4圆周角和圆心角的关系.pptx

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1、3.4 圆周角和圆心角的圆周角和圆心角的关系关系BACDE九年级数学九年级数学(下下)第三章第三章 圆圆 第一页，编辑于星期三：二十点 十三分。1.1.圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴它有无数条对称轴.2.2.圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心.知识回忆知识回忆4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。相等。5.定理：在同圆或等圆中，如果两个定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角圆心角、两条

2、、两条弧弧、两条、两条弦弦中中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。3.顶点顶点在在圆心圆心的角叫做的角叫做圆心角圆心角.第二页，编辑于星期三：二十点 十三分。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。对的两条弧。推论推论1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对分弦所对 的两条弧的两条弧2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧条弧3 3平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分平分一条弧的直

3、径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧弦所对的另一条弧垂径定理垂径定理.OAEBDC知识回忆知识回忆第三页，编辑于星期三：二十点 十三分。命题命题1：平分弦不是直径的直径垂：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧直于弦，并且平分弦所对的两条弧CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分ABCDAB，ADBD，ACBC命题命题2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧弧 AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，CD是直径，是直径，ADBD，ACBC命题命题3 3：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，

4、并且平：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧分弦所对的另一条弧 CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD ACBC CD平分平分AB，ACBCADBDCD AB.OAEBDC知识回忆知识回忆第四页，编辑于星期三：二十点 十三分。当球员在当球员在B,D,E处射门时处射门时,他所处的位置对球门他所处的位置对球门AC分别分别形成三个角形成三个角ABC,ADC,AEC.这三个角的大小这三个角的大小有什么关系有什么关系?BACDEOBACBACBACBACBACBACDE第五页，编辑于星期三：二十点 十三分。.OBCA特征：特征：角的顶点在圆上角的顶点在圆上.角的两

5、边都与圆相交角的两边都与圆相交.圆周角定义圆周角定义:顶点在圆上顶点在圆上,并且并且两边都和圆两边都和圆相交相交的角叫的角叫圆周角圆周角.OBACBACBACBACBACBACDE第六页，编辑于星期三：二十点 十三分。练习练习：1.1.判别以下各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。判别以下各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是图图图图图图图图图图第七页，编辑于星期三：二十点 十三分。OAB议一议议一议:改变改变AOB的度数，上面的度数，上面的结论仍成立吗？的结论仍成立吗？一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.如

6、何证明圆周角定理？如何证明圆周角定理？圆周角定理圆周角定理第八页，编辑于星期三：二十点 十三分。类比圆心角类比圆心角探知探知圆周角圆周角在在同圆同圆或或等圆等圆中中,相等的相等的弧弧所对的所对的圆心角圆心角相等相等.在在同圆同圆或或等圆等圆中中,相等的相等的弧弧所对的所对的圆周角圆周角有什么关系？有什么关系？n 为了解决这个问题为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系的圆周角和圆心角之间有的关系.请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。角与圆周角。A A A AC C C COO证明圆周角

7、定理证明圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.OABC第九页，编辑于星期三：二十点 十三分。如图如图,观察观察弧弧AB所对的所对的圆周角圆周角ACB与与圆心角圆心角AOB,它们的大小有什么关系它们的大小有什么关系?说说你的想法说说你的想法,并与同伴交流并与同伴交流.OACBOACBOACB证明圆周角定理证明圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.第十页，编辑于星期三：二十点 十三分。1.首先考虑一种特殊情况：当首先考虑一种特殊情况：当圆心圆心(O)在在圆周角圆周角(ACB)的一边的

8、一边(BC)上时上时,圆周角圆周角ACB与圆心角与圆心角AOB的大小关系的大小关系AOB是是ACO的外角，的外角，AOB=C+A.OA=OC，OACBA=C.AOB=2C.即即 ACB=AOB.证明圆周角定理证明圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.第十一页，编辑于星期三：二十点 十三分。2.当当圆心圆心(O)在在圆周角圆周角(ACB)的内部时的内部时,圆周角圆周角ACB与圆心角与圆心角AOB的大小关系会怎样的大小关系会怎样?n过点过点C C作直径作直径CD.CD.由由1 1可得可得:O ACB=AOB.ACB=AOB.ACBDnACD

