中国振动工程学会模态分析高级研修班讲课资料第六章.pptx

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1、Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 1三、结构（物理）参数识别和有限元模型修正回答什么问题：认为有限元建模不准，如何用试验模态结果来识别和修正结构参数？使修正后的有限元模型可更好地用于响应等预计！1.有限元建模模型存在哪些误差：各种理论假设、边界条件的近似性，材料参数的不确定性，支撑刚度和连接刚度的不恰当模拟，阻尼特性或者是被忽略或者远远不够精确等2.试验模态结果虽然存在测试噪声，实际系统不完全是线性的，但仍然认为试验模态模型和有限元模型相比要可靠得多。3.试验模态模型可用于验证有限元模型的可靠性。因此提出模型修正的概念。4.所谓

2、模型修正是：获得一个新的有限元模型能够重现所有模态参数的模型（N 个固有频率，N 个模态振型的幅值及相位），或者是获得一个能够重现所有测得的频率响应函数的有限元模型，或者是一个具有正确的质量，刚度，阻尼矩阵的有限元模型前二者与第三者意义是不同的。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 2 这一节要讲三个问题I.计算模型和试验模型间的相关准则II.模态缩减和扩展III.从模态试验获取和修正结构参数08.02.2023Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 3 概述：模型参数修正

3、的主要方法从被修正的参数来分大致有两类：1.直接修正矩阵法 2.基于灵敏度分析的参数修改法。从有限元模型和试验模态模型之间的相关要求来分有三类：1.要求计算得到的模态频率和试验得到的模态频率相一致；2.要求计算模态频率、模态振型和试验得到的模态频率、模态振型 相一致；3.要求计算得到的频率响应和试验得到的频率响应相一致。在基于灵敏度分析的参数修改法中的误差函数构造中，三者可以 适当加权表达在同一个误差函数中，而且估计迭代方法同属于贝 叶斯法。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 4 数值模型和试验模态模型的相容性问题 讨论模型修正之

4、前，应该指出，数值模型和试验模态模型之间存在不相容性（不相容就是没法比较的意思）。这种不相容性主要由试验模态模型的不完整性产生。试验模态模型的不完整性，1.是数值模型的自由度数远大于试验模态模型的自由度数，和数值模型相比，试验模态模型的自由度数不完整（也就没法相容）；2.是指试验模态数不完整，由于试验频率宽度有限，而且在高频段模态密度高，难以从中提出模态，因此试验模态数m更小于计算模态数。第二种不完整性并不很重要，因为人们主要关心的是低阶模态。第一种不完整性对有限元模型和试验模态模型之间的相关分析，对模型修正造成了相当困难。因此，有限元模型的缩减，或试验模态模型的扩展也是本节讨论的间题之一。0

5、8.02.2023Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 5I.计算模型和试验模型间的相关准则 有限元模型修正一般通过三种模型进行。1.是由质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵构成的空间状态模型（spacial model),利用摄动法或优化方法直接对质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵进行修正。2.是模态模型（Modal model)，由模态频率、模态向量等构成。3.模型是频率响应函数模型，由足够多的频率响应函数构成。在下面的公式中，下标e 表示试验模型，下标a 表示计算模型。空间模型或时域模型由下列微分方程给出：如求得质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵

6、，则空间模型可以确定。模态模型由模态频率，模态振型，模态阻尼，模态质量矩阵和模态刚度矩阵 给出。一般而言，模态模型由试验确定，因为模态阻尼无法由计算得到。但是 模态频率、模态振型可以由空间模型的特征方程解得。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 6 频率响应模型由频率响应函数矩阵给出。频率响应函数矩阵由下式给出：或 其中Z()是阻抗矩阵。为频率响应矩阵的逆矩阵。对无阻尼系统，三者关系为1）空间模型的相关准则 由于阻尼难以确定，因此仅对质量矩阵和刚度矩阵讨论相关准则：质量矩阵正交性，刚度矩阵正交性，Institute of Vibra

