最新常微分方程42PPT课件.ppt

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1、常微分方程常微分方程4242基本点v常系数线性微分方程及可化为这一类型的方程的解法-只须解解一个代数代数方程。v某些特殊的非齐次微分方程也可通过代数运算和微分运算求得它的通解。掌握：v特征方程与特征根，及求常系数线性方程的通解v待定系数法与拉普拉斯变换法求非齐次线性方程的特解。(3)根据特征根的不同情况分别进行讨论根据特征根的不同情况分别进行讨论:特征根是单根的情形特征根是单根的情形如果特征根有复根，由于方程如果特征根有复根，由于方程(4.19)的系数为实常数，因此复的系数为实常数，因此复根总是成对出现的。根总是成对出现的。特征根是有重根的情形特征根是有重根的情形如果特征根有重复根，由于方程如

2、果特征根有重复根，由于方程(4.19)的系数为实常数，因此的系数为实常数，因此复根总是成对出现的。复根总是成对出现的。作业vP164 2()v思考 p164 1特征根是有重根的情形特征根是有重根的情形证明证明分两种情况：分两种情况：可得可得直接计算易得直接计算易得因此因此于是于是(4.19)化为化为从而从而于是于是(4.26)全体全体n个解构成方程个解构成方程(4.19)的的基本解组基本解组。证明（反证法）证明（反证法）假若这些函数线性相关，则有假若这些函数线性相关，则有证明（反证法）证明（反证法）假若这些函数线性相关，则有假若这些函数线性相关，则有这就产生了矛盾。因此证明了这就产生了矛盾。因

3、此证明了(4.26)全部全部n个解线性无关，从而构个解线性无关，从而构成了方程成了方程(4.19)的基本解组。的基本解组。例例1 求方程例例2 求方程解解特征方程特征方程故方程的通解为故方程的通解为解解特征方程特征方程例例3 求方程例例4 求方程因此方程有四个实值解四个实值解cost,tcost,sint,tsint.故通解为解解特征方程特征方程因此方程的通解为因此方程的通解为解解特征方程特征方程欧拉方程：欧拉方程：欧拉方程解法欧拉方程解法：例例5 求方程例例6 求方程4.2.3 非齐次线性微分方程求非齐次线性方程的通解的的方法：求非齐次线性方程的通解的的方法：v常数变易法常数变易法v比较系数

4、法v拉普拉斯变换法常系数非齐次线性微分方程：(1)比较系数法比较系数法类型类型I比较系数法确定比较系数法确定(4.33)中的待定常数：中的待定常数：分两种情形讨论：分两种情形讨论：下面对此加以证明下面对此加以证明.例例7 求方程例例8 求方程例例9 求方程作业vP164 2(7,10),3(1,3),4(1)v思考 2(15)(1)比较系数法比较系数法类型类型II将将f(t)表为指数形式表为指数形式根据非齐次线性微分方程的叠加原理(习题4.1第2题)，方程与的解之和必为方程(4.32)的解.例例10 求方程例例11 利用复数法求方程(2)拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法拉普拉斯变换拉普拉斯变换给定

5、微分方程拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例12 求方程例例13 求解方程例例14求方程例例15 求解方程作业vP164 2(17,19),3(1,3),4(2)v思考 6，74.2.4 质点振动v(1)无阻尼自由振动v(2)有阻尼自由振动v(3)无阻尼强迫振动v(4)有阻尼强迫振动(1)无阻尼自由振动无阻尼自由振动(4.39)的特征方程因此方程(4.39)的通解为(2)有阻尼自由振动有阻尼自由振动(4.43)的特征方程(I)小阻尼的情形：小阻尼的情形：(II)大阻尼的情形：大阻尼的情形：(III)临界阻尼的情形：临界阻尼的情形：(3)无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动(4.48)的特征方程(4)有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动(4.43)的特征方程(I)小阻尼的情形：小阻尼的情形：(II)大阻尼的情形：大阻尼的情形：(III)临界阻尼的情形：临界阻尼的情形：结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！48