最新弹性力学-10PPT课件.ppt

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1、弹性力学弹性力学-10-1010-1 10-1 扭转问题中应力和位移扭转问题中应力和位移10-2 10-2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟10-3 10-3 椭圆截面的扭转椭圆截面的扭转10-4 10-4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转10-5 10-5 薄壁杆的扭转薄壁杆的扭转10-6 10-6 扭转问题的差分解扭转问题的差分解主主主主 要要要要 内内内内 容容容容 （10-2）又由式（又由式（10-2），应力函数），应力函数 差一常数不影响差一常数不影响应力分量的大小，应力分量的大小，表明：表明：在杆件的侧面上（横截在杆件的侧面上（横截面的边界上），应力函数面的边界上），应力函数

2、应应取常数。取常数。（10-4）扭转问题的定解条件之一。扭转问题的定解条件之一。对于对于多连体（空心杆）多连体（空心杆）问题，问题，在每一边在每一边界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此，界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此，只能将其中的一个边界上取只能将其中的一个边界上取 s=0，而其余边界，而其余边界上则取不同的常数，如：上则取不同的常数，如：于是对于是对单连体（实心杆）单连体（实心杆）可取：可取：Ci 的值由的值由位移单位移单值条件值条件确定。确定。（2）上端面：）上端面：（8-5）00000000由圣维南原理转化为：由圣维南原理转化为：（c）（d）（e）（c）（d）（e）对式（对

3、式（c），应有），应有同理，对式（同理，对式（d），应有），应有对式（对式（e）：）：分部积分，得：分部积分，得：同理，得：同理，得：将其代入式（将其代入式（e）：）：得到：得到：（10-5）结论：结论：等直杆的扭转问题归结为解下列方程：等直杆的扭转问题归结为解下列方程：（10-3）泛定方程：泛定方程：定解条件：定解条件：（10-4）（10-5）应力分量：应力分量：（10-2）2.扭转的位移与变形扭转的位移与变形由物理方程，得：由物理方程，得：再几何方程方程代入，有再几何方程方程代入，有（f）积分前三式，有积分前三式，有代入后三式，有代入后三式，有又由：又由：得：得：从中求得：从中求得：代入代

4、入 f1、f2 和和 u、v 得：得：其中：其中：u0、v0、x、y、z 和和以前相同，代表刚体位移。以前相同，代表刚体位移。若不计刚体位移，只保留与若不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则有变形有关的位移，则有（10-6）将其极坐标表示：将其极坐标表示：由由将式（将式（10-6）代入，有：）代入，有：由此可见：由此可见：对每个横截面（对每个横截面（z=常数）常数）它在它在 x y 面上的投影形状不变，而只面上的投影形状不变，而只是转动一个角度是转动一个角度=Kz。K 单位长度杆件的扭转角单位长度杆件的扭转角。（10-6）将其代入：将其代入：有：有：将两式相减，得：将两式相减，得：（10-7

5、）（10-8）将其对照式（将其对照式（10-3）：）：（10-3）可见：可见：（10-9）实际问题中，实际问题中，K 可通过实验测得。可通过实验测得。T10-2 10-2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟1.薄膜比拟概念薄膜比拟概念比拟的概念：比拟的概念：如果两个物理现象，具有以下相似点：如果两个物理现象，具有以下相似点：（1）泛定方程；）泛定方程；（2）定解条件；）定解条件；则可舍去其物理量本身的物理意义，则可舍去其物理量本身的物理意义，互相求解确定。互相求解确定。扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟：由普朗特尔（由普朗特尔（Prandtl.,L.）提出）提出 薄膜在均匀压力下的薄膜在均

6、匀压力下的垂度垂度 z，与等截面直杆扭转问题中的，与等截面直杆扭转问题中的应力函数应力函数，在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。z因此，可用求薄膜垂度因此，可用求薄膜垂度 z 的方法来解等截面杆扭转问题。这种方法，的方法来解等截面杆扭转问题。这种方法，扭转问题的薄膜比拟方法扭转问题的薄膜比拟方法。为扭转问题提供了一种为扭转问题提供了一种实验方法实验方法2.薄膜比拟方法薄膜比拟方法zT 设一均匀薄膜，张在水平边界上，水设一均匀薄膜，张在水平边界上，水平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同的形状和大小，薄膜在微小