9、=AOD,BCD=ACD=AOD,BCD=BOD,BOD,nACD+BCD=(AOD+BOD)ACD+BCD=(AOD+BOD)证明圆周角定理证明圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.第十二页，编辑于星期三：二十点 十三分。n过点过点C C作直径作直径CD.CD.由由1 1可得可得:O ACB=AOB.ACB=AOB.DnACD=AOD,BCD=ACD=AOD,BCD=BOD,BOD,ACBnACD-BCD=(AOD-BOD),3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ACB)(ACB)的外部时的外部时,圆周角圆周角ACBACB

10、与圆心角与圆心角AOBAOB的大小关系会怎样的大小关系会怎样?证明圆周角定理证明圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.第十三页，编辑于星期三：二十点 十三分。转转化化转转化化分类讨论、转化分类讨论、转化方法小结方法小结OACBOACBDODACB第十四页，编辑于星期三：二十点 十三分。如下图，如下图，ADB、ACB、AOB分别是什么角？它们有何分别是什么角？它们有何共同点？共同点？ADB与与ACB有什么关系？有什么关系？同弧同弧 所对的圆周角相等所对的圆周角相等.(等弧等弧)都等于都等于这条弧所对的圆心角的一半这条弧所对的圆心角的一半.

11、圆周角定理推论圆周角定理推论:BOADC相等相等的的圆周角圆周角所对的所对的弧弧相等相等.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,第十五页，编辑于星期三：二十点 十三分。在射门游戏中，当球员在在射门游戏中，当球员在B,D,E处射门时处射门时,他所处的位置对球门他所处的位置对球门AC分别形成三个角分别形成三个角ABC,ADC,AEC.这三个角的大小有什这三个角的大小有什么关系么关系?你能用圆周角定理去解决问题。你能用圆周角定理去解决问题。BACDEOBACBACBACBACBACBACDE想一想：想一想：同弧或等弧所对的圆周角相等。同弧或等弧所对的圆周角相等。第十六页，编辑于星期三：二十点 十三分。“同弧

12、或等弧能否改为同弧或等弧能否改为“同弦或等弦？同弦或等弦？“同圆或等圆这一条件能否省去？同圆或等圆这一条件能否省去？不能不能不能不能同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。的弧也相等。OBACDE如图如图,在在 O中中,B,D,E的大小有什么关系的大小有什么关系?为什为什么么?第十七页，编辑于星期三：二十点 十三分。BACO解：在解：在O中，中，BOC=50=50第十八页，编辑于星期三：二十点 十三分。OBACD65431278图中有几对相似三角形？图中有几对相似三角形？第十九页，编辑于星期三：二十点 十三

13、分。OABC12又又AOB=2 BOC解：解：ACB=2 BAC，理由，理由:即即ACB=2 BAC第二十页，编辑于星期三：二十点 十三分。COBD A解：解：BCD=100优弧所对的圆心角优弧所对的圆心角BOD=2BCD=200劣弧所对的圆心角劣弧所对的圆心角BOD=360-200=160第二十一页，编辑于星期三：二十点 十三分。3.为什么电影院的座位排列呈弧形，说一说这设计的合理为什么电影院的座位排列呈弧形，说一说这设计的合理性。性。答：有些电影院的座位排列呈圆弧形，这样设答：有些电影院的座位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。数

14、学理解数学理解第二十二页，编辑于星期三：二十点 十三分。4.船在航行过程中，船长通过测定船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点上任一点C都是有触礁危险的临界都是有触礁危险的临界点，点，ACB就是就是“危险角，当船位危险角，当船位于平安区域时，于平安区域时，与与“危险角有危险角有怎样的大小关系？怎样的大小关系？解：当船位于平安区域时，即船位于暗礁区域外即解：当船位于平安区域时，即船位于暗礁区域外即 O外外，与两，与两个灯塔的

15、夹角个灯塔的夹角小于小于“危险角危险角。数学理解数学理解第二十三页，编辑于星期三：二十点 十三分。这节课有何收获？！这节课有何收获？！第二十四页，编辑于星期三：二十点 十三分。课堂小结1.圆周角定义圆周角定义:顶点在圆上顶点在圆上,并且并且两边都和圆相交两边都和圆相交的角叫的角叫圆周角圆周角.2.2.圆周角定理圆周角定理一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半.同弧同弧 所对的圆周角相等所对的圆周角相等.(等弧等弧)3.3.圆周角定理推论圆周角定理推论:相等相等的的圆周角圆周角所对的所对的弧弧相等相等.4.4.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,相等相等的的弦弦所对的所对的弧弧不一定相等不一定相等.5.5.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,第二十五页，编辑于星期三：二十点 十三分。