最新常系数非齐次线性微分方程62981PPT课件.ppt

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1、常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程62981二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解求特解 的方法的方法 待定系数法待定系数法11/17/202211/17/20222第七章第七章 微分方程微分方程 第二步第二步 求如下两方程的特解求如下两方程的特解 是特征方程的是特征方程的k重根重根(k=0,1),=0,1),故故等式两边取共轭等式两边取共轭:为方程为方程 的特解的特解.设设则则 有有特解特解:11/17/202211/17/20229第七章第七章 微分

2、方程微分方程第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的结果利用第二步的结果,根据叠加原理根据叠加原理,原方程有特解原方程有特解 :原方程原方程均为均为 m 次多项式次多项式 .11/17/202211/17/202210第七章第七章 微分方程微分方程第四步第四步 分析分析因因均为均为 m m 次实多项式次实多项式.本质上为实函数，因此本质上为实函数，因此,11/17/202211/17/202211第七章第七章 微分方程微分方程对非齐次方程对非齐次方程则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根(k=0,1),=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形

3、上述结论也可推广到高阶方程的情形.11/17/202211/17/202212第七章第七章 微分方程微分方程例例3 3 的一个特解的一个特解.解解 本题本题 特征方程特征方程故设特解为故设特解为不是特征方程的根不是特征方程的根,代入方程得代入方程得比较系数比较系数,得得于是求得一个特解于是求得一个特解11/17/202211/17/202213第七章第七章 微分方程微分方程例例4 4 的通解的通解.解解 特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为比较系数比较系数,得得因此特解为因此特解为代入方程代入方程:通解为通解为为特征方程的单根为特征方程的单根 ,因此设非齐次

4、方程特解为因此设非齐次方程特解为11/17/202211/17/202214第七章第七章 微分方程微分方程三、小结三、小结 为特征方程的为特征方程的k(k(0,1,2)0,1,2)重根重根,则设特解为则设特解为为特征方程的为特征方程的k(0,1)0,1)重根重根,则设特解为则设特解为11/17/202211/17/202215第七章第七章 微分方程微分方程思考与练习思考与练习时，可设特解为时，可设特解为 时可设特解为时可设特解为 1.1.填空填空 设设11/17/202211/17/202216第七章第七章 微分方程微分方程2.2.求微分方程求微分方程的通解的通解（其中（其中 为实数为实数).

5、).解解 特征方程特征方程特征根特征根:对应齐次方程通解对应齐次方程通解:时时,代入原方程得代入原方程得故原方程通解为故原方程通解为时时,代入原方程得代入原方程得故原方程通解为故原方程通解为11/17/202211/17/202217第七章第七章 微分方程微分方程3.3.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解有特解求微分方程的通解求微分方程的通解.解解 将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式比较系数得比较系数得故原方程为故原方程为对应齐次方程通解对应齐次方程通解:原方程通解为原方程通解为11/17/202211/17/202218第七章第七章 微分方程微分方程作业作业 P347P3471.(1)(3)(5)1.(1)(3)(5)；2.(1)(2)(3).2.(1)(2)(3).11/17/202211/17/202219第七章第七章 微分方程微分方程