最新微积分总复习1-4PPT课件.ppt

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1、微积分总复习微积分总复习1-4极极 限限Company Logo定理定理Company Logo对于分段函数在分界点的连续性对于分段函数在分界点的连续性,一般按以下三步考察一般按以下三步考察:连连 续续Company LogoCompany Logo1.3.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理 1.3.4定理定理 1.3.5定理定理 1.3.6推论推论Company Logo导 数结论结论:如果函数如果函数 y=f(x)在点在点 x 可导可导,则函数在该点必连续则函数在该点必连续.反之反之,结论不成立结论不成立.Company Logo互为反函数的两个函数，它们的导数互为倒

2、数。互为反函数的两个函数，它们的导数互为倒数。隐函数的求导隐函数的求导取队数求导法取队数求导法分段函数求导法分段函数求导法Company Logo复合函数的微分法则、微分形式不变性复合函数的微分法则、微分形式不变性.求微分方法：求微分方法：Company Logo隐函数的微分隐函数的微分例例解法解法I 第一步，两边求微分，第一步，两边求微分，第二步，解出第二步，解出dy，解法解法II先用隐函数求导法，求出先用隐函数求导法，求出再用微分公式，求出再用微分公式，求出Company Logo中值定理中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(Lagrange):一、罗尔定理一、罗尔定理（Rol

3、le):三、柯西中值定理三、柯西中值定理(Cauchy)Company Logo注意与零点定理应用的区别注意与零点定理应用的区别应用应用Company LogoCompany Logo洛洛 必必 达达 法法 则则3.2.1、型未定式型未定式 3.2.2、型未定式型未定式3.2.3、其它未定式、其它未定式Company Logo讨论函数讨论函数单调性、极值单调性、极值、凸性、拐点凸性、拐点以及以及渐近线渐近线的步骤：的步骤：(1)确定函数的定义域确定函数的定义域;(b)以上述点作为分点,将定义域分为若干个部分区间,(c)据表写出单调性、极值结论.(I)首先讨论单调性、极值首先讨论单调性、极值(I

4、I)其次讨论凸性、拐点其次讨论凸性、拐点(b)以上述点作为分点,将定义域分为若干个部分区间,(c)据表写出凸性、拐点结论.(III)最后讨论渐近线最后讨论渐近线Company LogoCompany Logo定积分的定义定积分的定义定理定理4.2.1(微积分学基本定理微积分学基本定理)Company Logo定理定理4.2.3 牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式1、直接积分法、直接积分法：就是直接利用已有的数学结论、积分基本：就是直接利用已有的数学结论、积分基本公式与积分的性质来计算积分的方法公式与积分的性质来计算积分的方法2、凑微分法（第一类换元法）凑微分法（第一类换元法）Company L

5、ogo凑微分法的步骤凑微分法的步骤Company Logo3、换元积分法换元积分法(变量代换法变量代换法)利用第二换元法，利用第二换元法，当被积函数含有根式时，可作如下变换：当被积函数含有根式时，可作如下变换：三角代换三角代换Company Logo定积分换元：换元必须换限定积分换元：换元必须换限命题命题4.3.1Company Logo4、分部积分法分部积分法或者或者 或者或者 1、幂函数、幂函数三角函数三角函数2、幂函数、幂函数指数函数指数函数把三角函数或指数函数放入微分号把三角函数或指数函数放入微分号3、幂函数、幂函数对数函数对数函数 (单一的对数函数）单一的对数函数）4、幂函数、幂函数

6、反三角函数反三角函数 （单一的反三角函数）（单一的反三角函数）把幂函数放入微分号把幂函数放入微分号5、指数函数、指数函数三角函数三角函数解方程解方程Company Logo求有理函数积分步骤：求有理函数积分步骤：1、将假有理分式分解为多项式与真分式之和、将假有理分式分解为多项式与真分式之和;2、真分式用凑微分法、真分式用凑微分法,或将真分式分解为部分分式之和或将真分式分解为部分分式之和;3、求多项式与部分分式的积分、求多项式与部分分式的积分.有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.这类问题能这类问题能 够彻底解决够彻底解决.Company LogoCompany Logo1.

7、无穷积分无穷积分2.瑕积分瑕积分广义积分包括：广义积分包括：无穷限积分无穷限积分 和瑕积分和瑕积分Company Logo仿照牛顿仿照牛顿-莱布尼兹的形式，假设莱布尼兹的形式，假设记注注 瑕积分与定积分的记号在形式上相同，因此计算中应特别注意。在下例中，如果没有发现x=1是瑕点，则会导致下面的错误解法Company Logo无穷限积分是参注：注：（1）此积分是收敛的。例例 1例例 2例例 3Company Logo常用的泊松积分，可以证明=例例Company Logo解解Company Logo定定定定 积积积积 分分分分 应应应应 用用用用1、平面图形的面积平面图形的面积X X型：型：型：型

8、：由垂直于由垂直于由垂直于由垂直于x x轴的直线穿过，以轴的直线穿过，以轴的直线穿过，以轴的直线穿过，以x x为积分变量为积分变量为积分变量为积分变量Y Y型：型：型：型：由垂直于由垂直于由垂直于由垂直于y y轴的直线穿过，以轴的直线穿过，以轴的直线穿过，以轴的直线穿过，以y y为积分变量为积分变量为积分变量为积分变量oCompany Logo画草图画草图.得交点得交点取取y 为积分变量为积分变量,计算抛物线计算抛物线与直线与直线所围成图形的面积所围成图形的面积.例例4解解.由由积分区间为积分区间为-2,4.-24-4所求面积为所求面积为:取取x为积分变量为积分变量,积分区间为积分区间为0,8.Company Logo2、已知截面面积函数的立体体积3、旋转体体积旋转体体积1.求由求由 绕绕 x 轴旋转一周而成的立体的体积轴旋转一周而成的立体的体积V.围成的曲边梯形围成的曲边梯形,Company Logo2.由由 绕绕 y 轴旋转一周轴旋转一周围成的曲边梯形围成的曲边梯形,而成的立体的体积为而成的立体的体积为:于是所求圆锥体的体积为：补充例题补充例题 求以求以 r 为底半径为底半径,h为高的圆锥的体积为高的圆锥的体积。解解OP 的直线方程为：Company Logo