以2L为周期的傅氏级数.ppt

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1、以2L为周期的傅氏级数 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、以一、以2L为周期的傅氏级数为周期的傅氏级数 本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级数展开式(1)其中(2)于是由(1)与(2)式分别得(3)(4)定理定理则有则有则有则有证明证明解解解解另解另解 设设 是以是以 为周期的偶函数为周期的偶函数,或是定义在或是定义在 上的偶函数上的偶函数,则称则称为为 的余弦级数的余弦级数,其中其中 若若 是以是以 为周期的奇函

2、数为周期的奇函数,或是定义在或是定义在 上的上的 的奇函数的奇函数,则称则称为为 的正弦级数的正弦级数,其中其中二二 偶函数与奇函数的傅立叶级数偶函数与奇函数的傅立叶级数 若将定义在若将定义在 (或或 )上的函数上的函数 展成余弦展成余弦级数或正弦级数级数或正弦级数,先把定义在先把定义在 (或或 )上的函数作上的函数作偶式延拓或作奇式延拓至偶式延拓或作奇式延拓至 (或或 )yxoyxo 设函数设函数 求求 的的Fourier级数展开式级数展开式.是是 上的偶函级上的偶函级,其周期延拓后其周期延拓后(如下图如下图)xyo 由于由于 是按段光滑函数是按段光滑函数,故可展开成余弦级数故可展开成余弦级

3、数.因为因为所以所以把把 在在 内展成内展成 (i)正弦级数正弦级数;(ii)余弦级数余弦级数.(i)为了把为了把 展成正弦级数展成正弦级数,对对 作奇式周期延拓作奇式周期延拓xyo则则所以当所以当 时时,由收敛定理由收敛定理 得得 (ii)为了把为了把 展成余弦级数展成余弦级数,对对 作偶作偶式周期延拓如下图式周期延拓如下图:xyo则则三、小结三、小结利用变量代换求傅氏展开式利用变量代换求傅氏展开式;求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤;1.画图形验证是否满足狄氏条件画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系数求出傅氏系数;3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于以以2l为周期的傅氏系数为周期的傅氏系数;