7、的均匀压力下，的形状和大小，薄膜在微小的均匀压力下，各点发生微小的各点发生微小的垂度垂度 z。有关薄膜假定：有关薄膜假定：不能受不能受弯矩弯矩、扭矩扭矩、剪力剪力作用，只能作用，只能受受张力张力 T （单位宽度的拉力）作用。（单位宽度的拉力）作用。2.薄膜比拟方法薄膜比拟方法方法说明：方法说明：取薄膜的一微小部分（取薄膜的一微小部分（abcd 矩形），其受力如图，矩形），其受力如图，ab 边上拉力：边上拉力：ab 边上拉力在边上拉力在 z 轴上投影：轴上投影：cd 边上拉力：边上拉力：cd 边上拉力在边上拉力在 z 轴上投影：轴上投影：ad 边上拉力：边上拉力：ab 边上拉力在边上拉力在 z

8、轴上投影：轴上投影：bc 边上拉力：边上拉力：bc 边上拉力在边上拉力在 z 轴上投影：轴上投影：zT在在 z 方向上外力：方向上外力：两边同除以两边同除以dxdy，整理得：，整理得：或：或：（10-10）边界条件：边界条件：（10-11）对于均布压力，有：对于均布压力，有：式（式（10-10）和（）和（10-11）变为：）变为：（a）zT（a）另一方面，扭转问题有：另一方面，扭转问题有：（10-8）（10-4）将式（将式（10-8）、（）、（10-4）改写为：）改写为：（b）比较式（比较式（a）、（）、（b）可见：）可见：当薄膜与扭杆横截面具有相同的当薄膜与扭杆横截面具有相同的边界时，变量：

9、边界时，变量：与与决定于同样的微分方程与边界条件，决定于同样的微分方程与边界条件，因而，两者应有相同的解答。并有：因而，两者应有相同的解答。并有：（c）zT3.扭矩扭矩M、截面上的剪应力与、截面上的剪应力与薄膜体积、斜率的关系薄膜体积、斜率的关系薄膜与边界平面间的体积为：薄膜与边界平面间的体积为：由式（由式（c）:（c）得到得到:代入上式，有代入上式，有:由式（由式（10-5）：）：得到：得到：（d）或或扭矩扭矩 M 与薄膜体积的关系与薄膜体积的关系截面剪应力与薄膜斜率的关系截面剪应力与薄膜斜率的关系zT 由由可得：可得：其中：其中：薄膜垂度薄膜垂度 z 沿沿 y方向的斜率。方向的斜率。（e）

10、（f）结论：结论：当薄膜受均布压力当薄膜受均布压力q 作用时，作用时，使得：使得：则得：则得：（1）（2）（3）zT结论：结论：当薄膜受均布压力当薄膜受均布压力q 作用时，作用时，使得：使得：则得：则得：（1）（2）（3）由于由于 x、y 轴方向是可以取在扭杆横截面上任意两互相垂直的方向，轴方向是可以取在扭杆横截面上任意两互相垂直的方向，因而可得到如下推论：因而可得到如下推论：（1）在扭杆横截面的某一点处，沿任一方向的剪应力，就等于该薄）在扭杆横截面的某一点处，沿任一方向的剪应力，就等于该薄膜在该点处沿垂直方向的斜率。膜在该点处沿垂直方向的斜率。（2）扭杆横截面的最大剪应力，等于该薄膜的最大斜

11、率。）扭杆横截面的最大剪应力，等于该薄膜的最大斜率。注：注：最大剪应力的最大剪应力的方向方向，与该薄膜的，与该薄膜的最大斜率的方向垂直最大斜率的方向垂直。10-3 10-3 椭圆截面的扭转椭圆截面的扭转xyOab1.问题的描述问题的描述椭圆截面直杆：椭圆截面直杆：长半轴为长半轴为a，短半轴为短半轴为b，受扭矩受扭矩M作用。作用。求：杆中的应力与位移。求：杆中的应力与位移。2.问题的求解问题的求解求应力函数求应力函数 根据：根据：（10-4）及椭圆截面方程：及椭圆截面方程：可假设：可假设：（a）（b）式中：式中：m为待定常数。将其代入方为待定常数。将其代入方程（程（10-3）：）：得到：得到：（

12、c）利用方程（利用方程（10-5）：）：xyOab（c）利用方程（利用方程（10-5）：）：（d）式中：式中：代入式（代入式（d）,有：有：可求得：可求得：（e）xyOab（e）（c）将其代入式（将其代入式（e）,得：得：（f）至此，至此，满足所有的条件：满足所有的条件：（10-4）（10-3）（10-5）求剪应力求剪应力（1）剪应力分量：）剪应力分量：（10-12）（2）合剪应力：）合剪应力：（10-13）求剪应力求剪应力（1）剪应力分量：）剪应力分量：（10-12）（2）合剪应力：）合剪应力：（10-13）（3）最大、最小剪应力：）最大、最小剪应力：对上式求极值，当对上式求极值，当xyOa

