【量神大数学】高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第三讲-幂函数、指数函数.pptx

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1、第三讲第三讲指数、指数函数与幂函数指数、指数函数与幂函数第一页，编辑于星期六：八点 四十五分。理理解解有有理理数数指指数数幂幂的的含含义义，了了解解实实数数指指数数幂幂的的意意义义，能能进进行行幂幂的的运运算算；理理解解指指数数函函数数的的概概念念和和意意义义；理理解解指指数数函函数的性质，会画指数函数的图象数的性质，会画指数函数的图象.第二页，编辑于星期六：八点 四十五分。1.(1)化简化简:(2 )0+2-2(2 )-(0.01)0.5=.(2)=.333=.(1)(2 )0+2-2(2 )-(0.01)0.5=1+()-()=1+-=.(2)=33333第三页，编辑于星期六：八点 四十五

2、分。(-,-2)2.(2010北北京京海海淀淀模模拟拟)函函数数f(x)=a-2x的的图图象象经经过过原原点点，则则不不等等式式f(x)的的解解集集是是 .由由f(x)的图象经过原点知的图象经过原点知a=1，所以所以f(x)=1-2x 2x xy2y1 B.y2y1y3 C.y1y2y3 D.y1y3y2D 幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，不同底先化成同底单调性，不同底先化成同底.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=()-1.5=21.5.又因为又因为y=2x在在R上是单调增函数，上是单调增函数，1.81.51.44,所

3、以所以y1y3y2.第六页，编辑于星期六：八点 四十五分。函数函数f(x)要在要在R上是增函数上是增函数2-a0 a1 a2-a+15.（2010江西模拟江西模拟)已知已知f(x)=(2-a)x+1(x1)ax(x1),且且f(x)是是R上的增函数上的增函数,那那么么a的取值范围是的取值范围是()AA.,2)B.(1,)C.(1,2)D.(1,+)a1且且nN*），当当n为为奇奇数数时时，正正数数的的n次次方方根根是是一一个个 ,负负数数的的n次次方方根根是是一一个个 .这这时时a的的n次次方方根根记记为为 ;当当n为为偶偶数数时时，正正数数a的的n次次方方根根有有两两个个，可可用用符符号号

4、表表示示，其其中中 叫叫做做 ,这这里里的的n叫叫做做 ,a叫做叫做 .nn次方根次方根正数正数负数负数nn根式根式根指数根指数被开方数被开方数第八页，编辑于星期六：八点 四十五分。(2)当当n为奇数时，为奇数时，=a;当当n为偶数时为偶数时,=2.分数指数幂分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是我们规定正数的正分数指数幂的意义是:=(a0,m、nN*,n1).(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿；我们规幂的意义相仿；我们规 定定 =(a0,m,nN*,n1).(3)0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0；0的负分数指的负分数

5、指数幂没有意义数幂没有意义.n|a|n1111 a (a0)-a(a0,r、sQ);(2)(ar)s=(a0,r、sQ);(3)(ab)r=(a0,b0,rQ).4.指数函数及性质指数函数及性质(1)一一般般的的,函函数数 (a0,且且a)叫叫做做指指数数函函数数,其其中中x是是 ,函函数数的的定定义义域域是是 .121213131414ar+sarsarbr151516161717y=ax自变量自变量R第十页，编辑于星期六：八点 四十五分。（）指数函数（）指数函数y=ax的图象与性质如下表：的图象与性质如下表：a10a0第十一页，编辑于星期六：八点 四十五分。5.幂函数的定义幂函数的定义一一

6、般般的的说说，型型如如 的的函函数数叫叫幂幂函函数数,其其中中x是是自自变变量量，是是常常数数.对对于于幂幂函函数数，我我们们只只讨讨论论=1,2,3,-1时的情形时的情形.性质过定点(0,1)当x0时,;当x0时,;当x10y10y122222323增函数增函数减函数减函数2424y=x第十二页，编辑于星期六：八点 四十五分。6.幂函数的性质幂函数的性质所所有有的的幂幂函函数数在在(0,+)上上都都有有定定义义，且且图图象象都都过过(1,1)点点.当当为为奇奇数数时时，幂幂函函数数为为奇奇函函数数；当当为偶数时，幂函数为偶函数为偶数时，幂函数为偶函数.一般的一般的,当当0时时,幂函数幂函数y

7、=x有下列性质：有下列性质：(1)图象都通过点图象都通过点 ;(2)在第一象限内在第一象限内,函数值函数值 ;(3)在在第第一一象象限限内内，当当1时时，图图象象是是向向下下凸凸的的;当当01时时,图象是向上凸的；图象是向上凸的；25252626(0,0),(1,1)随随x的增大而增大的增大而增大第十三页，编辑于星期六：八点 四十五分。(4)在在第第一一象象限限内内，过过点点(1，1)后后，图图象象向向右右上上方方无限伸展无限伸展.当当0)()x (x0),所以函数所以函数y=()-|x|在在(-,0上是减函数，在上是减函数，在0,+)上是增函数上是增函数.(此题可借助图象思考此题可借助图象思

