实验数据处理方法第一部分概率论基础.ppt

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1、实验数据处理方法第一部分概率论基础 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望概率分布函数反映了随机变量的概率分布规律；概率分布函数反映了随机变量的概率分布规律；在概率论中处理概率分布时一般不涉及分布的物理来源，为在概率论中处理概率分布时一般不涉及分布的物理来源，为在实验数据分析中正确地掌握和运用这些分布函数，需要：在实验数据分析中正确地掌握和运用这些分布函数，需要：熟悉公式及运算规则；熟悉公式及运算规则；分布的物理意义；分布的物理意义；实验数据处理中所用到的

2、概率分布的来源：实验数据处理中所用到的概率分布的来源：1.实验所涉及到的物理问题本身的统计性质带来的，这类实验所涉及到的物理问题本身的统计性质带来的，这类分布比较多样化，是和所处理的物理问题有直接的联系；分布比较多样化，是和所处理的物理问题有直接的联系；2.对实验测量结果作数据处理时所引进的。这一类分布比对实验测量结果作数据处理时所引进的。这一类分布比较标准化，且处理的方法也比较明确；较标准化，且处理的方法也比较明确；本章内容：本章内容：数据处理过程中常用的概率分布函数，给出它们的定义、数据处理过程中常用的概率分布函数，给出它们的定义、性质和实际应用性质和实际应用第四章第四章特殊的概率密度函数

3、特殊的概率密度函数4.1 二项式分布二项式分布（Binomial Distribution)4.1 二项式分布二项式分布（Binomial distribution)一、定义（亦称伯努利分布）：一、定义（亦称伯努利分布）：考虑一个随机实验的两个互斥的结果：成功和失败，设成功的概率为考虑一个随机实验的两个互斥的结果：成功和失败，设成功的概率为p，则不成功的概率为则不成功的概率为1-p=q。在。在n次独立的实验中，有次独立的实验中，有r次成功的概率为：次成功的概率为：二、性质：二、性质：1.满足归一化条件满足归一化条件证：证：4.1 二项式分布二项式分布（Binomial distribution

4、)2.在变换在变换(r,p)(n-r,1-p)下保持不变：下保持不变：B(r;n,p)=B(n-r;n,1-p)3.当当p=q=0.5时，是对称的时，是对称的;对于任意的对于任意的p值，是非对称的值，是非对称的;当当n增大时，分布趋于对称增大时，分布趋于对称;当当n很大时，近似为正态分布很大时，近似为正态分布4.服从二项式分布的随机变量服从二项式分布的随机变量r 的平均值和的平均值和 方差方差:三、应用：三、应用：给出进行给出进行N次实验有次实验有r次成功的概率。次成功的概率。4.1 二项式分布二项式分布（Binomial distribution)例例1 1：直方图（：直方图（Histogr

5、am)Histogram)考虑一直方图，设考虑一直方图，设A表示一事例落入表示一事例落入Bin i，A表示某事例落入直方图表示某事例落入直方图中其它的中其它的Bin，如果共有，如果共有n个独立的事例，其中有个独立的事例，其中有r个事例落入个事例落入Bin i，n-r个事例分布于其它的个事例分布于其它的Bin r服从服从二项式分布二项式分布Bin i中事例数中事例数r的期望值和方差：的期望值和方差：E(r)=n p V(r)=n p(1-p)r的标准偏差：的标准偏差：概率概率p是未知的，可由实验结果估计：是未知的，可由实验结果估计：一维散点图一维散点图 一维直方图一维直方图 x rxi4.1 二

6、项式分布二项式分布（Binomial distribution)例例2设在某实验中，所期望的事例出现的概率为设在某实验中，所期望的事例出现的概率为p。问，需要作多少次实。问，需要作多少次实 验才能使至少有一个这样的事例出现的概率为验才能使至少有一个这样的事例出现的概率为？设在设在N次实验中共出现了次实验中共出现了X这样的事例。这样的事例。X服从二项式分布服从二项式分布至少有一个这样的事例出现的概率：至少有一个这样的事例出现的概率：0 2 1 3 2 3 1 2N次次成功次数成功次数r4.1 二项式分布二项式分布（Binomial distribution)几何分布几何分布负二项式分布负二项式分