13、bABCD（10-14）当当 a=b 时，与材料力学时，与材料力学中圆截面结果相同。中圆截面结果相同。求杆的形变与位移求杆的形变与位移xyOabABCD由由得到：得到：（10-15）杆件单位长度的扭转角杆件单位长度的扭转角单位长度的扭转角单位长度的扭转角位移分量位移分量由由（10-6）（10-16）（10-7）可求得：可求得：由式（由式（10-7）和式（）和式（f）:（f）xyOabABCD比较两式，得：比较两式，得：对其分别积分，得：对其分别积分，得：式中：式中：w0 为常数，代表刚体位移。为常数，代表刚体位移。若不计刚体位移，则有：若不计刚体位移，则有：（10-17）表明：表明：扭杆的横截

14、面并不保持扭杆的横截面并不保持平面，而翘曲成曲面。平面，而翘曲成曲面。曲面的等高线在曲面的等高线在 xy 面面上的投影为双曲线，其渐近上的投影为双曲线，其渐近线为线为 x、y 轴。轴。仅当仅当 a=b 时（圆截面时（圆截面杆），才有杆），才有 w=0，横截面保，横截面保持平面。持平面。10-4 10-4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转yxOAa/2a/21.问题：问题：图示矩形截面杆：图示矩形截面杆：a、b、M（1）（2）两种情形：两种情形：a b；求：杆的应力与位移。求：杆的应力与位移。2.问题的求解问题的求解（1）a b 情形：情形：狭长矩形狭长矩形一般情形；一般情形；求应力函数求应力函

15、数 a b，由薄膜比拟可以推断，由薄膜比拟可以推断，应力函数应力函数 绝大部分截面几乎不随绝大部分截面几乎不随 x 变化，即不受短边约束的影响，对变化，即不受短边约束的影响，对应的薄膜几乎为一柱面。应的薄膜几乎为一柱面。可以近似地取：可以近似地取：而：而：变为：变为：对上式积分，有对上式积分，有利用边界条件：利用边界条件：yxOAa/2a/2可求得：可求得：（a）利用式（利用式（10-5）：）：积分求得：积分求得：（b）（c）求剪应力求剪应力（1）剪应力分量：）剪应力分量：（10-18）（2）最大剪应力：）最大剪应力：（10-19）yxOAa/2a/2杆件的变形杆件的变形单位长度扭转角：单位长

16、度扭转角：由式（由式（10-9）：）：（10-20）此时应力函数此时应力函数 可表示为：可表示为：（d）（2）任意情形（）任意情形（a/b=任意值）：）：求应力函数求应力函数 基本方程与边界条件：基本方程与边界条件：此时应力函数此时应力函数 为一般函数：为一般函数：求解思路：求解思路：对狭长矩形结果，进行修正。对狭长矩形结果，进行修正。将将 分解成两部分，即：分解成两部分，即：其中：其中：1为狭长矩形的应力函为狭长矩形的应力函数，即：数，即：（e）（f）（g）yxOAa/2a/2（g）调整函数调整函数F，使其满足边界条件：，使其满足边界条件：将式（将式（g）代入方程：）代入方程：得到：得到：因

17、为：因为：有：有：（h）表明：表明：F 应为一应为一调和函数调和函数。原问题转化为：原问题转化为：（i）由问题的对称性，由问题的对称性，F 应为应为 x、y 的偶函数。的偶函数。满足上述条件的函数只能是：满足上述条件的函数只能是：（j）yxOAa/2a/2将式（将式（j）代入式（）代入式（i）第二式，得：）第二式，得：原问题转化为：原问题转化为：（i）满足上述条件的函数只能是：满足上述条件的函数只能是：（j）将上式右边为将上式右边为级数，级数，并比较两边系数，有并比较两边系数，有yxOAa/2a/2代入函数代入函数F，有，有最后确定应力函数最后确定应力函数 为：为：（k）求最大剪应力：求最大剪

