北师大版九年级数学下册第二章2.5《二次函数与一元二次方程》教学课件(共6份).pptx
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1、二次函数与一元二次方程(2)课件3w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元轴交点的坐标与一元二次方程二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系?二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的图象和图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根根的判别式的判别式b b2 2-4ac-4ac有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b b2 2-4ac 0
2、-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b b2 2-4ac=0-4ac=0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0方程根的情况是:;当=0时程 ;当0时,方程 。b2-4ac有两个不等实数根有两个相等实数根没有实数根t1=0,t2=83 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a0)图像是一条 ,它与x轴的交点有几种可能的情况?抛物线三种可能:两个交点 一个交点 没有交点。北京师范大学出版社 九年级|下册(1).h和t的关系式是什么?(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.我们已经知道,竖直上抛物体
3、的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么0t2468h20406080100北京师范大学出版社 九年级|下册北京师范大学出版社 九年级|下册3 抛物线y=x2-4x+4与轴有 个交点,坐标是 。1 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3,则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是()A 两个交点 B 一个交点 C 没
4、有交点 D 画出图象后才能说明(-2,0)和(3,0)c1(2,0)4 不画图象,求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。解:解:解方程x2-3x-4=0得:x1=-1,x2=4 抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是:(-1,0)和(4,0)北京师范大学出版社 九年级|下册 101xyMN232y=x2-4x+4 5 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来。北京师范大学出版社 九年级|下册 二次函数二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程何时为一元二次方程?它们的关系如何它们的关系如何?在本节一开始的小球上抛
5、问题中在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是何时小球离地面的高度是60m?60m?你是如何知道的你是如何知道的?抛出去后第2秒和第6秒时,离地面60米北京师范大学出版社 九年级|下册(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象;你能利用二次函数的图象估计一元二次方程你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x x2 2+2x-10=0+2x-10=0的根吗?的根吗?(2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标;由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,(3).确定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x
6、2+2x-10=0的近似根为:x1-4.3,x22.3.分别约为-4.3和2.3北京师范大学出版社 九年级|下册(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象;利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根的近似根.(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标;由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(4).确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1-4.7,x22.7
7、.(2).作直线y=3;北京师范大学出版社 九年级|下册 (1).原方程可变形为x2+2x-13=0;利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的近似根的近似根.(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标;由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(4).确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1-4.7,x22.7.(2).用描点法作二次函数y=x2+2x-1
8、3的图象;解法解法2北京师范大学出版社 九年级|下册 利用二次函数利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的?的近似根的一般步骤是怎样的?用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象;观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标;确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。北京师范大学出版社 九年级|下册 二次函数二次函数y=-2x2+4x+1的图象如图所示,求一元二次方程的图象如图所示,求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根的近似根.(1).观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的横坐标;(2)由
