最新微分中值定理(1)PPT课件.ppt

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1、微分中值定理微分中值定理(1)教学要求：教学要求：1.理解理解Fermat定理，定理，Rolle定理，定理，Lagrange中值定理中值定理;2.了解了解Cauchy中值定理，中值定理，Taylor中值定理中值定理;3.会用微分中值定理证明等式和不等式会用微分中值定理证明等式和不等式.定理的条件是充分的，但非必要定理的条件是充分的，但非必要.不满足条件有可能不满足条件有可能结论不成立结论不成立.如图如图注意注意:区间内有不连续点区间内有不连续点端点端点b处不连续处不连续区间内有不可导点区间内有不可导点推论推论:Example 1.Solution.Example 2.Proof.由由Rolle

2、定理，得定理，得Example 3.分析：分析：Proof.由由Rolle定理得定理得:证明在证明在(a,b)内方程内方程Example 4.Proof.（反证法）（反证法）三三.Lagrange 中值定理中值定理定理定理 3.几何意义几何意义:Lagrange中值定理指出若曲线中值定理指出若曲线 y=f(x)在在(a,b)内每一点都有内每一点都有不平行于不平行于 y 轴的切线轴的切线,则在曲线则在曲线上至少存在一点上至少存在一点P(,f(),使使曲线在曲线在P的切线平行于过曲线的切线平行于过曲线两端点两端点 A,B 的弦的弦.分析分析.Proof.由由Rolle定理得定理得,注意注意:从而从

3、而Lagrange中值公式可写为中值公式可写为称为有限增量定理称为有限增量定理.(3)Lagrange中值公式精确地表达了函数在一个区间上中值公式精确地表达了函数在一个区间上 的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.推论推论 1.推论推论 2.推论推论 3.Example 5.Proof.Example 6.Proof.利用利用Lagrange中值定理证明不等式时中值定理证明不等式时,由由Lagrange中值定理中值定理,则则注意注意:四四.Cauchy中值定理中值定理定理定理 4.几何意义几何意义:Cauchy中值定理指出中值定理指出在定理条

4、件下在定理条件下,用参数用参数方程表示的曲线上至方程表示的曲线上至少有一点少有一点,它的切线平它的切线平行于两端点的连线行于两端点的连线.分析分析:Proof.由由Rolle定理得定理得,注意注意:(2)Cauchy中值定理能否用如下方法证明中值定理能否用如下方法证明,为什么为什么?对对f(x),g(x)分别应用分别应用Lagrange中值定理后相比得结论中值定理后相比得结论.Example 7.若若 a b 0,分析分析:Proof.设设 0ab,显然显然,f(x),g(x)满足满足Cauchy中值定理的条件中值定理的条件.由由Cauchy中值定理中值定理,五五.Taylor中值定理中值定理

5、 定理定理 5.Proof.注意：注意：(1)定理中的公式称为定理中的公式称为Taylor公式公式.也是可记为也是可记为:这公式称为这公式称为Maclaurin公式公式.Example 8.Solution.同理可得，同理可得，在求函数极限和证明不等式时，在求函数极限和证明不等式时，Taylor公式起着非公式起着非常重要的作用常重要的作用.Example 9.Solution.Example 10.Solution.Example 11.设函数设函数f(x)在在0,1上具有三阶连续导数上具有三阶连续导数,且且 Proof.由由 f(x)在在0,1上具有三阶连续导数上具有三阶连续导数,且且 从而从而两式相减得，两式相减得，Example 12.（Page140/14）Proof.Example 13.（Page160/6）Proof.The end