遍的定义为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明

12、确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 3、三维、三维 函数函数其中其中为三维为三维 函数函数且具有性质：且具有性质：这表明，高维函数等于一维情况的乘积，由此，高维函数这表明，高维函数等于一维情况的乘积，由此，高维函数也具有一维函数

13、的所有的性质。也具有一维函数的所有的性质。4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 其中，

14、其中，为不同时为零的常数。为了得到定解问题为不同时为零的常数。为了得到定解问题(1)(2)4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4.1.3 泊松方程的边值问题泊松方程的边值问题的解的积分表达式，首先引入格林公式的解的积分表达式，首先引入格林公式一、泊松方程的基本形式一、泊松方程的基本形式在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 二、格林公式二、格林公式此式称为此式

15、称为化为体积分化为体积分在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 此式称为此式称为在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课

16、的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 三、积分公式三、积分公式格林函数法格林函数法 目标：求解目标：求解在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函

17、数法回顾 由于由于其中其中 为为M与与M0之间的距离之间的距离(3)在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 若能由此式化简整理得到若能由此式化简整理得到u(M),则一定是方程（则一定是方程（1）的解）的解这里这里G就相当于格就相当于格林第二公式中的林第二公式中的v在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题

18、也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问

19、题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 负号来自内小球面的负号来自内小球面的法向与矢径方向相反法向与矢径方向相反在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 注意到格林函数的对称性：注意到格林函数的对称性：上式的物理意义很难解释清楚，右边第一项，上式的物理意义很难解释清楚，右边第一

20、项，G(M,M0)代表代表M0点的点源在点的点源在M点产生的场，而点产生的场，而h(M)代表的却是代表的却是M点的源。点的源。将上式中的将上式中的G(M0,M)用用G(M,M0)代替且，将代替且，将M和和M0在公式在公式中互换，可得中互换，可得在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 （4）在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯

21、度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 物理意义：物理意义：（1）右边第一项积分代表在积分区域）右边第一项积分代表在积分区域 中体分布源中体分布源h(M0)在在M点产生的场的总和；点产生的场的总和；（2）右边第二、三积分项则是边界上的源所产生的场。这两种）右边第二、三积分项则是边界上的源所产生的场。这两种影响都是由同一格林函数给出的。影响都是由同一格林函数给出的。上式给出了泊松方程解的积分表达，但由于上式给出了泊松方程解的积分表达，但

22、由于G(M,M0)未知未知且不同边值条件也需做进一步的分析。且不同边值条件也需做进一步的分析。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 2、泊松方程边值问题的积分公式、泊松方程边值问题的积分公式(A)第一类边界条件第一类边界条件基本公式变为基本公式变为由由边界条件变为边界条件变为只要只要G(M,M0)，满足定解问题，则上式，满足定解问题，则上式u(M)就都为已知量

23、表示就都为已知量表示在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确G(M,M0)所构成的定解问题即所构成的定解问题即 下式称为泊松方程的下式称为泊松方程的狄氏问题狄氏问题 满足狄氏问题的格林函数，简称为满足狄氏问题的格林函数，简称为狄氏格林函数狄氏格林函数。4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 狄氏积分公式狄氏积分公式在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，

24、所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确基本积分公式变为基本积分公式变为 4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 (B)第二类边界条件第二类边界条件由由边界条件变为边界条件变为但此式不存在，因为但此式不存在，因为 在第二类在第二类齐次边界条件齐次边界条件 下无解。下无解。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确表示

25、在边界上是绝热的，由于边界绝热，从点源出来的表示在边界上是绝热的，由于边界绝热，从点源出来的4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 从物理上看，其意义十分明显。方程从物理上看，其意义十分明显。方程可看成稳定的热传导方程在可看成稳定的热传导方程在M0点有一个点热源，而边界条件点有一个点热源，而边界条件热量，会使体积内的温度不断升高，而不可能达到稳定状态。热量，会使体积内的温度不断升高，而不可能达到稳定状态。显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程使之与边界条件使之与边界条件 相容，相容，这就要引入所谓的广义格林函

26、数方程；或者修改边界条件使之这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 代入基本积分公式，得代入基本积分公式，得(C)第三类边界条件第三类边界条件若要求若要求G(M,M0)满足第三类的齐次边界，即满足第三类的齐次边界，即则

27、当则当G(M,M0)乘乘 ，以，以u(M)乘上式再相减，得乘上式再相减，得在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 由上面的讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程由上面的讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程可以先在相应的同类齐次边界条件下解格林函数所满足的方程可以先在相应的同类齐次边界条件下解格林函数所满足的方程再通过基本积分公式得到再通过基本积分公式得

28、到 u(M)。1)格林函数的定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且格林函数的定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且边界条件又是齐次的，因此求解相对容易。边界条件又是齐次的，因此求解相对容易。2)且不同泊松方程的非齐次项且不同泊松方程的非齐次项h(M)和边界条件中的不同和边界条件中的不同g(M)，只要属于同类边值问题，函数只要属于同类边值问题，函数G(M,M0)都相同。这就将泊松方都相同。这就将泊松方程的边值问题化为几种类型边界条件下求解格林函数的问题。程的边值问题化为几种类型边界条件下求解格林函数的问题。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深

