三章动量与角动量.ppt

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1、三章动量与角动量 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 3.1 冲量，动量，质点动量定理冲量，动量，质点动量定理3.2 质点系动量定理质点系动量定理 3.3 动量守恒定律动量守恒定律 3.4 变质量系统、火箭飞行原理变质量系统、火箭飞行原理3.5 质心质心3.6 质心运动定理质心运动定理3.7 质点的角动量质点的角动量3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律3.9 质点系的角动量质点系的角动量3.10 质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理前言前言本章目录

2、本章目录2前言前言我们往往只关心过程中力的效果我们往往只关心过程中力的效果力对时间和空间的积累效应。力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累力在时间上的积累效应：效应：平动平动冲量冲量动量的改变动量的改变转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变力在空间上的积累力在空间上的积累效应效应功功改变能量改变能量 牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，在有些问题中，如：碰撞（宏观）、如：碰撞（宏观）、（微观）（微观）散射散射3 3.1 冲量，动量，质点动量定理冲量，动量，质点动量定理定义：定义：力的力的冲量冲量（impulse）质点的质点的动量动量（momentum）质点动量定

3、理：质点动量定理：（微分形式）（微分形式）（积分形式）（积分形式）（theorem of momentum of a particle）4平均冲力平均冲力 例例已知：已知：一篮球质量一篮球质量m=0.58kg，求：求：篮球对地的平均冲力篮球对地的平均冲力解：解：篮球到达地面的速率篮球到达地面的速率从从h=2.0m的高度下落，的高度下落，到达地面后，到达地面后，接触地面时间接触地面时间 t=0.019s。FFto t速率反弹，速率反弹，以同样以同样5船行船行“八面风八面风”6演示演示逆风行舟逆风行舟(KL011)帆帆v1 v2v1 v2v风风 F风对帆风对帆 F横横 F进进 F横横 F阻阻龙骨龙

4、骨F帆对风帆对风v7 3.2 质点系动量定理质点系动量定理 （theorem of momentum of particle system）Fipi fj i fi j为质点为质点 i 受的受的合外力，合外力，i j质点系质点系 为质点为质点 i 受质点受质点 j 的的内力，内力，为质点为质点 i 的动量。的动量。对质点对质点 i：对质点系：对质点系：由牛顿第三定律有：由牛顿第三定律有：8所以有：所以有：令令则有：则有：或或质点系动量定理质点系动量定理（微分形式）（微分形式）质质点点系系动动量量定定理（积分形式）理（积分形式）用质点系动量定理处理问题可避开内力。用质点系动量定理处理问题可避开内

5、力。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。9 3.3动量守恒定律动量守恒定律这就是这就是质点系的动量守恒定律。质点系的动量守恒定律。即即几点说明：几点说明：1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。质点系所受合外力为零时，质点系所受合外力为零时，质点系的总动量质点系的总动量不随时间改变。不随时间改变。（law of conservation of momentum）10 4.若某个方向上合外力为零，若某个方向上合外力为零，5.当外力当外

6、力内力内力 6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本则该方向上动则该方向上动尽管总动量可能并不守恒。尽管总动量可能并不守恒。量守恒，量守恒，且作用时间极短时且作用时间极短时（如碰撞），（如碰撞），可认为动量近似守恒。可认为动量近似守恒。的定律，的定律，它在宏观和微观领域均适用。它在宏观和微观领域均适用。7.用守恒定律作题，应注意分析用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统过程、系统 切惯性系中均守恒。切惯性系中均守恒。3.动量若在某一惯性系中守恒，动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一则在其它一和条件。和条件。11 粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的

7、质量增加（如滚雪球）抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减少（如火箭发射）低速（低速（v c）情况下的两类变质量问题：）情况下的两类变质量问题：下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。3.4变质量系统、火箭飞行原理变质量系统、火箭飞行原理 （自学书（自学书3.4和本电子教案）和本电子教案）这是相对论情形，这是相对论情形，不在本节讨论之列。不在本节讨论之列。以随速度改变以随速度改变 m=m(v)，情况下，情况下，还有另一类变质量问题是在高速（还有另一类变质量问题是在高速（v c）这时即使没有粘附和抛射，质量也可这时即使没有粘附和抛射，质量也可12条

