最新微分中值定理26630PPT课件.ppt

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1、微分中值定理26630费马定理费马定理 设函数设函数 f(x)在在a,b上有定义，并且在点上有定义，并且在点c(a,b)取到最值，取到最值，f(x)在点在点c可导，则可导，则 f (c)=0。证明：不失一般性。设证明：不失一般性。设 f(x)在点在点 x=c=c 取到最大值，取到最大值，则则 f(x)f(c)(c)，x(a,b)(a,b)。从而从而 f (c)=0。无穷区间的罗尔定理（无穷区间的罗尔定理（P100)二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 P101几何解释几何解释:分析分析:弦弦AB方程为方程为作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉

2、氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.证证证法二证法二F(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续,在开区间在开区间(a,b)内可导内可导,由由R-定理知定理知:拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值公式的拉格朗日中值公式的有限增量公式有限增量公式形式：形式：推论推论证明：设证明：设x1,x2是是(a,b)内任意两点，由内任意两点，由L-定理定理(在在x1,x2之间之间)由由x1,x2的任意性知的任意性知:f

3、(x)=常数常数,x(a,b).证毕证毕!(设区间设区间I为为:(a,b)例例5 5证证例例6 6证证由上式得由上式得三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数特别特别例例7 7证证结论可变形为结论可变形为例例8 设设f(x)在在a,b上可微，且上可微，且ab0，求证：，求证：(ab)证明证明 令令 a,b同号，故同号，故x=0不在不在(a,b)内内;(x),g(x)在在(a,b)内可微。内可微。由柯西中值定理由柯西中值定理四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.Z 思考思考2、证明、证明解答解答2o 对对f(x)在在b,a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式,即即证明证明 1o 由所要证明的不等式选定一函数由所要证明的不等式选定一函数f(x)及及定义区间定义区间:令令 f(x)=lnx,xb,a.1、B.2、补充补充结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！29