29、，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 4.1.4 格林函数的一般求法格林函数的一般求法 一、无界空间的格林函数一、无界空间的格林函数 基本解基本解 从前讨论可知，确定了从前讨论可知，确定了G，就能利用积分表达式求得，就能利用积分表达式求得泊松方程边值问题的解。但一般求解泊松方程边值问题的解。但一般求解G，并非易事。，并非易事。只有某些特殊情况下，比较容易求出。只有某些特殊情况下，比较容易求出。无界区域的格林函数无界区域的格林函数G0,又又 称为

30、相应方程的称为相应方程的基本解基本解。将一般边值问题的格林函数将一般边值问题的格林函数G分为：分为：对于三维泊松方程，基本解对于三维泊松方程，基本解G0满足满足G1则满足相应的齐次方程则满足相应的齐次方程(拉普拉斯方程拉普拉斯方程)在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确它描述的是点它描述的是点 的点源在无界空间产生的稳定场。以静的点源在无界空间产生的稳定场。以静电场为例，它描述在点电场为例，它描述在点 电量为电量为 的

31、点电荷在无界的点电荷在无界空间中所产生电场在空间中所产生电场在 点的电势，即点的电势，即4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 及相应的边界条件，例如在第一边值问题中，及相应的边界条件，例如在第一边值问题中，从而有从而有拉普拉斯方程的边值问题的求解是熟知的，至于方程拉普拉斯方程的边值问题的求解是熟知的，至于方程类似的对于二维泊松方程，可用平面极坐标求得其基本解类似的对于二维泊松方程，可用平面极坐标求得其基本解G0满足满足在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习

32、，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。因此，球内电势应为球内电荷直接产生的电势与感应电荷所因此，球内电势应为球内电荷直接产生的电势与感应电荷所产生的电势之和。可将产生的电势之和。可将G写为写为边界条件为边界条件为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 此处此处G便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知考虑物理问题，设有一接地导体球内的考虑物理问题，设有一接地导体球内的 点放置一电量点放置一电量为为

33、的点电荷。则球内电势满足泊松方程的点电荷。则球内电势满足泊松方程二、用电像法求格林函数二、用电像法求格林函数 其中其中G0是不考虑球面边界影响的电势，是不考虑球面边界影响的电势，G1是感应电荷引起的是感应电荷引起的在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确G1则可以由则可以由 及上式的边界条件用分离变量法得到。及上式的边界条件用分离变量法得到。以及边界条件以及边界条件4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函

34、数 这样这样G0就是基本解，就是基本解，由前面的讨论可知，由前面的讨论可知，G0满足满足从而从而G1满足满足但这样得到的解往往是无穷级数。以下介绍另一种方法即但这样得到的解往往是无穷级数。以下介绍另一种方法即电像法电像法，用电像法可以得到有限形式的解。，用电像法可以得到有限形式的解。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确电像法的基本思想：电像法的基本思想：用一设想的等效点电荷来代替所有的感应电荷，于是可求得用一设想的等

35、效点电荷来代替所有的感应电荷，于是可求得G1的类似于的类似于G0的有限形式的解。显然，这一等效的点电荷不能的有限形式的解。显然，这一等效的点电荷不能位于球内，因为感应电荷在球内的场满足位于球内，因为感应电荷在球内的场满足 即球内即球内是无源的。又根据对称性，这个等效电荷必位于是无源的。又根据对称性，这个等效电荷必位于OM0的延长的延长线上的某点线上的某点M1，记等效电荷的电量为，记等效电荷的电量为 q，其在空间任意点，其在空间任意点M引起的电势为引起的电势为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 若将场点取在球面若将场点取在球面P点，则若点，则若则则 相似，从而相似，从而在

36、整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 因此若取因此若取 ，则球面上的总电势为，则球面上的总电势为正好满足正好满足这个设想的位于这个设想的位于M1点的等效点电荷称为点的等效点电荷称为M0点点电荷的电像。这样，球内任一点点点电荷的电像。这样，球内任一点的总电势是的总电势是其中其中在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，

37、所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4.2.1 格林函数的引入格林函数的引入 在希尔伯特空间中的在希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子方程）与积分算系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中可以引入格林函数的子之间有着密切的联系，从这个联系中可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，可将微分方程的表述转化定义，同时，利用这些格林函数，可将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。为积分方程，进而得到问题的求解。注意到积分算子方程：注意到积分算子方程：其中其中K是积分算子

38、，如果定义为是积分算子，如果定义为 4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确而而 是一个积分算子的核，当这个核来自于是一个积分算子的核，当这个核来自于包含微分算子方程的解时，被称为微分算子在相应边界条包含微分算子方程的解时，被称为微分算子在相应边界条件下的件下的格林函数格林函数，记为：，记为：它是服从边界条件它是服从边界条件 的系统相对应于的系统相对应于 的格林