8、件：条件：燃料相对箭体以恒速燃料相对箭体以恒速u喷出喷出初态：初态：系统质量系统质量 M，速度，速度v(对地对地)，动量，动量 M v 一一.火箭不受外力情形火箭不受外力情形（在自由空间飞行）（在自由空间飞行）1.火箭的速度火箭的速度系统：系统：火箭壳体火箭壳体+尚存燃料尚存燃料总体过程：总体过程：i(点火点火)f(燃料烧尽燃料烧尽)先分析一先分析一微过程：微过程：t t+dt末态：末态：喷出燃料后喷出燃料后喷出燃料的质量：喷出燃料的质量：dm=-dM，喷出燃料速度喷出燃料速度(对地对地)：v-uvu13火箭壳体火箭壳体+尚存燃料的质量：尚存燃料的质量：M-dm系统动量：系统动量：(M-dm)

9、(v+d v)+-dM(v-u)火箭壳体火箭壳体+尚存燃料的速度尚存燃料的速度(对地对地)：v+d v 由动量守恒，有由动量守恒，有 M v=-dM(v-u)+(M-dm)(v+d v)经整理得：经整理得：Mdv =-udM速度公式：速度公式：14引入引入火箭质量比：火箭质量比：得得讨论：讨论：提高提高 vf 的途径的途径 (1)提高提高 u（现可达（现可达 u=4.1 km/s）(2)增大增大 N（受一定限制）（受一定限制）为提高为提高N，采用多级火箭（一般为三级），采用多级火箭（一般为三级）v=u1ln N1+u2ln N2+u3ln N3 资料：资料：长征三号（三级大型运载火箭）长征三号

10、（三级大型运载火箭）全长：全长：43.25m，最大直径：最大直径：3.35m，起飞质量：起飞质量：202吨，起飞推力：吨，起飞推力：280吨力。吨力。15t+dt时刻：时刻：速度速度 v-u，动量动量dm(v-u)由动量定理，由动量定理，dt内喷出气体所受冲量内喷出气体所受冲量 2.火箭所受的反推力火箭所受的反推力研究对象：研究对象：喷出气体喷出气体 dmt 时刻：时刻：速度速度v(和主体速度相同和主体速度相同)，动量动量 vdm F箭对气箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为16二二.重力场中的火箭发射重力场中的火箭发

11、射 可得可得 t 时刻火箭的速度：时刻火箭的速度：忽略地面附近重力加速度忽略地面附近重力加速度 g 的变化，的变化，Mt：t 时刻火箭壳和尚余燃料的质量时刻火箭壳和尚余燃料的质量17rc3.5质心质心（center of mass）一一.质心的概念和质心位置的确定质心的概念和质心位置的确定Cmizri yx0定义定义质心质心 C 的位矢为：的位矢为：质心位置是质心位置是质点位置以质点位置以质量为质量为权重权重的平均值。的平均值。为便于研究质点系总体运动，引入为便于研究质点系总体运动，引入质心质心概念。概念。18二二.几种系统的质心几种系统的质心 两质点系统两质点系统m2m1r1r2C m1 r

12、1=m2 r2 连续体连续体rrcdmC0m zx y19R“小线度小线度”物体的质心和重心是重合的。物体的质心和重心是重合的。例例如图示，如图示，CxC Or Orddx y O均质圆盘均质圆盘求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。由对称性分析，质心由对称性分析，质心C应在应在x轴上。轴上。解：解：令令 为质量的面密度，为质量的面密度，则则质心坐标为：质心坐标为：挖空挖空 均匀杆、圆盘、均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。圆环、球，质心为其几何中心。20 3.6质心运动定理质心运动定理（theorem of motion of center of mass）一一.