18、应力：yxOAa/2a/2 由薄膜比拟可以断定，最大剪应由薄膜比拟可以断定，最大剪应力发生在矩形横截面长边的中点（如力发生在矩形横截面长边的中点（如点点A：x=0,y=b/2）,其大小为：其大小为：（l）单位长度扭转角单位长度扭转角K：应用式（应用式（10-5）：）：（m）代入式（代入式（l）,得最大剪应力公式：得最大剪应力公式：yxOAa/2a/2（n）将上述两公式表示成：将上述两公式表示成：（10-21）（10-22）式中：式中：、1仅与仅与a/b 有关。有关。扭转问题解题小结：扭转问题解题小结：（1）求应力函数求应力函数 （10-3）（10-4）（10-5）由式（由式（10-4）及边界的

19、几）及边界的几何形状设定应力函数何形状设定应力函数 ，然，然后由式（后由式（10-3）、（）、（10-5）确定）确定待定常数。待定常数。对多连体截面杆：对多连体截面杆：（10-3）（10-4）（10-5）其中：其中：（1）Ai 为第为第 i 个内边个内边界所围的面积界所围的面积;（2）i 为为 第第 i 个个内边界的值内边界的值;（3）求变形与位移求变形与位移单位长度扭转角：单位长度扭转角：（10-9）位移分量：位移分量：（10-6）（10-7）（2）求应力分量和最大剪应力求应力分量和最大剪应力（10-2）合剪应力：合剪应力：例：例：图示空心圆截面杆件，外半径为图示空心圆截面杆件，外半径为a，

20、内半径为，内半径为b，试求其扭转剪应力及位移。试求其扭转剪应力及位移。解：解：求应力函数求应力函数 abxy 为使为使 在外边界上的值为在外边界上的值为零零，内边，内边界上的值为界上的值为常数常数，可取：，可取：（1）由端部边界条件式（由端部边界条件式（10-5）得：得：于是，得于是，得（2）abxy（3）求剪应力求剪应力（4）（5）求变形与位移求变形与位移单位长度扭转角：单位长度扭转角：abxy位移分量：位移分量：（10-6）（10-7）由：由：刚体位移刚体位移由于变形引起的轴向位移：由于变形引起的轴向位移：即即平面保持平面假设成立平面保持平面假设成立。10-5 10-5 薄壁杆的扭转薄壁杆

21、的扭转1.开口薄壁杆件扭转开口薄壁杆件扭转分类：分类：（1）开口薄壁杆件；开口薄壁杆件；（2）闭口薄壁杆件。闭口薄壁杆件。仅讨论其仅讨论其自由扭转自由扭转。假定：假定：（1）由于杆件壁厚）由于杆件壁厚 b 很薄，可近似视其为狭很薄，可近似视其为狭长矩形的组合；长矩形的组合；（2）曲的狭长矩形与同长度、宽度的直狭长）曲的狭长矩形与同长度、宽度的直狭长矩形差别不大。矩形差别不大。扭转剪应力与变形：扭转剪应力与变形：设设 ai、bi 分别为扭杆横截面的第分别为扭杆横截面的第 i 个狭长矩个狭长矩形的长度和宽度，形的长度和宽度，Mi 为为该矩形面积上承受的为为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩

22、的一部分），扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），i 代表代表该该 矩形长边中点附近的剪应力，矩形长边中点附近的剪应力，K代表该扭杆的代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有扭转剪应力与变形：扭转剪应力与变形：设设 ai、bi 分别为扭杆横截面的第分别为扭杆横截面的第 i 个狭长矩个狭长矩形的长度和宽度，形的长度和宽度，Mi 为为该矩形面积上承受的为为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），i 代表代表该该 矩形长边中点附近的剪应力，矩形长边中点附近的剪应力，K代表该扭杆的代表该扭杆的单位长度扭转角，则

23、狭长矩形的结果，有该单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有该 矩矩形长边形长边中点附近的剪应力中点附近的剪应力及及杆件的扭转角杆件的扭转角：（a）（b）由式（由式（b）得：）得：（c）整个横截面上的扭矩为：整个横截面上的扭矩为：（d）比较式（比较式（c）与式（）与式（d），有：），有：将上式代回式（将上式代回式（a）（）（b），有：），有：（10-23）（10-24）由于每个狭长矩形的扭转角相同，由于每个狭长矩形的扭转角相同，所以整个横截面的所以整个横截面的抗扭刚度抗扭刚度为：为：说明：说明：（1）式（式（10-23）给出的狭长矩形中点处的）给出的狭长矩形中点处的应力值精度较高；但两个狭长矩形的