39、函数。的格林函数。为赫维赛函数：为赫维赛函数：由此，根据微分积分方程的关系，可以引入格林函数，事实上，由此，根据微分积分方程的关系，可以引入格林函数，事实上，可以仿照以上方法，构造不同边界条件下的格林函数。可以仿照以上方法，构造不同边界条件下的格林函数。4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例：方程例：方程下的解为下的解为 因此，可以引入因此，可以引入格林函数

40、格林函数 作为算子作为算子 在本问题边界条件下的格林函数。在本问题边界条件下的格林函数。4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 在边界条件在边界条件在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确同样这个方程，改变边界条件为同样这个方程，改变边界条件为 时时 方程的解为方程的解为 因此，根据格林函数的定义有因此，根据格林函数的定义有 即：即：4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 在整堂课

41、的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确可见：可见：1、边界条件对格林函数的形式影响很大；、边界条件对格林函数的形式影响很大；2、格林函数的对称性与边界条件有关，后一个边界下是、格林函数的对称性与边界条件有关，后一个边界下是对称的，满足对称的，满足事实上，格林函数的对称性与算子的厄米性密切相关。事实上，格林函数的对称性与算子的厄米性密切相关。4.2.2 格林函数的对称性格林函数的对称性 若算子若算子L对任意函数对任意函数 f 和

42、和 g 有有 则则L是对称的，即自伴算子。是对称的，即自伴算子。在给定边界条件下，正因为微分算子的对称性，格林函数在给定边界条件下，正因为微分算子的对称性，格林函数也具有对称性。也具有对称性。4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4.2.3 微分方程与积分方程微分方程与积分方程 显然，在显然，在 ，通过格林函数，可以把微分方程转化，通过格林函数，可以把微分方程

43、转化为积分方程，从而使问题简化。这种作用是通过将微分算为积分方程，从而使问题简化。这种作用是通过将微分算子转化为以格林函数为核的平方可积的积分算子，这种平子转化为以格林函数为核的平方可积的积分算子，这种平方可积类型的核具有许多很好的性质，可以把任何有界函方可积类型的核具有许多很好的性质，可以把任何有界函数的无穷序列变成一个包含有平均收敛子序列的序列，容数的无穷序列变成一个包含有平均收敛子序列的序列，容易和矩阵理论相结合，使问题容易求解。易和矩阵理论相结合，使问题容易求解。4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具

44、有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 若需求解若需求解它不能直接积分求解，在此意义下它才是真正的微分方程。它不能直接积分求解，在此意义下它才是真正的微分方程。积分号下包含有未知函数的方程称为积分号下包含有未知函数的方程称为积分方程积分方程类似的，对类似的，对其中其中可得相应的积分方程可得相应的积分方程在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中

45、，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确设有算子方程设有算子方程 不妨设不妨设L具有一个正交完备的本征函数集合具有一个正交完备的本征函数集合 ，即有，即有 则将解则将解y 和已知函数和已知函数f 都表示为都表示为代入算子方程，有代入算子方程，有 1、格林函数的本征表述、格林函数的本征表述4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 4 格林函数格林函数 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所

46、提出的问题也很明确即即 由于由于 线性无关，因此线性无关，因此 所以所以 注意，这里的注意，这里的 ，并且假设对所有的，并且假设对所有的n 有有4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确可得：可得：因此因此 格林函数的本征函数表达式为格林函数的本征函数表达式为 是实数，算子是实数，算子L是厄米的，则格林函数是对称的是厄米的，则格林函数是对称的。4 格林函数格林函

47、数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例：例：求在区间求在区间0,1 内，算子内，算子对应的格林函数的本征函数表示。对应的格林函数的本征函数表示。解：解：L的端点值为零的归一化的本征函数是的端点值为零的归一化的本征函数是 本征值是本征值是 故格林函数为故格林函数为它一致收敛于一个连续函数，即前边所给的它一致收敛于一个连续函数，即前边所给的 4 格林函数格林函数 4.3 格林函

48、数与格林函数与 函数函数 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2、格林函数与、格林函数与 函数函数进一步，把进一步，把L作用到作用到G上，上，注意到，对任意函数注意到，对任意函数f(x)有有而而 是一个正交归一完备集合，右端就是是一个正交归一完备集合，右端就是f(x)的本征函的本征函数展开，因此有数展开，因此有 4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来

49、学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确因此因此I 具有具有 函数的性质，从而得到函数的性质，从而得到 这正是我们预期的结果。这正是我们预期的结果。至此，格林函数表示方程的解为至此，格林函数表示方程的解为 对对有有其中其中 是对应齐次方程是对应齐次方程 的通解，常数项由边界条件确定。的通解，常数项由边界条件确定。4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提

50、出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确设一般的二阶线性微分算子为设一般的二阶线性微分算子为 对齐次方程：对齐次方程：的两个线性无关的解为的两个线性无关的解为 ，我们希望求解方程，我们希望求解方程 比较上两个方程可以看到，除了比较上两个方程可以看到，除了 外，外，G必须满足方必须满足方程，因此，对程，因此，对 ，G应该是方程（应该是方程（1）的两个解的）的两个解的线性组合，对线性组合，对 类似。于是我们得到类似。于是我们得到（1）（2）4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 在整堂课的教学中，刘