13、质心运动定理质心运动定理rcCvcmizri yx0vi即质点系的总动量即质点系的总动量 是质点系的是质点系的“平均平均”速度速度21由由 质心运动定理质心运动定理有有拉力拉力纸纸C球往哪球往哪边移动边移动？该质点集中了整个质点系的质量和所受该质点集中了整个质点系的质量和所受质心的运动如同一个在质心位置处的质点的质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，运动，的外力。的外力。实际上是物体质心的运动。实际上是物体质心的运动。在质点力学中所谓在质点力学中所谓“物体物体”的运动，的运动，思考思考演示演示质心运动质心运动(KL005)22 系统系统内力内力不会影响质心的运动，不会影响质心的运动，在光

14、滑水平面上滑动在光滑水平面上滑动的扳手，的扳手，做跳马落地动作的运做跳马落地动作的运动员尽管在翻转，但动员尽管在翻转，但 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动但其质心仍在做抛物线运动其质心仍做抛物线运动其质心仍做抛物线运动例如：例如：其质心做匀其质心做匀速直线运动速直线运动23若合外力为零，若合外力为零，二二.动量守恒与质心的运动动量守恒与质心的运动质点系动量守恒质点系动量守恒若合外力分量为若合外力分量为0，质点系分动量守恒质点系分动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价质点系动量守恒和质心匀速运动等价！则则则则相应的质心分速度不变相应的质心分速度不变2

15、4 1.质心系质心系质心系质心系是固结在质心上的是固结在质心上的平动平动参考系。参考系。质心系不一定是惯性系。质心系不一定是惯性系。质点系的复杂运动通常可分解为：质点系的复杂运动通常可分解为：在质心系中考察质点系的运动。在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质心系。质点系整体随质心的运动；质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动各质点相对于质心的运动 三三.质心（参考）系质心（参考）系（frame of center of mass）252.质心系的基本特征质心系的基本特征质心系是零动量参考系。质心系是零动量参考系。m1v10

16、 m2v20 m1v1 m2v2 质心系中看两粒子碰撞质心系中看两粒子碰撞等值、反向等值、反向的动量。的动量。两质点系统在其两质点系统在其质心系中，质心系中，总是具有总是具有26 3.7 质点的角动量质点的角动量（angular momentum of a particle）一一.质点的角动量质点的角动量角动量是质点运动中的一个重要的物理量，角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。LmO pr 质点质点m对惯性系中的固对惯性系中的固定点定点O的的角动量角动量定义为：定义为：单位：单位：kg m2/s大小：大小：方向：

17、方向：决定的平面（右螺旋）决定的平面（右螺旋）27LRv mO 质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为对圆心的角动量的大小为方向方向 圆面圆面不变。不变。L=mvR，同一质点的同一运动，其角动量却可以随固同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同而改变。定点的不同而改变。例如：例如：方向变化方向变化方向竖直向上不变方向竖直向上不变OlO 锥摆锥摆m28二二.质点的角动量定理，力矩质点的角动量定理，力矩由由有：有：定义力定义力对定点对定点 O 的的力矩力矩(moment of force)为：为：FM rOm 称称力臂力臂r029于是有于是有质点角动量定理质

18、点角动量定理或或积分积分质点角动量定理质点角动量定理称称冲量矩冲量矩力矩对时间的积累作用。力矩对时间的积累作用。（积分形式）（积分形式）（微分形式）（微分形式）30 例例 锥摆的角动量锥摆的角动量对对O点：点：合力矩不为零，角动量变化。合力矩不为零，角动量变化。对对O 点：点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。合力矩为零，角动量大小、方向都不变。（合力不为零，动量改变！）（合力不为零，动量改变！）OlO 锥摆锥摆m31zFrO平面平面 z轴轴F F/MMzr/r r r sin 三三.质点对轴的角动量质点对轴的角动量 1.力对轴的力矩力对轴的力矩 把对把对O点的力矩向过点的力矩向过O点的轴（

19、如点的轴（如 z 轴）投影：轴）投影：力对轴的力矩。力对轴的力矩。322.质点对轴的角动量质点对轴的角动量质点对轴的角动量质点对轴的角动量3.对轴的角动量定理对轴的角动量定理 即即 质点对轴的质点对轴的 角动量定理角动量定理 r sin p r rOz33质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律 3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律（law of conservation of angular momentum）OmvFL（中心力）（中心力）r（1）mv r sin =const.，（2）轨道在同一平面内。）轨道在同一平面内。34 角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：角动量守恒定律可导出

