五节隐函数求导公式.pptx

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1、一、隐函数存在定理简介隐函数：由方程所确定的函数.隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件 ，并有 1.一个方程的情形第1页/共31页例 验证方程在点能确定一个有连续导数、当时的隐函数解设则由定理1得：方程在点的某邻域内能确定一个有连续导数、当时的隐函数的某邻域内第2页/共31页隐函数存在定理2 设函数的某一邻域内具有连续偏导数，且 ，则方程F(x,y,z)=0在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 并有(2)第3页/共

2、31页2、方程组的情形隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在 点 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 且偏导数所组成的函数行列式或称雅可比(Jacobi)式：在点 不等于零，则第4页/共31页的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件并有方程组第5页/共31页(3)第6页/共31页下面，总假设隐函数存在且可导，在此前提下来讨论求隐函数的导数或偏导数的方法。1、一个方程的情形(1)设该方程确定了函数:即等式两端同时对 x 求导,得+=0二、隐函数的求导法第7页/共31页(2)设该方程确定了函数:即等式

3、两端同时对 x 求偏导,得+=0+等式两端同时对 y 求偏导,得+=0+第8页/共31页(3)设该方程确定了函数:即等式两端同时对 x 求偏导,得+=0+类似可得+第9页/共31页解=第10页/共31页例2 解（1）设=第11页/共31页（2）=第12页/共31页=注意第13页/共31页2.方程组的情形设该方程组确定了方程组两端同时对 x 求导，得+即+第14页/共31页=第15页/共31页设该方程组确定了:方程组两端同时对 x 求偏导，得+即+第16页/共31页=第17页/共31页同理,方程组两边同时对 y 求偏导,可得+即+第18页/共31页=第19页/共31页例3 解+=0+=0即+=+

4、=第20页/共31页解得=第21页/共31页例4 解+(=0+=0即+=+=+)第22页/共31页解得=第23页/共31页方法：由可确定(*)式两边同时对 x 求偏导，可求得(*)式两边同时对 y 求偏导，可求得(*)又=，例5第24页/共31页在点(x,y,u,v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)；例6 设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有连续偏导数，又(2)求反函数u=u(x,y)，v=v(x,y)对x,y的偏导数.第25页/共31页由隐函数存在定理3，得(1)证在点(x,y,u,v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y).它们是 x=x(u,v),y=y(u,v)的反函数。第26页/共31页设方程组(#):(2)解等式两边同时对 x 求偏导，得确定了函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)即第27页/共31页=第28页/共31页第29页/共31页作业P892,4,6,7,9,10,11第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页