9、图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(3).确定方程-2x2+4x+1=0的解;由此可知,方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1-0.2,x22.2.北京师范大学出版社 九年级|下册 如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3(x0)。柱子OA的高度是多少米?若不计其它因素,水池的半径至少为多少米,才
10、能使喷出的水流不至于落在池外?AOx/my/m解解:在y=-x2+2x+3中,当x=0时y=3,OA=3m 而当y=0时,x1=-1(舍去),x2=3 水池的半径至少为3m.北京师范大学出版社 九年级|下册 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根,虽然对于我们现在解一元二次方程没有应用价值,但它体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法。也启示我们只要善于观察和思考,就能发现事物之间的各种联系,去探索科学的奥秘。北京师范大学出版社 九年级|下册x-4.1-4.2-4.3-4.4y=x2+2x-10 x2.12.22.32.4y=x2+2x-10其横坐标一个在-5与-4之间另一个在2与3之间约为
11、-4.3约为2.3-1.39-0.76-0.110.56-1.39-0.76-0.110.56北京师范大学出版社 九年级|下册 二次函数与一元二次方程的关系,体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法。也启示我们只要善于观察和思考,就能发现事物之间的各种联系,去探索科学的奥秘。北京师范大学出版社 九年级|下册北京师范大学出版社 九年级|下册中考中考 试题试题 1、如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6,x2=()A-1.6 B3.2 C4.4 D以上都不对C解:由抛物线图象可知其对称轴为x=3,因为抛物线与x
12、轴的两个交点关于对称轴对称,所以两根满足(x1+x2)/2=3而x1=1.6,所以x2=4.4因此选C分析:根据图象知道抛物线的对称轴为x=3,根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2 北京师范大学出版社 九年级|下册中考中考 试题试题2、抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点,则m的值为_解:抛物线与x轴只有一个公共点,=0,b2-4ac=42-42m=0;m=22 分析:由抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点可知,对应的一元二次方程2x2+4x+m=0,根的判别式=b2-4ac=0,由此即可得到关于m的方程,解方程即可求得m=2北京师范大学出版社 九年级|下册中考中考
13、 试题试题3、已知y关于x的函数:y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1中满足 k3求证:此函数图象与x 轴总有交点;解:分两种情况:(1)当k=2时,函数为 y=-2x+3,图象与x轴有交点(2)当k2时,=4(k-1)2-4(k-2)(k+1)=-4k+12;因为k3,所以-4k+120,所以0,此时抛物线与x轴有交点因此,k3时,y 关于x 的函数 y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1的图象与x轴总有交点分析:本题可将函数分成一次函数和二次函数两种情况讨论:当k=2时,函数为一次函数,与x轴一定有交点;当k2时,函数为二次函数,让y=0,根据根与系数的关系以及k的取值范围我们可
14、判断出此时的方程是否有解,如果有解,则必与x轴有交点第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程【创设情境】问题1我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,观察并思考下列问题:(1)h和t的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流【启发思考】问题2二次函数的图象如下图所示【启发思考】(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程有几个实数根?用判别式验
15、证一下一元二次方程有实数根吗?(3)二次函数的图象与x轴交点的坐标分别和一元二次方程的根有什么关系?【探究问题】【探究问题】现在可以解决问题1了吗?解:(1)(2)看图象可知,小球8秒落地,也可以解方程得出结论想一想:在问题1中的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60米?你是怎么知道的?答案:2秒和6秒可以利用图象解决问题,也可以解方程【形成结论】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三
16、种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根【巩固提高】问题3你能利用二次函数的图象估计一元二次方程的根吗?如图是二次函数的图象,观察图象,抛物线与x轴有两个交点,即方程有两个根,一个在-5与-4之间,另一个在2和3之间【巩固提高】(1)先求在-5与-4之间之间的根利用计算器进行探索:因此,x=-4.3是方程的一个近似根x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.11-0.56【巩固提高】(2)另一个根类似地求出:因此,x=2.3是方程的另一个近似根追求:用一元二次方
17、程的求根公式验证一下,看看结果怎样?x2.12.22.32.4y-1.39-0.76-0.11-0.56【巩固提高】做一做:(1)请利用下图求一元二次方程的近似根【巩固提高】做一做:(2)你还能请利用下图求一元二次方程的近似根吗?【巩固提高】学生练习:52页随堂练习;55页随堂练习【巩固提高】师生共同回顾本节内容,并请学生回答下列问题:1、本节课学习了哪些主要内容?2、本节课你有什么收获和体会?3、对本节课所学知识你还有哪些疑惑?二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的