7、布超几何分布超几何分布作一系列独立的伯努利实验，前作一系列独立的伯努利实验，前r-1次实验失败，第次实验失败，第r次成功的概率：次成功的概率：不是从不是从n次实验中抽取的。次实验中抽取的。作一系列独立的伯努利实验，在第作一系列独立的伯努利实验，在第r次实验中事件是第次实验中事件是第k次成功，这类次成功，这类事件的概率为：事件的概率为：N个元素，其中个元素，其中a个表示成功，个表示成功，N-a个表示失败，从个表示失败，从N个元素中一次抽个元素中一次抽取取n个元素，其中有个元素，其中有r个成功，个成功，n-r个失败的概率为：个失败的概率为：4.1 二项式分布二项式分布（Binomial distr

8、ibution)超几何分布的期望值和方差为：超几何分布的期望值和方差为：当当 时，超几何分布近似为二项式分布时，超几何分布近似为二项式分布其中其中 。rn-ra-rN-a第四章第四章特殊的概率密度函数特殊的概率密度函数4.2 多项式分布多项式分布（Multinomial distribution)4.2 多项式分布多项式分布（Multinomial distribution)一、定义一、定义设设可可能能的的实实验验结结果果可可分分成成k组组：A1、A、A k，每每次次实实验验结结果落入某一组果落入某一组Ai的几率为的几率为pi如如果果共共进进行行了了n次次独独立立的的实实验验，实实验验结结果果

9、落落入入各各个个组组的的次次数数为为r1、r、rk的概率为的概率为()二、性质二、性质多项式分布是二项式分布的推广，除具有二项式分布的一些特性外，还具有多项式分布是二项式分布的推广，除具有二项式分布的一些特性外，还具有以下的附加性质：以下的附加性质：4.2 多项式分布多项式分布（Multinomial distribution)1）ri的期望值：的期望值：E(ri)=Npi2）ri的方差：的方差：v(ri)=npi(1-pi)3）ri和和rj的协方差：的协方差：cov(ri,rj)=-npipj 相关系数：相关系数：即：即：ri和和rj总是负相关总是负相关 一维直方图中，当一维直方图中，当bi

10、n宽度足够小时（宽度足够小时（pi0），ri和和rj相关度很小。相关度很小。4）当）当n很大时，多项式分布趋向于多维正态分布很大时，多项式分布趋向于多维正态分布三、应用：三、应用：用于处理一次实验有多个可能的结果的情况用于处理一次实验有多个可能的结果的情况4.2 多项式分布多项式分布（Multinomial distribution)例：设有例：设有n n个事例，分布于直方图的个事例，分布于直方图的k k个个binbin中，某事例落入中，某事例落入bin ibin i的概率为的概率为p pi i，落入，落入bin ibin i的事例数为的事例数为r ri i，则，则k k个个binbin中事例

11、数分别为中事例数分别为r r1 1、r r、r rk k的概的概率为多项式分布率为多项式分布ri的期望值和方差：的期望值和方差：E(ri)=npi v(ri)=npi(1-pi)如果如果pi 1，即，即bin的数目的数目k很大，则有很大，则有v(ri)npi=ri带误差棒的一维直方图带误差棒的一维直方图 rxi第四章第四章特殊的概率密度函数特殊的概率密度函数4.3 泊松分布泊松分布（Possion distribution)4.3 泊松分布泊松分布（Possion distribution)一、定义一、定义泊松分布是二项式分布的极限形式：泊松分布是二项式分布的极限形式：p p0 0，n n,但