7、tion Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 708.02.2023 当振型为刚体模态时，质量矩阵正交性检验退化为总质量检验，刚度矩阵正交性所对应的频率为零，质量矩阵和我刚度矩阵的对称性。2)模态振型的相关准则 假定计算模型和试验模型的振型使用同一种正则化方法，则两者在 一定频率范围内等价的条件是：两者的（有阻尼）固有频率相等。两者的（复）振型一致；两者的模态质量矩阵或模态刚度矩阵一致.检验有限元模型和模态模型两者之间的固有频率是否相等是容易的。而检验两者之间的振型是否一致并不是那么直观。主要有下面几种方法：模态标定因子MSF（Modal scal factor），模态置信准

8、则MAC（Modal Assurance Criterion），坐标模态置信准则Comac（Coordinate Modal Assurance criterion），以及动态力平衡方法DFBM（Dynamic Force Balance Method）。动态标定因子MSF定义为Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 8 MSF 表示两个振型间的比例因子。如果两个振型正交，则MSF 为零。如果完全线性相关，则两个振型的各个分量成比例。如果介于两者之间，则误差可以用正则模态差N MD（Normalized Modal Differenc

9、e）表示：最常用的模态置信准则是MAC MAC 大于等于零小于等于l。MAC等于1 表示两者线性相关，等于零表示两者线性无关。NMD 和MAC 之间的关系为Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 93）频率响应模型的相关准则这里主要介绍频率响应模型的正交性和频率响应函数模式置信准则SAC。频率响应模型的正交性由下式给出：上式表示计算模型的动刚度矩阵和测得到的频率响应函数矩阵的乘积应该为单位矩阵。而频率响应函数模式置信准则SAC 是对计算得到频率响应和测试得到频率响应进行相关分析。SAC 可以表示为 式中：其中 Hcij（k）是j点激励

10、，i点响应的频率响应函数在（k）处的值。显然，SAC等于1 表示表示两者线性相关，等于零表示两者线性无关。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 10II.模态缩减和扩展 在有限元模型修正中，我们介绍了MAC、COMAC、MSF 等方法用于判别计算模型的振型和试验模型的振型相关的程度。实际上，计算模型的自由度总数，一般而言，远大于试验模型的自由度总数。这就是在本节一开始所讲到的第一种试验模态模型的不完整性。要解决这个问题，或者是将有限元模型缩聚到试验模型的自由度上，或者是将试验模型的振型扩展到有限元模型的自由度上。模型的缩聚和扩展看似

11、问题的两个方面，但在求解过程中是统一的（双向转换）。1）GUYAN缩减法 2）KIDD扩展法 3）SEREP法 4）IRS 有限元计算模型自由度数：m+s试验模型自由度数：mInstitute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 1108.02.2023Guyan缩聚，主辅自由度转化方法 Guyan 提出：将全部结构自由度，依据它们对动态性能影响的大小，区分为主自由度(masters)与辅自由度(slavers)。通过矩阵分块技术，并假定辅自由度对结构没有“动”特性的影响（如忽略梁位移中转动自由度)。式中 和 分别为有限元模型和模态试验模型对应的模态

12、，m+s为有限元模型的自由度数，s则是模态试验模型的自由度数。上式实现了计算模型与试验模型间的模态的转换。假定(等价于的第二式)，令Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 12III 结构参数的识别与修正回答什么问题？如何从模态试验中获得正确的结构（物理）参数质量阵、刚度阵？目前可供应用的结构参数识别与修正的方法有多种。陈介中摄动法 该方法采用完整的模态集识别结构参数。Berman摄动法 Berman提出的方法对质量矩阵与刚度矩阵进行修正后，得到的 是满阵，这就失去了原来矩阵的带状稀疏性特点我国学者彭晓洪等于1984 年提出了一种改进

13、的模型修正方法，使修正后的计算模型能保持初始计算模型的带状性质。周欣等于1985 年提出一种基于模态正交性原理的修改方法，使修改后的物理参数满足特征方程。该方法可利用不完备的模态集。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 131.J.C.Chen矩阵摄动法该方法由陈介中（J.C.Chen）于1983 年提出，它直接利用实验模态分析所得获得的模态矩阵和特征值矩阵r2修改结构的物理参数。设某结构的自由度为N。用有限元法计算所得质量矩阵、刚度矩阵、特征值矩阵和模态矩阵分别为M o、K o、o、o，它们均为N xN 阶矩阵。由于用有限元计算时