18、实数根、有两个相等的实数根、没有实数根二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根【巩固提高】布置作业:1、教科书习题2.10第1题,第2题;习题2.11第1题,第2题(必做题)2、教科书习题2.10第3题,第4题;习题2.11第3题(选做题)北师大版九年级数学下册第二章北师大版九年级数学下册第二章二次函数二次函数第五节第五节 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程(1)1、二次函数式二次函数式 (a,b,c是常数是常数,a0),0),y叫做叫做x的的_._.它的图象是一条抛物线它的图象是一条抛物线.它的对称它的对称轴是直线轴是直线 ,顶
19、点坐标是(顶点坐标是(,)2、二次函数的解析式中、二次函数的解析式中 一般式一般式:顶点式顶点式:交点式交点式:二次函数二次函数3.抛物线抛物线 的对称轴是的对称轴是_,_,开口方向是开口方向是_,_,顶点坐标是顶点坐标是_._.4.抛物线抛物线y=2(x-2)()(x-3)与与x轴的交点为轴的交点为_ _ 和和,与与y轴的交点为轴的交点为_._.5.已知抛物线与轴交于已知抛物线与轴交于A(-(-1,0)和和(1,0)并经并经过点过点M(0,1),),则则 此抛物此抛物 线的解析式为线的解析式为 _ _x x=-1=-1=-1=-1向上向上向上向上(-1,-,-5)(2,0)(0,12)课前热
20、身、耐心填一填课前热身、耐心填一填(3,0)【例例】我们已经知道我们已经知道,竖直上抛竖直上抛物体的高度物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关系可用公式的关系可用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛出时的高是抛出时的高度度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.【例例】竖直上抛物体的高度竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关的关系可用公式系可用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛出是抛出时的高度时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.一个小球从地面以一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起的速度竖直向上抛起,小球的高度小球的高度h(m
21、)与运动时与运动时间间t(s)的关系如图所示的关系如图所示,那么那么:用心想一想用心想一想,马到功成马到功成(1)h和和t的关系式是什么?的关系式是什么?(2)图象上的每一个点的横、)图象上的每一个点的横、纵坐标分纵坐标分 别代表什么含义?别代表什么含义?(3)小球经过多少秒后落地?)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴你有几种求解方法?与同伴 进行交流进行交流.【例例】竖直上抛物体的高度竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关系可的关系可用公式用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛出时的是抛出时的高度高度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.一个小球从地
22、面以一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起的速度竖直向上抛起,小球的高度小球的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的的关系如图所示关系如图所示,那么那么:用心想一想用心想一想,马到功成马到功成 (1)h和和t的关系式是什么的关系式是什么?解解:由题意可知由题意可知:由图象可得由图象可得:所以所以h与与t的关系式的关系式为为:【例例】竖直上抛物体的高度竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关系的关系可用公式可用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛出是抛出时的高度时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.一个小球从地面以一个小球从地面以40m/s的速度竖直
23、向上抛起的速度竖直向上抛起,小球的高度小球的高度h(m)与运动时与运动时间间t(s)的关系如图所示的关系如图所示,那么那么:用心想一想用心想一想,马到功成马到功成 (2)图象上的每一个点的横、)图象上的每一个点的横、纵坐纵坐 标分标分 别代表什么含义别代表什么含义?解解:图象上的每一点的横坐标表图象上的每一点的横坐标表 示小球运动的时间示小球运动的时间,纵坐标纵坐标 表示的是在这一瞬时时间里表示的是在这一瞬时时间里,小球的运动速度小球的运动速度.【例例】竖直上抛物体的高度竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间与运动时间t(s)的关的关系可用公式系可用公式 表示表示,其中其中h0(m)是抛是抛出时
24、的高度出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.一个小球从地面一个小球从地面以以40m/s的速度竖直向上抛起的速度竖直向上抛起,小球的高度小球的高度h(m)与运动与运动时间时间t(s)的关系如图所示的关系如图所示,那么那么:用心想一想用心想一想,马到功成马到功成 (3)小球经过多少秒后落地?你有)小球经过多少秒后落地?你有 几种求解方法?与同伴进行交几种求解方法?与同伴进行交 流流.解法思路解法思路:8s.可以利用图可以利用图象直接得出象直接得出,也可以解方程也可以解方程 得出得出分别求出二次函数分别求出二次函数 的的图象与图象与x轴的交点的坐标轴的交点的坐标,并作出草图并作出草
25、图.比一比比一比,看谁快看谁快思路点拨思路点拨:与与x轴交点就是求当轴交点就是求当 y=0=0 时这个时这个方程的解方程的解,然后然后 写成点的坐标写成点的坐标.(1,0)图象与图象与x轴无交点轴无交点(-2,0)和()和(0,0)(1)每个图象与每个图象与x 轴有几个交点?轴有几个交点?(2)一元二次方程一元二次方程 有几个根有几个根?验证一下验证一下,一元二次方程一元二次方程 有根吗有根吗?(3)二次函数二次函数 的图象和的图象和x轴交点的坐标与一轴交点的坐标与一元二次方程元二次方程 的根有什么关系?的根有什么关系?观察下列二次函数观察下列二次函数 的图象的图象.议一议一 议、取长补短议、
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