12、但np=np=有限值有限值.根据根据StirlingStirling公式，当公式，当n n很大时很大时4.3 泊松分布泊松分布（Possion distribution)二、性质二、性质期望值：期望值：E()=方差：方差：V()=三、应用：三、应用：泊松分布给出在事例率为常数的情况下，在某一给定时间间隔内得到泊松分布给出在事例率为常数的情况下，在某一给定时间间隔内得到r个独立事例的概率。个独立事例的概率。例例1.气泡室中的气泡沿着带电粒子径迹的分布气泡室中的气泡沿着带电粒子径迹的分布设单位径迹长的上气泡的平均数目为常数设单位径迹长的上气泡的平均数目为常数g，假定，假定1.在长度间隔在长度间隔

13、l,l+l 上最多只有一个气泡；上最多只有一个气泡；2.在在l,l+l 这个间隔中找到一个气泡的概率正比于这个间隔中找到一个气泡的概率正比于 l；3.在两个不重迭的间隔中产生气泡的事件是互不相关的；在两个不重迭的间隔中产生气泡的事件是互不相关的；具有上述特点的随机过程就称为泊松过程。具有上述特点的随机过程就称为泊松过程。4.3 泊松分布泊松分布（Possion distribution)由假设由假设1和和2，在，在 l,l+l 中中有一个气泡的概率：有一个气泡的概率：p1(l)=g l没有气泡的概率：没有气泡的概率：p0(l)=1-p1(l)=1-g l根据假设根据假设3在在l,l+l长度上没

14、有气泡的概率在长度上没有气泡的概率在l长度上没有气泡的概率长度上没有气泡的概率 在在 l长长度上没有气泡的概率度上没有气泡的概率p0(l+l)=p0(l)p0(l)独立性独立性平均值平均值=gl的泊松分布的泊松分布取边界条件取边界条件p p0 0(0)=1,(0)=1,4.3 泊松分布泊松分布（Possion distribution)求在长度求在长度l l上观测到上观测到r r个气泡的概率个气泡的概率p pr r(l l)：根据假定，在间隔根据假定，在间隔l,l+l内最多只能有一个气泡内最多只能有一个气泡r个气泡都在个气泡都在l内内r-1个气泡在个气泡在l内，内，1个在个在 l对对r=0r=

15、0（在（在0,0,l 中不产生气泡），概率是中不产生气泡），概率是4.3 泊松分布泊松分布（Possion distribution)服服从从泊泊松松分分布布的的变变量量的的加加法法定定理理：几几个个独独立立的的泊泊松松分分布布变变量量的的和和还还是是泊泊松分布变量。松分布变量。例例2 放射源和本底辐射的叠加放射源和本底辐射的叠加从放射源中辐射出的粒子的数目服从泊松分布。从放射源中辐射出的粒子的数目服从泊松分布。x：单位时间内从放射源中辐射出的平均粒子数：单位时间内从放射源中辐射出的平均粒子数 x：时间间隔：时间间隔t辐射出的粒子数目辐射出的粒子数目如果将放射源放入一容器中，容器中的本底辐射服

16、从如果将放射源放入一容器中，容器中的本底辐射服从=b的的泊松分布泊松分布可测量量是来自放射源和本底的总粒子数，其分布为可测量量是来自放射源和本底的总粒子数，其分布为=p 的泊松分布的泊松分布4.3 泊松分布泊松分布（Possion distribution)例例3 计数器的计数分布计数器的计数分布设计数器的计数效率为设计数器的计数效率为pt 的概率为的概率为第四章第四章特殊的概率密度函数特殊的概率密度函数4.7 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）(Normal or Gaussian distribution)4.7 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）（Normal or Gaus

17、sian distributionNormal or Gaussian distribution)概率密度函数：概率密度函数：性质：性质：1、期望值、期望值:2、方差：、方差：3、累积分布：、累积分布：误差函数误差函数4.7 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distributionNormal or Gaussian distribution)标准正态分布：（标准正态分布：（标准正态分布：（标准正态分布：（Standard Normal DistributionStandard Normal Distribution）N(0,1)N(0,1)令令

18、 得标准正态概率密度函数得标准正态概率密度函数=0,=1的正态分布的正态分布累积标准正态分布函数：累积标准正态分布函数：G(y)G(y)的应用：的应用：的应用：的应用：1、设、设x是服从正态分布的随机变量，求是服从正态分布的随机变量，求x落于区间落于区间a,b内的概率内的概率 1 区间：区间：2 区间：区间：3 区间：区间：4.7 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distributionNormal or Gaussian distribution)规则规则4.7 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian d