14、必须对实际结构进行离散化处理，并引进一系列人为的假设，因此，计算时所使用的物理模型往往与实际结构不同。更加上计算中不可避免的误差，使计算所得结构振动特性与试验所得结果不相符合。这就有必要对原结构系统的物理模型进行修改。设实际的，或由试验所得的质量矩阵、刚度矩阵、特征值矩阵及模态矩阵分别为M、K、A、o。计算值与试验值之间的差别可认为是对原结构的一种摄动，则有下列关系：Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 14Chen假设式中A是系数矩阵。于是式 可以写成由模态正交性条件可得将 代入上两式并考虑MK及A均为微小量，将二次微小量略去后可

15、得对上两式前乘0-T，后乘以0-1，并考虑到Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 15可得 -1由式 可得 将上两式代入1，并插入单位矩阵 ，经过推导可得到结构参数修改的计算公式在上面两式中M o、K o、o、o 均为计算值（已知），及为实验所得，亦为已知，因此就可由上两式计一算出结构参数的修改值。在上述方法中及 必须是完整的模态集即为N XN 阶矩阵。但在实际测试时，对复杂结构，往往很难得到完整的模态集。这是此方法的一个严重不足之处。克服的办法就是就是前面所讲的自由度缩减与扩展（先将有限元自由度缩减为试验模型的自由度m，进行上述各

16、步修正，然后用Guyan方法通过坐标变换矩阵T将m扩展为m+s,回到有限元模型自由度）。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 162 Berman法 该法的优点是不需要有计算的特征值和特征向量，它只用试验模态矩阵及特征值来修改M0和K0，从而求得修改后的结构参数M和K。此方法的理论基础亦是模态正交性条件，即 考虑到 则有 式中 E0称为正交检验性矩阵，它不一定是对角阵。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 17 由于是以非完备的模态集作为修正基准，满足式 的解不是唯一的，

17、故以此式作为约束条件，寻找使下列范数极小化的解：Berman 又定义了一个拉格朗日函数 式中：矩阵E0为非对角阵，Lij为拉式乘子。将上式对M的每个元素及Lij求导，并令其为零，便可得到满足正交性条件 ，又能使 的最小解：Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 18 将上式代入到 得到 再将上式代入到 ，便得：在求得 M后即可得修改后的质量矩阵。Wei用类似的方法（将以上过程的M改为K）找到了刚度矩阵的修改公式：式中Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 19 BERMAN

18、BERMAN 方法方法的不足之处 这种直接修正矩阵的拉格朗日乘子法的不足之处主要有以下几点：采用试验模态向量修正质量矩阵和刚度矩阵。由于试验模态向量是不完整的，仅仅是测试频率范围内的若干阶模态，而且试验模态的自由度数远小于计算模型的自由度数，因此必须进行振型扩展（在本章前面讨沱过）；试验模态的误差一般较大，在15 左右；原来质量矩阵和刚度矩阵的稀疏性可能不再存在；原来质量矩阵和刚度矩阵中为零的元素，譬如第ij个元素，可能不再为零，表示在第i 个节点和第j个节点之间增加了新的单元，这可能不符合实际情况；可能出现虚假模态（Spurious Modes）。因此，工程上实用的方法是基于灵敏度分析的物理

19、参数修改法。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 203特征方程拟合法这里再介绍一种利用非完备的实验模态集（部分测量模态）进行物理模型修改的方法。对于一线性小阻尼N 自由度的结构系统，若初始理论模型（有限元计一算模型，或结构作某种修改前的原始模型）以M0、K0，描述，则由特征方程 注意几点：1.有限元模型的M0及K0 是近似的 2.因此由M0及K0 根据特征方程式计算所得的特征值矩阵 0及模态矩阵0也是不可能与真实结构的特征值矩阵及模态矩阵相一致。3.设实际结构的质量矩阵及刚度矩阵分别M,K。它们均为NXN矩阵。实验模态分析给出了该

20、结构系统的前s个特征值以及相应的特征向量r，r（r=1,2,s),并构成特征值矩阵及模态矩阵和 。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 21 很显然M、K、A、应使特征方程得到满足，即式中M、K 就是我们所求的未知矩阵或经过修正后的质量矩阵与刚度矩阵。再次提醒：A(s x s）、（N xs）是非完备的。以此为基础修正M0和K0得到修止后的 M、K 与实际结构的质量矩阵与刚度矩阵的吻合程度如何呢？检验标准：对于非完备模态，用少于结构自由度数的特征对修正结构的物理参数，最终得到的数学模型应具有这样的动力特性，即在实验频段范围与实际结构系

