例1变速直线运动的速度.ppt
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1、例1变速直线运动的速度 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望例例1.1.变速直线运动的速度物体作匀速直线运动时,有这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度,平均速度记作V.由于匀速运动物体的速度是不变的,因此441 1导数的概念导数的概念一、导数概念的引入一、导数概念的引入 由于变速直线运动物体的速度 V(t)是变的,因此,用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)?设一物体作变速直线运动,在0,t
2、这段时间内所走路程为 S=S(t).下求V(t0)如图SS(t0)S(t0+t)0 设物体在 t0 时,所走路程为 S(t0),在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t),从而,物体在 t0,t0+t 这段时间内所走路程为S =S(t0+t)S(t0)物体在 t0,t0+t 这段时间内的平均速度为 t越小,近似值就越接近精确值V(t0).当t无限变小时,近似值就会无限接近也就是精确值V(t0).例例2.2.曲线的切线斜率圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”,但对一般曲线而言.这一定义是不合适的.如y=x2,x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交点,以哪条直线作为切线呢?如图y=x20
3、 xy又如,y=x3,如图又比如,y=sinx,如图0 xy=x3y0 xyy=sinx11切线的一般定义:如图设有曲线C及C上一点M,在M点外任取C上一点N,作割线MN,当点N沿曲线C趋向点M时,如果割线MN趋向于它的极限位置MT,则称直线MT为曲线C在点M处的切线.TMxy0NCN 下面讨论曲线C:y=f(x),在点M(x0,y0)处的切线斜率问题.设N的坐标为(x0+x,y0+y),割线MN的倾角为,切线MT的倾角为.如图Ty=f(x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0P割线 MN 的斜率当x0 时,N 沿 C 趋于M,MN MT.从而.因此,tgtg.Ty=f(x)Mxx0 x0
4、+xxy0NCy0+yy0PTy=f(x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0所以切线MT的斜率:P定义:定义:设 y=f(x)在x0 的某邻域U(x0)内有定义.如果当x0时,的极限存在,则称这个极限值为f(x)在x0处的导数,记作f (x0),即二、导数的定义二、导数的定义存在,则称f(x)在x0可导(或称f(x)在 x0 的导数存在).否则,称f(x)在x0不可导(或称 f(x)在 x0的导数不存在).特别注注1.1.若若记x=x0+x,当x0时,x x0,特别,取x0=0,且若 f(0)=0,有注注2.2.导数定义还有其他等价形式,注注3.3.对于例1,有对于例2,曲线y=f(x)
5、在点 M(x0,f(x0)处切线斜率注注4.4.由于称为 f(x)在x0的右导数.称为 f(x)在x0的左导数.有,f(x)在x0可导 f(x)在x0的左,右导数存在且相等.注注5.5.若 y=f(x)在(a,b)内每点可导,则称 f(x)在(a,b)内可导.此时,x(a,b)都有唯一确定的值f(x)与之对应,所以导数是x的函数.称为y=f(x)的导函数,按定义,f (x)就是x所对应的导数值,这个式子就是导函数的表达式.而f(x0)就是f(x)在x=x0处的函数值,即另外,求注注6.6.用定义求导数一般可分三步进行.设y=f(x)在点x处可导(1)求y=f(x+x)f(x)(2)求比值(3)
6、求极限三、求导举例三、求导举例例例3.3.求 y=C(常数)的导数.解:解:(1)y=f(x+x)f(x)=C C=0(2)(3)故(C)=0,即常数的导数为0.例例4.4.设 y=f(x)=xn.n为正整数,求f(x).解:解:(1)y=f(x+x)f(x)=(x+x)n xn(2)(3)即 (xn)=nx n 1比如,(x)=1,(x2)=2x,(x3)=3x2,一般,对幂函数y=x,为实数有 (x)=x1比如例例5.5.求y=sinx的导数.解:解:(1)y=sin(x+x)sinx(2)(3)即即(sinx)=cosx类似类似 (cosx)=sinx例例6.6.求y=ax的导数,其中a
7、0,a1.解:解:从而即即 (ax)=axlna特别,取特别,取a=e,则则 (ex)=ex例例7.7.求y=logax 的导数,其中a0,a1,x0,并求y|x=1.解:解:即特别,取a=e,则从而由例2知,函数y=f(x)在x0处的导数 f(x0)就是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处切线的斜率,即 k=f(x0).法线方程为一般,若f(x0)存在,则y=f(x)在点M(x0,f(x0)处切线方程为四、导数的几何意义四、导数的几何意义特别,(i)当f(x0)=0时,即k=0.从而切线平行于x轴.因此,法线垂直于x轴.如图切线方程:y=f(x0).法线方程:x=x0.y=f(x)0
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