19、istributionNormal or Gaussian distribution)2、已知概率值，求相对于平均值对称的区间、已知概率值，求相对于平均值对称的区间 查表可得出查表可得出 =0.9 a=1.645 =0.95 =1.960 =0.99 =20576 =0.999 =3.2904.7 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distributionNormal or Gaussian distribution)正态变量加法定理：正态变量加法定理：正态变量加法定理：正态变量加法定理：如果某一随机变量是一些正态变量的函数，该变量的分布形式是什么

20、？如果某一随机变量是一些正态变量的函数，该变量的分布形式是什么？如果是线性函数如果是线性函数 加法定理加法定理 设设x1,x2,xn是相互独立的正态变量是相互独立的正态变量则则 也是服从正态分布的变量，其平均值和方差分别为也是服从正态分布的变量，其平均值和方差分别为例：正态分布样本的样本平均值例：正态分布样本的样本平均值 和方差和方差 的特征。的特征。设设n个个独独立立的的随随机机变变量量都都服服从从正正态态分分布布，其其平平均均值值和和方方差差分分别别为为 和和 2。对于由这。对于由这n个量构成的正态样本个量构成的正态样本由正态变量的加法定理，样本平均值也是正态变量由正态变量的加法定理，样本

21、平均值也是正态变量的分布服从的分布服从 4.7 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distributionNormal or Gaussian distribution)可以证明：可以证明：1、服从自由度为服从自由度为n1的的 2分布；分布；2、是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量 定理：定理：如果独立的随机变量服从相同的正态分布，则统计量如果独立的随机变量服从相同的正态分布，则统计量 和和 是相互独立是相互独立的；的；反过来，如果随机样本的平均值和方差是相互独立的，则这一样本所代反过来，如果随机样本的平均值和方差是相互独立的，则这一样本所代表

22、的总体一定是正态分布。表的总体一定是正态分布。4.7 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distributionNormal or Gaussian distribution)和和中心极限定理（中心极限定理（中心极限定理（中心极限定理（Central Limit TheormCentral Limit Theorm）设设x1，x2，xn是是一一组组n个个独独立立的的随随机机变变量量，xi的的平平均均值值和和方方差差分分别别为为i和和 i，则当，则当n时，变量时，变量服从标准正态分布服从标准正态分布N(0,1)例：高斯型随机变量产生器例：高斯型随机变

23、量产生器设设x 是在是在0，1之间均匀分布的随机数之间均匀分布的随机数对对n个个x的取值的取值xi（i=1,2,.n）定义随机变量）定义随机变量在在n时，服从正态分布，在实际应用时，可取时，服从正态分布，在实际应用时，可取n=12 4.7 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distributionNormal or Gaussian distribution)第四章第四章特殊的概率密度函数特殊的概率密度函数4.8 2分布分布(2 distribution)4.8 4.8 2 2分布分布分布分布(2 2 distribution)distributi

24、on)定义：定义：设设x1,x2,xn，是一组，是一组n个相互独立的服从正态分布个相互独立的服从正态分布N(,2)的随机变的随机变量。这量。这n个个xi构成容量为构成容量为n的正态样本，所代表的正态总体的平均值和方的正态样本，所代表的正态总体的平均值和方差分别为差分别为和和 2，定义，定义 变量变量 2的概率密度函数为的概率密度函数为自由度为自由度为n的的 2分布分布 4.8 4.8 2 2分布分布分布分布(2 2 distribution)distribution)性质性质:1、期望值：、期望值：E(2)=n2、方差：、方差：V(2)=2n 3、2分布的概率值分布的概率值4.9 4.9 几种分布的关系几种分布的关系几种分布的关系几种分布的关系超几何分布超几何分布泊松分布泊松分布二项式分布二项式分布伽马分布伽马分布高斯分布高斯分布 2分布分布指数分布指数分布