最新大学积分变换之矢量分析11-13ppt课件.ppt

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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩

2、子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味

3、道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人

4、生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅大学积分变换之矢量分析11-13主要内容主要内容 重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即括两个重要定理：即 Gausstheorem和和 Stokestheorem以及运算的重要公式。以及运算的重要公式。1.矢性函数的运算规则矢性函数的运算规则2.矢性函数及性质（极限、连续、导数、微

5、分、积分）矢性函数及性质（极限、连续、导数、微分、积分）3.场论（梯度、散度、旋度）场论（梯度、散度、旋度）c.c.三重积三重积 三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。标量三重积标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。注意：先后轮换次序。在直角坐标系中：矢量三重积矢量三重积 2.矢性函数的概念矢性函数的概念定定义义 设设有数性有数性变变量量t和变矢和变矢A，如果对于，如果对于t，在某个范围，在某个范围G内的每一个数值，内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则都以一个确定的

6、矢量和它对应，则称称A为数性变量为数性变量t的矢性函数，记作的矢性函数，记作 A=A(t)并称并称G为矢性函数为矢性函数A的定义域。的定义域。在直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成在直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。3.矢端曲线矢端曲线本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A(t)的的起点取在坐标原点。这样当起点取在坐标原点。这样当t变化时，变化时，A(t)的终点的终点M就描绘出就描绘出一条曲线一条曲线l，称为矢函

7、数，称为矢函数A(t)的矢端曲线，也称为矢函数的矢端曲线，也称为矢函数A的的图形。同时称（图形。同时称（1.1）式或（）式或（1.2）式为此曲线的矢量方程。）式为此曲线的矢量方程。原点也称为矢端曲线的原点也称为矢端曲线的极极。由于终点为由于终点为M(x,y,z)的矢量的矢量OM对对于原点于原点O的的矢径矢径为为 当把当把A的起点取在坐标原点时，的起点取在坐标原点时，A实际上就成为其终点的矢径实际上就成为其终点的矢径 xyzolM4.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性极限的定义极限的定义 设矢函数设矢函数A(t)在点在点t0的某个邻域内有定义（但的某个邻域内有定义（但在在t0处可以无定

8、义），处可以无定义），A0为一常矢。若对于任意给定的正数为一常矢。若对于任意给定的正数，都存在一个正数，都存在一个正数，使当，使当t 满足满足就有就有成立，则称成立，则称A0为为A(t)当当 时的极限，记作时的极限，记作 极限运算法则：极限运算法则：若设若设则有则有即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。连续性的定义连续性的定义 若矢函数若矢函数A(t)在点在点t0的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，且有且有则称则称A(t)在在 t=t0 处连续。处连续。矢函数矢函数A(t)在在t0 处连续的充分必要条件是它的三个处连续的充分

9、必要条件是它的三个坐标函数坐标函数Ax(t)，Ay(t)，Az(t)都在都在t0处连续。处连续。若矢函数若矢函数A(t)在某个区间内的每一点处都连续，则在某个区间内的每一点处都连续，则称函数称函数A(t)在该区间内连续在该区间内连续。或称。或称A(t)是该区间内的连续是该区间内的连续函数。函数。一个矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分，用三个有序一个矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分，用三个有序数性函数的极限、连续、导数、微分、积分来描述（或表示）。数性函数的极限、连续、导数、微分、积分来描述（或表示）。1.2 1.2 矢性函数的导数与微分矢性函数的导数与微分1.矢性函数的导数矢性函数的

10、导数(导矢导矢)若若且函数且函数A x(t)，A y(t)，A z(t)在点在点t可导，则有可导，则有 即即矢函数的导数计算转化为三个数性函数的导数计算矢函数的导数计算转化为三个数性函数的导数计算。例例 已知已知r(t)=etcost i+etsint j+et k，求导矢，求导矢r(t)。解解 证明证明 例例 设设 证明证明 e()=e1(),e1()=-e()，及，及e()e1()xyo所以所以 容易看出，容易看出，e()为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆，因此又叫圆，因此又叫e()圆函数圆函数；与之相伴出现的；与之相伴出现的e1()亦为亦为单位矢量，其

11、矢端曲线亦为单位圆。单位矢量，其矢端曲线亦为单位圆。2.导矢的几何意义导矢的几何意义xyzolM导矢在几何上为一矢端曲线的导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量切向矢量，指向对应，指向对应t值增大的一值增大的一方。方。矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式设矢函数设矢函数A(t),B(t)及数性函数及数性函数u(t)在在t的某范围内可导，则的某范围内可导，则（5）（6）（7）复合函数求导：A=A(u),u=u(t)3.矢性函数的微分矢性函数的微分或或 例例 设设r()=acosi+bsinj,求求dr及及 dr。解解 xyzolM曲线的弧微分曲线的弧微分xyzolMM0如果矢函数如果矢函数A(t)=

12、Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k看作其终点看作其终点M(x,y,z)的矢径函数的矢径函数这里，这里，其模为其模为另一方面，若在有向曲线另一方面，若在有向曲线l上，取定一点上，取定一点M0作为计算弧长作为计算弧长s的的起点，并以起点，并以l之正向作为之正向作为s增大的方向，则在增大的方向，则在l上任一点上任一点M处，处，弧长的微分是弧长的微分是dr/ds的几何意义的几何意义有有矢函数对（其矢端曲线）弧长矢函数对（其矢端曲线）弧长 s的导数的导数 在几何上为一在几何上为一切向单位矢量切向单位矢量，恒指向，恒指向s增大的一方。增大的一方。由由曲线的切向单位矢量曲线的切向单位矢量例例 求圆柱螺

13、旋线求圆柱螺旋线 的切向单位矢量的切向单位矢量。解解 例例 导矢的物理意义。设质点导矢的物理意义。设质点M在空间运动，其矢径函数在空间运动，其矢径函数r=r(t)。xyzolMM0s1.3 1.3 矢性函数的积分矢性函数的积分1.矢性函数的不定积分矢性函数的不定积分其中其中C为任意常矢。为任意常矢。矢函数的不定积分计算转化为求三个数性函数的不定积分矢函数的不定积分计算转化为求三个数性函数的不定积分。具有与数性函数不定积分类似的性质。具有与数性函数不定积分类似的性质。例例 计算计算 解解 用换元法，令用换元法，令u=2+1，则，则例例 若质点运动的方程是若质点运动的方程是r=r(t)，当质点运动

14、的加速度为，当质点运动的加速度为i(6cost)+j(4sint)+ke-t，求，求r(t)与速度与速度v(t)，其中，其中r(0)=0。加速度为加速度为 解解 质点速度为质点速度为例例 计算积分计算积分 解解 用分部积分法用分部积分法由于由于v(0)=0，因而，因而c1=0,c2=4,c3=1，即，即由于由于r(0)=0，因而，因而k1=6,k2=0,k3=-1，于是，于是2.矢性函数的定积分矢性函数的定积分矢函数的定积分计算转化为求三个数性函数的定积分。矢函数的定积分计算转化为求三个数性函数的定积分。具有与数性函数定积分类似的性质。具有与数性函数定积分类似的性质。例例 设设 求求 解解 直角直角(x,y,z)zxyz=z 0 x=x 0y=y 0P0O正交坐标系正交坐标系 圆柱圆柱(,z)yzxP0 0 =0=0z=z 0O例例 设设 求其柱坐标表达式。求其柱坐标表达式。解解 柱坐标系中柱坐标系中球球(r,)xzy=00 0r=r 0 =0P0O作业作业1.1-4、6、9结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！34