8、考)且且y=()-|x|=第十七页，编辑于星期六：八点 四十五分。合合函函数数的的值值域域可可采采用用换换元元法法，结结合合中中间间变变量量的的范范围围求求函函数数的的值值域域；复复合合 函函 数数y=f(x)的的 单单 调调 性性 要要 根根 据据y=au,u=f(x)两两函函数数在在相相应应区区间间上上的的单单调性确定，遵循调性确定，遵循“同增异减同增异减”的规律的规律.第十八页，编辑于星期六：八点 四十五分。题型二题型二 幂函数的性质幂函数的性质例例2 已已知知幂幂函函数数f(x)=xm2-m-2(mZ)是是偶偶函函数数，且且在在(0,+)上上是是减减函函数数,求求函函数数f(x)的解析

9、式的解析式,并讨论并讨论 g(x)=a -(x(a、bR)的的奇奇偶偶性性.利利用用幂幂函函数数的的定定义义和和性性质质求求解解析析式式，根据奇偶性的定义判断奇偶性根据奇偶性的定义判断奇偶性.第十九页，编辑于星期六：八点 四十五分。由题意可知由题意可知,m2-m-2是偶数是偶数,且且m2-m-20,即即-1m0,且且a1)的图象有两个公共点，则的图象有两个公共点，则a ；(2)已知已知f(x)=(+)x，x0，若，若f(x)0在定义域内恒成立在定义域内恒成立,则则a的取的取 值范围为值范围为 .(1,+)0a1时，作图知无解；时，作图知无解；当当0a1时时,作图知作图知02a10a0 x(ax

10、-1)0.当当x0时时,ax-10 axa0,又又x0,所以所以a1；当当x0时时,ax-10 axa0,又又x1.综上，综上，a的取值范围为的取值范围为(1,+).第二十二页，编辑于星期六：八点 四十五分。(2009北北京京丰丰台台区区期期末末）已已知知函函数数f(x)=3x，f(a+2)=18，g(x)=3ax-4x的的定定义义域域为为0,1.（1）求求a的值；的值；（2）若若函函数数g(x)在在区区间间0,1上上是是单单调调递递减函数，求实数减函数，求实数的取值范围的取值范围.第二十三页，编辑于星期六：八点 四十五分。(方方法法一一)(1)由由已已知知得得3a+2=18 3a=2 a=l

11、og32.（2）此时此时g(x)=2x-4x.设设0 x10恒恒成成立立，即即20+20=2，所以实数所以实数的取值范围是的取值范围是(-,2.第二十四页，编辑于星期六：八点 四十五分。(方法二方法二)(1)由已知得由已知得3a+2=183a=2a=log32.（2）此时，此时，g(x)=2x-4x.因为因为g(x)在区间在区间0,1上是单调减函数，上是单调减函数，所以所以g(x)=ln22x-ln44x=ln2-2(2x)2+2x0成立成立.设设2x=u1,2,上式成立等价于上式成立等价于-2u2+u0恒成恒成立立.因为因为u1,2，只需，只需2u恒成立，恒成立，所以实数所以实数的取值范围是

12、的取值范围是(-,2.第二十五页，编辑于星期六：八点 四十五分。1.分分数数指指数数幂幂的的定定义义揭揭示示了了分分数数指指数数幂幂与与根根式式的的关关系系，因因此此，根根式式的的运运算算可可以以转转化化为为分分数数指指数数幂幂的的运运算算.在在运运算算过过程程中中，要要贯贯彻彻先先化化简简后后计计算算的的原原则则，并并且且注注意意运运算算的的顺顺序序.2.指指数数函函数数y=ax的的底底数数须须满满足足条条件件a0且且a，研究几个指数函数尽量化为同底，研究几个指数函数尽量化为同底.第二十六页，编辑于星期六：八点 四十五分。3.指指数数函函数数的的性性质质主主要要是是单单调调性性,比比较较大大

13、小小是是单单调调性性的的一一个个重重要要应应用用，比比较较时时注注意意底底数数与与的的大大小小分分类讨论类讨论.(1)若若底底数数相相同同，指指数数不不同同，则则利利用用指指数数函函数数的的单调性来比较；单调性来比较；(2)若若底底数数、指指数数均均不不相相同同，则则可可引引入入中中间间量量或或画画图象来比较图象来比较.4.利利用用指指数数函函数数的的概概念念、图图象象、性性质质讨讨论论一一些些复复合合函函数数的的相相应应问问题题是是常常考考题题型型,应应注注意意数数形形结结合合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用分类讨论、化归等数学思想的灵活运用.第二十七页，编辑于星期六：八点 四十五分。学例1 (2009山东卷山东卷)函数函数y=的图象大致为（的图象大致为（）A第二十八页，编辑于星期六：八点 四十五分。要使函数有意义，需使要使函数有意义，需使ex-e-x0，其定义域，其定义域为为x|x0,排除排除C、D.又因为又因为y=,所以当所以当x0时，函数为减函数，故选时，函数为减函数，故选A.第二十九页，编辑于星期六：八点 四十五分。学例2 (2009江苏卷江苏卷)已知已知a=,函数函数f(x)=ax.若实数若实数m、n满足满足f(m)f(n)，则，则m、n的大小关系为的大小关系为 .mf(n)，得，得mn.第三十页，编辑于星期六：八点 四十五分。