20、行星运动的开普勒第二定律：（书书 161页页例例3.16）质点对轴的角质点对轴的角 动量守恒定律动量守恒定律 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。而且在高速低速范围均适用。rvFrLv S m演示演示 质点在有心力作用下运动质点在有心力作用下运动(KL014)离心节速器离心节速器(KL018)35 星云具有盘形结构：星云具有盘形结构：pc 秒差距，秒差距，1pc=3.086 1016m旋旋转转的的星星云云36星球具有原始角动量星球具有原始角动量vr

21、星球所需向心力：星球所需向心力：引力不能再使引力不能再使 r 减小减小。可以可以在引力作用下不断收缩。在引力作用下不断收缩。粗略的粗略的解释：解释：r0v0zm引力使引力使r 到一定程度到一定程度 r 就不变了，就不变了，但在但在z 轴方向轴方向却无此限制，却无此限制，可近似认为引力：可近似认为引力：373.9 质点系的角动量质点系的角动量 质点系的角动量质点系的角动量（自己证）（自己证）质点系角动量定理质点系角动量定理于是有：于是有：38 质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律质质点点系系角角动动量量守守恒恒和和动动量量守守恒恒是否相互独立？是否相互独立？思考思考 脉冲星的角动量守恒脉冲星

22、的角动量守恒时间间隔时间间隔：1s脉冲星的精确周期性信号脉冲星的精确周期性信号周期约周期约1.19 s39星体不被惯性离心力甩散，必须满足条件：星体不被惯性离心力甩散，必须满足条件：如此推算，脉冲星的如此推算，脉冲星的 超过了白矮星密度。超过了白矮星密度。这说明，这说明，脉冲星是高速旋转的脉冲星是高速旋转的中子星。中子星。40 例例 一根长为一根长为l的轻质杆，端部固结一小球的轻质杆，端部固结一小球m1，碰撞时重力和轴力都通过碰撞时重力和轴力都通过O，解：解：选选m1（含杆）（含杆）+m2为系统为系统另一小球另一小球m2以水平速度以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部并与杆粘合。求：求：碰

23、撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度对对O 力矩为零，故角动量守恒。力矩为零，故角动量守恒。lm1Ov0m2 解得：解得：思考思考 （m1m2）的水平动量是否守恒？）的水平动量是否守恒？有有413.10 质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理一一.质心系中的角动量质心系中的角动量 O 是惯性系中的一个定点是惯性系中的一个定点C 是质心兼质心坐标系原点是质心兼质心坐标系原点对质心对质心对对O点点C 对对O利用关系：利用关系：可以证明（自己推导）：可以证明（自己推导）：O系为惯性系系为惯性系 vi vCC y x OrCri viFi z 42二二.质点系对质心的角动量定理：质点系对质心的角动量定理：

24、质心系中质点对质心系中质点对质心质心的角动量定理的角动量定理即有即有43 这再次显示了质心的这再次显示了质心的尽管质心系可能不是惯性系，尽管质心系可能不是惯性系，但对质心来说，但对质心来说，角动量定理仍然成立。角动量定理仍然成立。特殊之处特殊之处和选择质心系来讨论问题的优点。和选择质心系来讨论问题的优点。若质心系是非惯性系，若质心系是非惯性系，则外力矩中应包括则外力矩中应包括惯性力对质心的力矩：惯性力对质心的力矩：设质心加速度为设质心加速度为 则有则有这正是即使这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对质心系为非惯性系，但质点系对质心的角动量仍能满足质心的角动量仍能满足角动量定理的原因。角动量定理的原因。44 第三章结束第三章结束小结：动量与角动量的比较小结：动量与角动量的比较角动量角动量矢量矢量与固定点有关与固定点有关与内力矩无关与内力矩无关守恒条件守恒条件动量动量矢量矢量与内力无关与内力无关守恒条件守恒条件与固定点无关与固定点无关45