21、统等价，而不一定满足高阶时的等价关系。矩阵摄动法和误差矩阵范数极小化方法均是基于以上标准发展起来的。1）矩阵摄动法从模态正交性条件出发，利用初始模型特征对与相应的实测特征对之差进行摄动，从而获得修正结果M、K。该方法的缺点是在非完备模态情况下，不能满足特征方程，需要再做修正处理2）误差矩阵范数极小化方法则通过构造误差矩阵（M 一M0）、（K 一K0），并以不同方式加权误差矩阵形成范数，在满足正交条件及特征方程前提下，极小化该范数，从而获得相应于不同加权方式的修正结果。这种方法的缺点在于破坏了矩阵M、K 的带状稀疏性。本方法先从正交性条件出发，通过待定矩阵M(sxs)，K(sxs)的确定，导出满

22、足正交性条件的M 与K，然后调整矩阵M 及K，进而使特征方程得到满足。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 221）矩阵摄动法 先从正交性条件出发，通过待定矩阵M(sxs)，K(sxs)的确定，导出满足正交性条件的M与K，然后调整矩阵M 及K，进而使特征方程得到满足。对于待求的矩阵M 和K 应与特征对及一起满足正交性条件，即假设M,K与M0与K0满足如下关系式中 分别为sxs阶的待定矩阵。上式表示假定修正模型的M 和K 可分别表示为初始模型M0、K0与各自的修正量 之和。待定矩阵 的确定应使M、K 分别满足上面两式。易得 令显然B矩

23、阵是sxs阶的对称矩阵。由于振型的独立性，故B又是满秩矩阵因此B有逆阵，便可得Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 23进一步求得满足正交性条件的M与K -(1)-(2)众所周知，在非完备模态集情况下，仅仅满足正交条件的M 与K 既不唯一，又不满足特征方程。因此，若将上两式确定的M、K 矩阵作为最终结果进行特征值运算时，将不能求得与实测值相吻合的特征频率与振型。将上两式右边分别乘以和，考虑到 可得 (a)(b)由上两式可见，显然 (c)Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所

24、 24 即M、K 不满足特征方程。由于推导只利用了正交性条件，故式（c）的存在是意料之中的。但完备模态集的情况就不同了。此时B 之逆阵可写成 (d)（当非完备情况时，-1不存在，故上式不成立）将式（d）代入（a）（b）得 (e)(f)得 (g)或 (h)上式即特征方程式。由此可见，对完备模态集而言，由正交性条件解出的M、K，亦满足特征方程。而式（c）则说明，在非完备模态集情况下，满足正交性条件并不一定满足特征方程。利用部分试验模态来修正结构的物理参数时，如何满足特征方程（或拟合特征方程）？现在的间题是能否充分利用仅仅满足正交性一结果，然后进一步修正其中的K 或M，使它们满足特征方程。回答是肯定

25、的。分别调整K和M的两种方案，现介绍如下：Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 252）误差矩阵范数极小化方法方案一 保留式（1），调整式（2），即认为刚度修正结果式（2）不准确，导致式（2）左右 两边不相等。以KA表示（2）式右端项 KA与K之间的误差矩阵用EK表示 式中EK是待求的未知矩阵，它对KA的修正应使K满足特征方程。现构造EK 的欧氏范数如下：以Xk作为目标函数，使其极小并满足约束条件-特征方程，其解即为我们所期望的K 考虑到特征方程式的非对称性，必须增加对称约束 Institute of Vibration Engin

26、eering 振动工程研究所振动工程研究所 26 这是一个约束优化问题，即须使Xk极小，又须满足式上式和 利用拉格朗日乘子矩阵(N xS)，（N xN）可将上述约束优化问题演变为无约束 优化问题。这时构造的Xk可写为如下的增广目标函数（或称为拉格朗日函数）(1)令 ，并考虑到K和KA的对称矩阵，可得 (2)(3)上式与同式的转置相加，消去矩阵可得 (4)将上式代入特征方程，可解出矩阵。(5)Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 27先将(5)式代入(4)，然后代以的转置即可从式（4）中消去，即得 (6)由于M及K由正交性条件推出，因

27、此它们满足正交性条件。式 亦满足正交性条件，于是有如下关系：故式中K最后一项便为零，所以 (7)对比上式与式 ，即可得误差矩阵为 (8)Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 28将式 代入(7)，便可得K矩阵的最后修改公式 (9)对上式进行整理得 (10)由上式计算的K 既满足正交性条件又满足特征方程。现将保留的M 与再次修正的K一并写下，就得到第一方案的物理参数修正公式：(11)Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 29 方案二 保留式中K，调整式中M，即假设初始识别结

28、果式M的右边项不是结构的质量矩阵的真实表示，于是式左右两边不能相等。设两边之差矩阵为EM。以MA表示式M的右边项，则 式中EM是待求的未知矩阵，该矩阵的确定应使M 矩阵与K一道满足特征方程构造EM 的欧氏范数如下：XM 的极小化应满足约束条件式 及以下的对称条件 Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 30上述为约束优化问题，可通过拉格朗日乘子矩阵将其转化为无约束优化问题。仿照方案一的推导过程可得 上式右边后两项为MA的修正量。将式 代入上式，并消去中间量MA，便可得M 的修正公式。连同保留的K，可得第二方案的物理参数修正公式：至此，

29、我们已导出了两个方案的物理参数修改公式。由于该两组公式均与实验模态一起满足特征方程。所以，可以预料：修正后的M 与K 矩阵将重现实验模态。应该说第二组修改公式与第一组修改公式等价，在实际使用时只需选择其中之一。此方法所得修改结果能使M 及K 既满足正交性条件，又满足特征方程。此方法的精度良好，不足之处在于修正后的矩阵M 及K 的带状稀疏性已被破坏。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 314 Ibrahim由复模态参数辨识物理参数 1982年Ibrahim S R.提出了一个从复模态中辨识主模态，进而辨识物理参数的方法。对于一个N

30、自由度的线性阻尼系统，被测得的模态参数需满足如下方程式：式中：M、K、C 分别为系统的质量、刚度、阻尼矩阵，它们的阶次为(NxN）；S为截取的模态数，一般S N，即实际得到的常常是非完整的模态集；为第r阶模态向量；为第r模态的特征值，它们都是实测得到的复向量。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 32 很显然，上式是N S 个复方程组。由于S N，因此不可能由此解出M-1K M-1C ，还需补充（N 一S）个方程。Ibrahim 提出采用分析计算所得的复模态向量 加以补充，即式中：r第r阶模态的计算圆频率；是分析计算的阻尼比，它可用

31、前S 个实测的阻尼比的平均值来近似，即前两式组合起来就可得到NXN个复方程组，及2NX2N，可写为Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 33 式中：有式 可解出M-1K 和M-1C然后根据 M-1K 构造特征方程，即 式中：为修正后的主模态矩阵；为修正后的特征值矩阵。由上式即可求得N 个特征值与N 个特征向量。前S 个特征向量即为相应于实测复模态的S 个主模态。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 34有了前S 个主模态和分析得到的质量矩阵M。就可利用Berman 法中式

32、 得到修正的质量矩阵，即 求得M 矩阵和M-1K、M-1C矩阵后，就可得到刚度矩阵及阻尼矩阵，Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 35四、结构动力的修改(重分析与优化）结构动力修改技术所研究的问题有两大类。正问题-研究的是当系统的结构参数，由于设计和制造上的原因需要做某些改变时，根据其改变量求结构的动力特性（例如特征值及特征向量）的改变。这一类问题在结构改型设计中，或在结构上添加（或拆除）某些附件（如减振器，或某些悬挂物等）时常遇到。(又称：重分析)反问题-结构动力的所研究的是希望通过某些结构参数的改变使系统的特性（特征值和特征向

33、量）满足预定的要求，或避开（或落入）某个范围。即已知求MC K。这类问题在结构动力特性的优化设计及避免共振时经常遇到。结构动力修改技术可以避免修改后结构动力特性的重计算。采用结构动力修改方法无需重新计算修改后结构的特征值与特征向量，从而大大节约了设计时间和成本。近年来结构动力修改技术的迅速发展，并已开始与有限元分析和计算机辅助设计（CAD）相结合，形成一套完整的结构动力特性分析与优化设计方法，作为计算机辅助工程（CAE）中的一个重要环节。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 36结构动力特性修改的方法有很多种，目前已发展起来的有矩阵

