9-2--行列式因子和不变因子ppt课件(全).ppt

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1、一、行列式因子一、行列式因子在上一节，我们讨论了在上一节，我们讨论了 -矩阵的标准形，其矩阵的标准形，其主要结论是：任何主要结论是：任何 -矩阵都能化成标准形矩阵都能化成标准形.但是但是矩阵的标准形是否唯一呢？矩阵的标准形是否唯一呢？答案是肯定的答案是肯定的.为了证为了证明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念.1.定义定义定义定义 1 设设设设 -矩阵矩阵矩阵矩阵 A A()的秩为的秩为的秩为的秩为 r r ，对于正整，对于正整，对于正整，对于正整数数数数 k k，1 1 k k r r ，A A()中必有非零的中必有非零的中必有非零的中必有非零的 k k

2、 级子式级子式级子式级子式.A A()中全部中全部中全部中全部 k k 级子式的首项系数为级子式的首项系数为级子式的首项系数为级子式的首项系数为 1 1 的最大公因式的最大公因式的最大公因式的最大公因式D Dk k()称为称为称为称为 A A()的的的的 k k 级级级级行列式因子行列式因子.由定义可知，对于秩为由定义可知，对于秩为 r 的的 -矩阵，行列式矩阵，行列式因子一共有因子一共有 r 个个.D D1 1(),D D2 2(),D Dr r().例例1求求求求A A()的行列式因子：的行列式因子：的行列式因子：的行列式因子：2.行列式因子的性质行列式因子的性质定理定理 1 等价的等价的

3、等价的等价的 -矩阵具有相同的各级矩阵具有相同的各级矩阵具有相同的各级矩阵具有相同的各级行列式因子行列式因子行列式因子行列式因子.（初等变换不改变行列式因子）（初等变换不改变行列式因子）（初等变换不改变行列式因子）（初等变换不改变行列式因子）证明证明我们只要证明，我们只要证明，-矩阵经过一次初等矩阵经过一次初等行变换，行列式因子是不变的行变换，行列式因子是不变的.设设 -矩阵矩阵 A()经过一次初等行变换变成经过一次初等行变换变成 B(),f()与与 g()分别是分别是 A()与与 B()的的 k 级行列式因级行列式因子子.我们证明我们证明 f()=g().下面分三种情形讨论下面分三种情形讨论

4、.级子式反号级子式反号.公因式，公因式，此时此时 的每个的每个 级子式或级子式或者等于者等于 的某个的某个 级子式，级子式，或者与或者与 的某个的某个因此，因此，是是 的的 级子式的级子式的从而从而 级子式的级子式的 c 倍倍.者等于者等于 的某个的某个 级子式，或者等于级子式，或者等于 的某个的某个此时此时 的每个的每个 级子式或级子式或因此，因此，是是 的的 级子式的级子式的公因式，公因式，从而从而 此时此时 中包含中包含 两行两行级子式相等；级子式相等；的和不包含的和不包含 行的那些行的那些 级子式与级子式与 中对应的中对应的中包含中包含 行但不包含行但不包含 行的行的 级级子式，按子式

5、，按 行分成行分成 的一个的一个 级子式与另一个级子式与另一个级子式的级子式的 倍的和，倍的和，即为即为 的两个的两个 级子式级子式从而从而 的组合，的组合，因此因此 是是 的的 级子式的公因式，级子式的公因式，同理可得，同理可得，对于列变换，可以完全一样地讨论对于列变换，可以完全一样地讨论.总之，如总之，如果果 A()经一次初等变换变成经一次初等变换变成 B()，那么，那么f()|g().但由于初等变换是可逆的，但由于初等变换是可逆的，B()也可以经一次初也可以经一次初等变换变成等变换变成 A().由上面的讨论，同样应有由上面的讨论，同样应有g()|f().于是于是 f()=g().当当 A

6、()的全部的全部 k 级子式为零时，级子式为零时，B()的全部的全部k 级子式也就为零；级子式也就为零；反之亦然反之亦然.因此，因此，A()与与 B()既有相同的各级行列式因既有相同的各级行列式因子，又有相同的秩子，又有相同的秩.证毕证毕推论推论 等价的等价的等价的等价的 -矩阵具有相同的秩，矩阵具有相同的秩，矩阵具有相同的秩，矩阵具有相同的秩，反之，不然反之，不然反之，不然反之，不然.例如例如二、标准形的唯一性二、标准形的唯一性1.标准形的行列式因子标准形的行列式因子 若若 矩阵矩阵 的标准形为的标准形为其中其中 为首为首1 1多项式，且多项式，且则则 的的 级行列式因子为级行列式因子为2.

