第二章 第八节函数与方程.ppt

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1、第二章第二章 第八节第八节 函数与函数与方程方程1.1.函数的零点函数的零点（1 1）定义：函数）定义：函数y=f(x)y=f(x)的图像与的图像与_称为这称为这个函数的零点个函数的零点.（2 2）几个等价关系：）几个等价关系：横轴的交点的横坐标横轴的交点的横坐标解解交点交点零点零点2.2.函数零点的存在性定理函数零点的存在性定理函数函数y=f(x)y=f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上的图像是上的图像是_，并且，并且_，则在区间，则在区间(a,b)(a,b)内，函数内，函数y=f(x)y=f(x)至少有一个零至少有一个零点，即相应的方程点，即相应的方程f(x)=0f(x)=0在区间在区间

2、(a,b)(a,b)内至少有一个实数解内至少有一个实数解.连续曲线连续曲线f(a)f(b)0f(a)f(b)0,3=10,又因为函数又因为函数f(x)f(x)在（在（0 0，+）上是连续且增加的，所以）上是连续且增加的，所以方程方程loglog3 3x+x=3x+x=3的解所在的区间为（的解所在的区间为（2 2，3 3）.【拓展提升】【拓展提升】确定函数确定函数f(x)f(x)在给定区间上是否有零点的方法在给定区间上是否有零点的方法（1 1）解方程法：当对应方程）解方程法：当对应方程f(x)=0f(x)=0易解时，可先解方程，再易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上看求得的根是否落

3、在给定区间上.（2 2）利用函数零点的存在性定理：首先看函数）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图像是否连续，再看是否有上的图像是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.f(a)f(b)2e,2e,即即m-em-e2 2+2e+1+2e+1时，时，g(x)g(x)与与f(x)f(x)有两个有两个交点，即交点，即g(x)-f(x)=0g(x)-f(x)=0有两个相异实根有两个相异实根.mm的取值范围是（的取值范围是（-e-e2 2+2e+1,+2e+1,+）.【拓展提升】【拓展提升】已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围常已知函数有零点（方程

4、有根）求参数取值范围常用的方法用的方法（1 1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围通过解不等式确定参数范围.（2 2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决以解决.（3 3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解中，画出函数的图像，然后数形结合求解.【变式训练】【变式训练】（20132013武汉模拟）设函数武汉模拟）设函数 在区间（在区间（1 1，

5、2 2）内有零点，则实数）内有零点，则实数a a的取值范围是的取值范围是()()(A)(A)（-1-1，loglog3 32 2）(B)(0,log(B)(0,log3 32)2)(C)(log(C)(log3 32,1)(D)(1,log2,1)(D)(1,log3 34)4)【解析解析】选选C.C.由题意知方程是由题意知方程是 在区间（在区间（1 1，2 2）上）上有解，由有解，由1 1x x2 2得得 aa（loglog3 32 2，1 1）.【易错误区】【易错误区】忽视定义域导致求函数零点个数失误忽视定义域导致求函数零点个数失误 【典典例例】(2012(2012湖湖北北高高考考)函函数

6、数f(x)=xcos f(x)=xcos x x2 2在在区区间间0 0，4 4上的零点个数为上的零点个数为()()(A)4 (B)5 (C)6 (D)7(A)4 (B)5 (C)6 (D)7【误区警示】【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面：本题易出现的错误主要有两个方面：(1)(1)忽视忽视x=0 x=0这一零点致误这一零点致误.(2)(2)误误把把y=cos y=cos x x2 2在在0 0，4 4上上的的零零点点与与y=cos y=cos x x在在0 0，4 4上上的零点等同，导致错误的零点等同，导致错误.【规范解答】【规范解答】选选C.C.当当x=0 x=0时，时，f(x)=

7、0.f(x)=0.又因为又因为xx0 0，4 4，所，所以以0 x0 x2 216.16.因为因为551616 ，所以函数，所以函数y=cos xy=cos x2 2在在x x2 2取取 时为时为0 0，此时，此时f(x)=0.f(x)=0.所以所以f(x)=xcos xf(x)=xcos x2 2在区间在区间0 0，4 4上的零点个数为上的零点个数为6.6.【思考点评】【思考点评】解答本题应注意的两个问题解答本题应注意的两个问题(1)(1)区间区间0 0，4 4是是x x的范围而不是的范围而不是x x2 2的范围的范围.(2)(2)用整体的思想求解，即令用整体的思想求解，即令x x2 2=t

8、=t，先求出，先求出t t的范围，再在这个的范围，再在这个范围内寻找使范围内寻找使cos t=0cos t=0的的t t值即可值即可.1.1.（20122012北京高考）函数北京高考）函数 的零点的个数为的零点的个数为()()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】【解析】选选B.B.在同一平面直角坐标系在同一平面直角坐标系内作出内作出 与与 的图像如图的图像如图所示，易知，两函数图像只有一个交所示，易知，两函数图像只有一个交点，因此函数点，因此函数 只有只有1 1个零点个零点.2.(20132.(2013西安模拟西安模拟)已知函数已知函数f(x)=

9、xf(x)=x3 3-2x-2x2 2+2+2，则下列区间必存，则下列区间必存在零点的是在零点的是()()（A A）（B B）（C C）（D D）【解析】【解析】选选C.f(-1)=-1-2+2=-10,C.f(-1)=-1-2+2=-10,3.(20133.(2013宝鸡模拟宝鸡模拟)函数函数 若实数若实数x x0 0是方程是方程f(x)=0f(x)=0的根，且的根，且0 x0 x1 1x0.)0.4.(20134.(2013大连模拟大连模拟)设方程设方程的根分别为的根分别为x x1 1，x x2 2，则，则()()(A)0(A)0 x x1 1x x2 21 (B)x1 (B)x1 1x

10、x2 2=1=1(C)1(C)1x x1 1x x2 22 (D)x2 (D)x1 1x x2 222【解析】【解析】选选A.A.在同一坐标系内画出函数在同一坐标系内画出函数 的图像的图像,如图所示，则如图所示，则x x1 11 1x x2 20.0.由由 得得00 x x1 1x x2 21 1，故选，故选A.A.1.1.已知函数已知函数 若方程若方程f(x)=x+af(x)=x+a有且只有两个有且只有两个不相等的实数根，则实数不相等的实数根，则实数a a的取值范围为的取值范围为()()(A)(-(A)(-，0 0 (B)(B)0 0，1)1)(C)(-(C)(-，1)(D)1)(D)0 0

11、，+)+)【解析】【解析】选选C.C.当当x x0 0时，时，f(x)=f(x-1)f(x)=f(x-1)且当且当0 0 x1x1时，时，x-10 x-10，f(x)=2f(x)=21-x1-x-1(0-1(0 x1).x1).则函数则函数f(x)f(x)的图像如图所示：的图像如图所示：由图像知，要使方程由图像知，要使方程f(x)=x+af(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，有且只有两个不相等的实数根，则则a a1.1.2.2.设函数设函数f f（x x）的定义域为）的定义域为R R，且对任意的且对任意的xRxR都有都有f f（x+1x+1）=f=f（x-1x-1），若在区间），若在区间

12、-1-1，3 3上函数上函数g g（x x）=f=f（x x）-mx-m-mx-m恰有四个不同零点，则实数恰有四个不同零点，则实数m m的取的取值范围是值范围是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)【解析】【解析】选选D.D.由由f f（x+1x+1）=f=f（x-1x-1）得）得f f（x+2x+2）=f f（x x），则函数），则函数f f（x x）的）的周期为周期为2 2，从而函数，从而函数f f（x x）在区间在区间-1-1，3 3上的图像如图所示，上的图像如图所示，令令u u（x x）=mx+m=m=mx+m=m（x+1x+1），），当当m=0m=0时，时，y=uy=u（x x）和）和y=fy=f（x x）有两个交点，）有两个交点，不合题意，当不合题意，当m0m0时，直线恒过定点（时，直线恒过定点（-1-1，0 0），当直线过点），当直线过点A A（3 3，1 1）时，）时，结合图像知函数结合图像知函数y=uy=u（x x）和）和y=fy=f（x x）有四）有四个交点时，个交点时，故选故选D.D.