34、摄动法，加权欧式范数法，传递函数法，及灵敏度法等等。本节着重讨论结构动力修改反问题的灵敏度方法。灵敏度方法是建立在结构特征灵敏度分析的基础上，运用多元函数的泰勒展开式来确定结构特性参数的改变量。设特征值r与特征向量r均为结构参数mij，kij和cij的多元函数式中mij，kij和cij分别为质量矩阵M，刚度矩阵K和阻尼矩阵C中第i行，第j列元素。将上式展开成泰勒级数。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 37Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 38 在实际计算时，当结构

35、参数的修改量较小时，常略去二阶修正项。此时特征值向量为式中的导数均对原特征值 。根据一阶灵敏度公式，在结构参数修改量mij、kij、cij 确定后，即可由上式求出特征值的修正量，从而求得修改后结构的特征值。同样，对特征向量亦可得类似上式的公式，在略去修正量后，可得式中的导数均对 取值。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 39有了上面两式，就可以在已知灵敏度的前提下，根据结构参数的改变量mij、kij、cij求修改后结构的特征值及特征向量的改变量r及r，求mij、kij、cij，这是结构动力修改的逆问题。对各阶特征值r（r=1，2，

36、N）都可以写出类似的公式，对各阶特征向量中每个元素ir（i=1,2 ，N；r=1,2，N）。都可以写成类似公式。这些方程组便可求解结构动力修改的正问题及逆问题。当结构参数的改变量较大时，可采取分步计算。【例】如图所示，一个4自由度，无阻尼系统，各质量及刚度如下：Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 40其质量矩阵及刚度矩阵分别为其各阶固有频率及振型分别为Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 411）修改固有频率 要求系统的第一阶固有频率由原来的13.294rad/s改变到

37、15.00rad/s，而将第一个质量m11作为修改对象，求出其修改量 m11。由式 式中，为原系统的第一阶固有频率及振型向量中的第一个元素。已知 ，为了提高计算精度，将分成五步计算，每次取 。分步计算时按如下公式迭代假设在每一步计算时，振型不变。质量 总修正量为Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 42计算结果的每次修改为总质量修改量经过修改后总质量变为对修改后的系统重新计算其第一阶固有频率为15.005rads，可见误差是极小的。2）修改振型 由给出的原始振型数据可见，该系统的第二阶振型的节点位于第一点与第二点点之间。要求将节点位

38、置移到第2点，仍以m11作为修改对象。在此情况下，修改的目标使（2）2=0，即为第二阶振型向量中的第二个元素为零Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 43修改公式为设当sr，i=j时，当s=r，i=j时，Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 44故故因此，修改后第一个质量为对修改后系统，按求解特征值问题方法得出新系统的特征向量为由此可见，修改后系统的节点位于第2点上。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 453

39、）同时修改一个以上特征参数在很多情况下，往往同时要求对系统的几个特征参数进行修改。若要求改系统的第二阶固有频率从29.660rad/s改变到35.000rad/s。而第一阶固有频率则从13.294rad/s改变到12.930rad/s。由于需同时满足两个要求，因此选用两个结构参数进行修改。取m11、k22作为修改对象。特征值的修改方程可写成如下两个联立方程：在已知1、2 及计算出各灵敏度后，便可由上述联立方程中解出m11、k22.当1、2修改量较大时，则需采用分步计算。经过十步修改后，最后得Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 46 对修改后的系统进行特征值问题求解，得到的两个特征值为。由于系统的特征灵敏度只是系统特征值与特征向量的函数，而它们均可从结构的模态分析与试验中得到，因此上述灵敏度修改方法对实际结构的动力修改是很方便的。在采用灵敏度方法进行特征值修改时，只需用到本阶特征值及特征向量，而在进行特征向量修改时，则需用到系统的全部特征值及特征向量。因为在推导特征向量灵敏度公式时，曾假设特征向量灵敏度为各阶模态的特征向量之和，即 在实际情况下，常常只有结构系统的前n 阶模态参数。因此在实际计算时常采用模态截断的方法。即特征向量灵敏度假设为 这样做自然会引起一些误差，但由于远离的高阶模态影响较小，所造成的误差不致过大。