7、标准形的唯一性标准形的唯一性定理定理 2 -矩阵矩阵矩阵矩阵的标准形是唯一的的标准形是唯一的的标准形是唯一的的标准形是唯一的.证明证明设设(1)是是 A()的标准形的标准形.由于由于A()与与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，因此，A()的秩就是标准形的主对角线上非零元的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数素的个数 r;A()的的 k 级行列式因子就是级行列式因子就是于是于是(3)这说明这说明 A()的标准形的标准形(1)的主对角线上的元素是被的主对角线上的元素是被A()的行列式因子所唯一确定的，所以的行列式因子所唯一确定的，所以 A

8、()的标的标准形是唯一的准形是唯一的.证毕证毕三、不变因子三、不变因子1.定义定义定义定义 2 标准形的主对角线上非零元素标准形的主对角线上非零元素标准形的主对角线上非零元素标准形的主对角线上非零元素d d1 1(),),d d2 2(),),d dr r()称为称为称为称为 -矩阵矩阵矩阵矩阵 A A()的的的的不变因子不变因子.2.性质性质定理定理 3 两个两个两个两个 -矩阵等价的充分必要条件是矩阵等价的充分必要条件是矩阵等价的充分必要条件是矩阵等价的充分必要条件是 它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的它们有相同的行列式因子，或者，它们有相

9、同的它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子不变因子不变因子不变因子.证明证明给出了给出了 -矩阵的行矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系列式因子与不变因子之间的关系.这个关系式说明这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的行列式因子与不变因子是相互确定的.因此，说两因此，说两个矩阵有相同的各级行列式因子，就等于说它们有个矩阵有相同的各级行列式因子，就等于说它们有相同的各级不变因子相同的各级不变因子.必要性已由必要性已由证明证明.充分性是很明显的充分性是很明显的.因为若因为若 -矩阵矩阵A()与与B()有相同的不变因子，则有相同的不变因子，则 A()与与 B()和同一个标准和同一

10、个标准形等价，因而它们也等价形等价，因而它们也等价.证毕证毕由由可以看出，在可以看出，在 -矩阵的行列式因子矩阵的行列式因子之间，有关系之间，有关系Dk()|Dk+1()(k=1,2,r-1).(4)在计算在计算 -矩阵的行列式因子时，常常是先计矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子算最高级的行列式因子.这样，由这样，由(4)我们就大致我们就大致有了低级行列式因子的范围了有了低级行列式因子的范围了.推论推论注意注意例例1 试求下列矩阵的行列式因子、不变因子试求下列矩阵的行列式因子、不变因子 与标准形与标准形:的非零二级子式为的非零二级子式为:解：解：1）的非零的非零1级子式为级子式

11、为:又又 所以，所以，的不变因子为的不变因子为：|A()|=d,其中其中 d 是一非零常数是一非零常数.这就是说，这就是说，Dn()=1.于是由于是由(4)可知，可知，Dk()=1(k=1,2,n)，从而，从而dk()=1(k=1,2,n).因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 E.四、四、-矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件作为一个例子，我们来看可逆矩阵的标准形作为一个例子，我们来看可逆矩阵的标准形.设设 A()为一个为一个 n n 可逆矩阵，由可逆矩阵，由知知引理引理矩阵矩阵矩阵矩阵A()可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件是是是是

12、它与单位矩阵等价它与单位矩阵等价它与单位矩阵等价它与单位矩阵等价.反过来反过来,与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的行列式是一个非零数因为它的行列式是一个非零数.设矩阵设矩阵 A()与与 B()等价，则由矩阵等价的充等价，则由矩阵等价的充分必要条件知，存在一系列初等矩阵分必要条件知，存在一系列初等矩阵 P1,P2,Pl,Q1,Q2,Qt,使使A()=P1P2 Pl B()Q1Q2 Qt.特别地，当特别地，当 B()=E 时，就得到时，就得到定理定理 4 矩阵矩阵矩阵矩阵 A A()是可逆的充分必要条件是是可逆的充分必要条件是是可逆的充分必要条件是是可逆的

13、充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积它可以表成一些初等矩阵的乘积它可以表成一些初等矩阵的乘积它可以表成一些初等矩阵的乘积.由此又得到矩阵等价的另一条件由此又得到矩阵等价的另一条件推论推论 两个两个两个两个 s s n n 的的的的 -矩阵矩阵矩阵矩阵 A A()与与与与 B B()等价等价等价等价的充分必要条件是，有一个的充分必要条件是，有一个的充分必要条件是，有一个的充分必要条件是，有一个 s s s s 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 P P()与与与与 一个一个一个一个 n n n n 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 Q Q(),),使使使使B B()=)=P P()A A()Q Q().).小小 结结1.1.行列式因子行列式因子行列式因子行列式因子2.2.标准形的唯一性标准形的唯一性标准形的唯一性标准形的唯一性3.3.不变因子不变因子不变因子不变因子4.4.-矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件试求下列矩阵的不变因子试求下列矩阵的不变因子:练练 习习2）又又 而而 的不变因子为的不变因子为 思考题思考题试求下列矩阵的不变因子试求下列矩阵的不变因子: