同济大学高等数学第六下册习题课二重积分的计算.pptx

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1、 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：作出积分区域的草图选择适当的坐标系选定积分次序，定出积分限1。关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑一、主要内容第1页/共27页被积函数呈 常用极坐标其它以直角坐标为宜2。关于积分次序的选择选序原则能积分，少分片，计算简3。关于积分限的确定二重积分的面积元 为正确定积分限时一定要保证下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形第2页/共27页看图定限 穿越法定限 和不等式定限先选序，后定限直角坐标系。先 y 后 x，过任一x a,b,作平行于 y 轴的直线穿过D的内部从D的下边界曲线穿入内层积分的下限从上

2、边界曲线穿出内层积分的上限。先 x 后 y过任一 y c,d 作平行于 x 轴的直线定限第3页/共27页左边界 内层积分的下限右边界 内层积分的上限则将D分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加极坐标系积分次序一般是过极点O作任一极角 为 的射线从D的边界曲线 穿入从 穿出。如D须分片第4页/共27页内下限内上限具体可分为三种情况极点在D的边界上 是边界在极点处的切线的极角绝大多数情况下为0极点在D的内部化累次积分后外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘 r极点在D的外部第5页/共27页4。关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利

3、用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用对若D关于 x 轴对称第6页/共27页第7页/共27页若D关于 y 轴对称若D关于原点对称第8页/共27页称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为“你对称，我奇偶”、简单地说就是若 D 关于直线 y=x 对称第9页/共27页5 关于二重积分的换元法f(x,y)在D上连续 变换T：x=x(u,v),y=y(u,v)将 uov 平面上的

4、闭区域D1 变成 xoy 平面的闭区域D（1）x=x(u,v),y=y(u,v)在D1上具有连续的一阶偏导数（2）在D1上第10页/共27页基本要求:变换后定限简便，求积容易注意第11页/共27页二、例题分析例1 计算解积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆但它们围不成区域都有意义必须限制 因此D只能在x=0 ，x=2 之间确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单第12页/共27页显然 r 呢？极点在D的边界上，所以 那就错了不能以为极点O在区域的边界上就误以为对 r 积分的下限为0定 r 的积分限，应先固定以原点为起点作射线这射线和两个半圆相

5、交穿入从从穿出积分限如何确定第13页/共27页尽管极点在D的边界上但极角为 的射线并不是从极点穿入而不是域D的极坐标表示为第14页/共27页解D关于 x,y 轴及原点及 y=x 对称故故例2 计算第15页/共27页解例3 计算D1D2第16页/共27页解D的边界 极点在D的边界上圆周在(0,0)的切线斜率为故例4 计算第17页/共27页例5 计算D2D1解（和差化积）第18页/共27页例6设 f(x)在 0,1 上连续求解D第19页/共27页试将二重积分 化成定积分解由积分域和被积函数的对称性有用极坐标例7第20页/共27页 为将二次积分化为所需要的定积分，须变换积分次序DD1第21页/共27页依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数 化为一元函数自然想到用极坐标其次，若先对 r 后对 不可进一步化为定积分又想到换序例8设 f(x)连续，证明注第22页/共27页证一令则uv第23页/共27页证二xy第24页/共27页证三记则第25页/共27页（分部积分）第26页/共27页谢谢您的观看！第27页/共27页