五章节相似矩阵及二次型.ppt

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1、五章节相似矩阵及二次型 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望内积的运算性质内积的运算性质内积内积定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质单位向量单位向量夹角夹角 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法证明证明 正交向量组的性质正交向

2、量组的性质例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.向量空间的正交基向量空间的正交基即即解之得解之得由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.则有则有解解 规范正交基规范正交基例如例如（1）正交化正交化，取，取 ，求规范正交基的方法求规范正交基的方法（2）单位化单位化，取，取施密特正交化过程施密特正交化过程例例2解解再把它们单位化，取再把它们单位化，取几何解释几何解释例例3解解把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取定义定义4 4四、正交矩阵与正

3、交变换注意：注意：为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换例例4 4解解第二节 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念说明说明解解例例5 5 例例6 6 解解例例7 7 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解得基础解系为：得基础解系为：例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的

4、特征向量，则证明证明第三节 相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念证明证明推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵结论结论 三、利用相似变换将方阵对角化 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似推论推论说明说明如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，还是能对角化定理定理5 5对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.第四节 对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质一、对称矩阵的性质证明证明于是于是根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩

5、阵化化为对角矩阵，其具体步骤化为对角矩阵，其具体步骤为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.1.第五节 二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型.只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）1 1用和号表示用和号表示对二次型对二次型二、二次型的表示方法2 2用矩阵表示用矩阵表示三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个

6、对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系设设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形说明说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第六节 用配方法化二次型成标准形用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变问题问题有没有其它方

7、法，也可以把二次型化有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法解解例例1 1所用变换矩阵为所用变换矩阵为第七节第七节 正定二次型正定二次型一、惯性定理一、惯性定理二、正(负)定二次型的概念证明证明充分性充分性故故三、正(负)定二次型的判别必要性必要性故故推论对称矩阵推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的特征值全为正的特征值全为正这个定理称为霍尔维茨定理这个定理称为霍尔维茨定理定理定理3 3 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即例例1 1 判别二次型判别二次型的正定性的正定性.解解