最新大学高等数学经典课件7-6教学课件.ppt

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1、大学高等数学经典课件大学高等数学经典课件7-6 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系空间直线的方程不是 唯一的.二二 空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程方向向量.则在L直线的点应该同时满足这两个方程.如果点M不在直线L上,它就不满足上面 的方程组.由此可见上面两个方程是空间 直线的一般方程.通过直线L的平面有很多个,上面方程 的形式就不少.因此如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量称为直线的方向向量.由此可见一条直线的方向向量不是唯一的.任何非零向量只要平行于已知直线,就是该直线的 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科

2、技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系由直线的方向向量知道所求直线方程为三三 两条直线的夹角两条直线的夹角1,定义:两条直线的方向向量的夹角叫做两条直线的夹角.和直线2,求法 设有直

3、线 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系它们的方向向量为根据两向量的夹角余弦公式,可得到直线L1和 L2 的夹角余弦两条直线垂直的充分必要条件是两条直线平行的充分必要条件是公式 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例4 求两条直线L1 和 L2的夹角解:L1和L2的方向向量分别为故两直线的夹角为 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系四四 直线与平面的夹角直线与平面的夹角设直线L的方程是nL平面的方程是 Ax+By+Cz+D=0.因为夹角为/2-或/2+直线的方向向量S=m,n,p与平面的法向量

4、n=A,B,C的1,定义:直线与它在平面上的投影直线的夹角(0/2)叫做直线与平面的夹角.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系直线与平面垂直的充分必要条件是：直线与平面平行的充分必要条件是例5 求过点(1,0,-2)且与直线L相互垂直的平面方程解:先求直线L的对称式方程:高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系设z=0,则方程为用克莱姆法则,我们得到直线上的一点为(1,-1,0)对称式方程为直线的方向向量为5,7,11.下面,我们求直线上的一点.直线的方向向量为5,7,11,直线上的一点为(1,-1,0直线的 高高等等数数学学电电

5、子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系5x+7y+11z+17=0平面方程.平面与直线相互垂直,平面的法向量平行直线,所以平面的法向量同直线的方向向量相同.即为n=5,7,11.平面的方向向量知道,并知道平面过点(1,0,-2).于是平面的方程为 5(x-1)+7(y-0)+11(z+2)=0.即为例6 平面过z轴,且与平面2x+y-5z=0的夹角为/3,求此平面方程分析:平面过z轴,则z轴上的任一点,例如点O(0,0,0)在所求的平面上.因此只需要再求出平面的法向量,即可得到 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系设所求平面的法向量为n=Ai+Bj

6、+Ck因为nn1=|n|n1|cos(nn1),n1=2i+j-5k,我们得到设所求的平面的法向量为:n,因为所求的平面过z轴,故有nk=0.因为所求平面和已知平面的夹角为/3.平面之间的夹角为其法向量之间的夹角.设已知平面的法向量为n1:则有(n,n1)=/3.可得到所求平面方程.解:(1)平面过z轴,则点O(0,0,0)是所求平面上的一点.所求平面过z轴,则nk=0.即(Ai+Bj+Ck)(k)=C=0.所求平面和已知平面夹角为/3,则(nn1)=/3或2/3 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系代入n=Ai+Bj+Ck,我们得到所求的平面方程的法向量为故

7、所求的平面方程为 x+3y=0 或 -3x+y=0 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系五五 杂杂 例例例6 一平面过点M(1,2,1),且与两条直线平行,求其方程.解:两直线的方向向量分别为S1和S2于平面和直线平行由,即平面的法向量和两直线方向向量垂直 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系平面的法向量为故平面方程为:例7 设点M1与M2对称于直线L,已知点M1(4,3,10),直线为求点M2的坐标(x2,y2,z2)高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系面的交点是3,6,8解:过点M1(4,

8、3,10)作平面垂直于直线L,求出平面和直线的交点坐标,再应用中点坐标公式,求出M2的坐标.因为平面垂直直线,所以直线的方向向量为平面的法向量.因此平面方程为2(x-4)+4(y-3)+5(z-10)=0即为 2x+4y+5z-70=0把直线方程写成参数方程形式:x=1+2t,y=2+4t,z=3+5t代入平面方程得到直线和平面的交点.2(1+2t)+4(2+4t)+5(3+5t)-70=0.2+4t+8+16t+15+25t-70=45t-45=0,得到 t=1 即直线和平 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例8 求通过点M1(-1,0,4)并平行于平面3

9、x-4y+z-10=0且与直线相交的直线方程.解:设所求直线的方程为即S1S2M1 M2它和已知直线相交,所以该直线和已知直线可组成一平面,点M2(-1,3,0)和点M1都是该平面上的点,它们的连线和组成的新平面的法向量垂直.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系它和上面的方程10l-12m-9n=0联合得到:所求的直线平行于已知平面,所以直线的方向向量l,m,n垂直已知平面3x-4y+z-10=0的法向量.我们有 3l-4m+n=0,高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院

10、院数数理理系系处理比较方便,下面介绍这个方法.设直线L是是下列两个平面的交线,即我们把方程(2)乘上,加到方程(1)中得到例9 求过两个平面x+2y-z+1=0与2x-3y+z=0的交线且过点(1,2,3)的平面方程.解:多个平面相交于同一直线的问题,采用平面束方法来 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系设直线L通过平面方程(4)x+2y-z+1=0与2x-3y+z=0的交线且过点(1,2,3)把点M(1,2,3)的坐标代入方程(4)我们得到反之,凡是通过直线L的平面必定在方程(3)中.方程(3)称为通过直线L的平面束方程.可知方程(3)是通过直线L的.对于不同的,方程(3)表示通过直线L的不同平面.3-=0,我们取=1,则=3.代入方程(4)得到结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！26