凸优化理论与应用凸集.pptx

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1、信息与通信工程学院 庄伯金 1仿射集(Affine sets)直线的表示：线段的表示：仿射集的定义：过集合C内任意两点的直线均在集合C内，则称集合C为仿射集。仿射集的例：直线、平面、超平面第1页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 2仿射集仿射包：包含集合C的最小的仿射集。仿射维数：仿射包的维数。相对内点（relative interior）：第2页/共37页相对内点信息与通信工程学院 庄伯金 3第3页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 4凸集(Convex Sets)凸集的定义：集合C内任意两点间的线段均在集合C内，则称集合C为凸集。第4页/共37页凸集信息与通信工程学院 庄伯金 5第5页

2、/共37页仿射集与凸集的联系信息与通信工程学院 庄伯金 6所以仿射集一定是凸集第6页/共37页凸集信息与通信工程学院 庄伯金 7第7页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 8第8页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 9凸集凸包的定义：包含集合C的最小的凸集。第9页/共37页凸集信息与通信工程学院 庄伯金 10第10页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 11锥(Cones)锥的定义（nonnegative homogeneous）凸锥的定义：集合C既是凸集又是锥。锥包的定义：集合C内点的所有锥组合。第11页/共37页锥信息与通信工程学院 庄伯金 12第12页/共37页锥包信息与通信工程学院

3、庄伯金 13第13页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 14超平面和半空间超平面(hyperplane)：半空间(Halfspace)：第14页/共37页超平面信息与通信工程学院 庄伯金 15第15页/共37页半空间信息与通信工程学院 庄伯金 16第16页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 17欧氏球和椭球欧氏球(euclidean ball):椭球(ellipsoid):第17页/共37页椭圆球信息与通信工程学院 庄伯金 18第18页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 19范数球和范数锥范数(norm)：范数球(norm ball)：范数锥(norm cone)：第19页/共37页信息

4、与通信工程学院 庄伯金 20多面体(Polyhedra)多面体：单纯形(simplex)：第20页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 21第21页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 22半正定锥(Positive semidefinite cone)n阶对称矩阵集：n阶半正定矩阵集：n阶正定矩阵集：n阶半正定矩阵集为凸锥！第22页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 23保持凸性的运算集合交运算仿射变换透视函数(perspective function)线性分式函数(linear-fractional function)第23页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 24真锥(proper

5、cone)真锥的定义：锥 满足如下条件K具有内点K内不含直线第24页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 25广义不等式真锥 下的偏序关系：例：逐项不等式矩阵不等式广义不等式严格广义不等式第25页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 26广义不等式的性质第26页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 27严格广义不等式的性质第27页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 28最值和极值最小元的定义：设 ，对 ，都有 成立，则称 为 的最小元。极小元的定义：设 ，对于 ，若 ，则 成立，则称 为 的极小元。第28页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 29分割超平面(separating hyper

6、plane)定理：设 和 为两不相交凸集，则存在超平面将 和 分离。即：第29页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 30支撑超平面(supporting hyperplane)定义：设集合 ，为 边界上的点。若存在 ，满足对任意 ，都有 成立，则称超平面 为集合 在点 处的支撑超平面。定理：凸集边界上任意一点均存在支撑超平面。定理：若一个闭的非中空集合，在边界上的任意一点存在支撑超平面，则该集合为凸集。第30页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 31对偶锥(dual cone)对偶锥的定义：设 为锥，则集合 称为对偶锥。对偶锥的性质：真锥的对偶锥仍然是真锥！第31页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 32对偶广义不等式广义不等式与对偶等价性质最小元的对偶特性：第32页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 33对偶广义不等式极小元的对偶特性反过来不一定成立！第33页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 34作业(1)P60 2.8P60 2.10P60 2.14第34页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 35作业(2)P62 2.16P62 2.18P64 2.30第35页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 36作业(3)P64 2.31P64 2.33第36页/共37页信息与通信工程学院 庄伯金 37谢谢您的观看！第37页/共37页