矩阵的秩(1).ppt

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1、矩阵的秩矩阵的秩(1)(1)2022/10/302 称为称为A的的k阶阶子式子式,其值等于零其值等于零(不等于零不等于零)时时,称称为为零子式零子式(非零子式非零子式).2022/10/303是A的一个三阶子式，它A由的第2，4，6行与第1，5，7列交叉处的元素所构成.2022/10/305例例 求矩阵的秩解解在A中，容易看出一个2阶子式经计算可知因此R（A）=2A的三阶子式只有一个例例解解例例解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此方法简单此方法简单！2022/10/309阶梯形矩阵阶梯形矩阵R(A)=3问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过

2、变换矩阵的秩变吗？证证矩阵的秩的求法矩阵的秩的求法 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变证毕证毕初等变换求矩阵的秩的方法：初等变换求矩阵的秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩矩阵的秩.例例解解由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.例例解解分析：分析：2022/10/3025定理定理 n阶矩阵

3、阶矩阵A的秩等于的秩等于n的充要条件是的充要条件是 A为非奇异矩阵为非奇异矩阵(即即|A|0).证证 若R(A)=n,则对A作初等行变换可将其化为有n个非零行的行简化阶梯矩阵(即单位阵I),也就是,存在可逆阵P使PA=I,故|A|0,R(A)=n.m n矩阵矩阵A,A为为n阶方阵阶方阵如果如果|A|0,0,则则R(A)=)=n，称，称A为满秩矩阵为满秩矩阵如果如果R(A)=)=n，称，称A为列满秩矩阵为列满秩矩阵如果如果R(A)=)=m，称，称A为行满秩矩阵为行满秩矩阵定义定义如果如果|A|=0,=0,则则R(A)n，称，称A为降秩矩阵为降秩矩阵2022/10/3027矩阵的秩的性质（4）R(A+B)R(A)+R(B)（5）maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)+R(B)（6）若A与B等价，则R(A)=R(B)2022/10/3028（7）设A是mn矩阵,P,Q分别是m阶,n阶可 逆矩阵,则R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ).证证 由于可逆阵P,Q可以表示为若干个初等阵的乘积,而初等变换不改变矩阵的秩,故结论成立.例例 设设A是是m n矩阵矩阵,mn,证明证明:|ATA|=0.证证 由于R(A)=R(AT)min(m,n)n,根据性质2,有R(ATA)min(R(AT),R(A)n,而ATA是n阶矩阵,利用定理3,即得|ATA|=0.结束结束