24、连应力值精度较高；但两个狭长矩形的连接处误差较大，可能发生远大于中点处接处误差较大，可能发生远大于中点处的应力。的应力。应力集中。应力集中。（2）连接处应力随连接圆角的半径连接处应力随连接圆角的半径 而变化，图中给出而变化，图中给出胡斯胡斯（J.H.Huth）用差分法计算得到的结果。用差分法计算得到的结果。2.闭口薄壁杆件扭转闭口薄壁杆件扭转扭转剪应力：扭转剪应力：由薄膜比拟方法分析。由薄膜比拟方法分析。方法说明：方法说明：在薄壁杆横截面的外边界上张一薄在薄壁杆横截面的外边界上张一薄膜，使得薄膜在外边界上的垂度为零；膜，使得薄膜在外边界上的垂度为零；为使薄壁杆横截面的内边界上的垂为使薄壁杆横截

25、面的内边界上的垂度为常量，假想在薄膜上粘一无重不变度为常量，假想在薄膜上粘一无重不变形的平板，平板的大小、形状与横截面形的平板，平板的大小、形状与横截面的内边界相同；的内边界相同；由于杆壁的厚度由于杆壁的厚度 很小，很小，可以预料，可以预料，沿壁的厚度方向薄膜的斜率可视为常量，沿壁的厚度方向薄膜的斜率可视为常量，如图所示。如图所示。于是，杆壁厚度为于是，杆壁厚度为 处的剪应力大小处的剪应力大小（等于薄膜的斜率）为：（等于薄膜的斜率）为：（e）由杆横截面上的扭矩由杆横截面上的扭矩 M 与薄膜、杆与薄膜、杆横截面所围的体积间关系，有：横截面所围的体积间关系，有：（f）式中式中：A 为横截面内外界所

26、围为横截面内外界所围面积的平均值。面积的平均值。由此得：由此得：将其代入式（将其代入式（e），有：），有：（10-25）（10-25）显然，其最大值发生在壁厚最小处，即：显然，其最大值发生在壁厚最小处，即：扭转变形扭转变形 单位长度扭转角单位长度扭转角K考虑平板考虑平板CD的平衡：的平衡：在杆壁中线取一微小长度在杆壁中线取一微小长度ds，该微段，该微段薄膜对平板的拉力为：薄膜对平板的拉力为：Tds，它在，它在 z 轴方轴方向的投影：向的投影：平板所受的压力（平板所受的压力（z 轴方向）为：轴方向）为：由由 z 轴方向力的平衡，即轴方向力的平衡，即由式（由式（f）可得：）可得：而：而：由此可得：

27、由此可得：因而，可求得：因而，可求得：（10-26）对于均匀厚度的闭口薄壁杆，对于均匀厚度的闭口薄壁杆，为常为常驻量，上式即变为：驻量，上式即变为：（10-27）式中：式中：s为杆壁中线的全长。为杆壁中线的全长。说明：说明：（1）在截面的凹角处，局部的最大应力在截面的凹角处，局部的最大应力max可能发生远大于可能发生远大于 式（式（10-25）给出的应力值。）给出的应力值。（2）局部最大应力随凹角处的圆弧半径）局部最大应力随凹角处的圆弧半径 的的增大而减小。增大而减小。杆的抗扭刚度杆的抗扭刚度：小结：小结：（1）开口薄壁杆件：）开口薄壁杆件：（10-23）（10-24）剪应力：剪应力：单位长度

28、扭转角：单位长度扭转角：抗扭刚度：抗扭刚度：（2）闭口薄壁杆件：）闭口薄壁杆件：剪应力：剪应力：（10-25）单位长度扭转角：单位长度扭转角：（10-26）（10-27）抗扭刚度：抗扭刚度：对于均匀厚度的闭口薄壁杆：对于均匀厚度的闭口薄壁杆：对于均匀厚度的闭口薄壁杆：对于均匀厚度的闭口薄壁杆：例：例：如图所示，开口和闭口薄壁杆件，如图所示，开口和闭口薄壁杆件，两者的壁厚相同，试比较受扭时两者的壁厚相同，试比较受扭时的剪应与抗扭刚度。的剪应与抗扭刚度。解：解：（1）开口薄壁杆件）开口薄壁杆件剪应力：剪应力：由式（由式（10-23）：）：得：得：抗扭刚度：抗扭刚度：由式：由式：（2）闭口薄壁杆件）闭口薄壁杆件剪应力：剪应力：由式（由式（10-25）：）：由式（由式（10-25）：）：抗扭刚度：抗扭刚度：（3）两者比较：）两者比较：剪应力：剪应力：设：设：抗扭刚度：抗扭刚度：可见：可见：对于截面积大致相同的两种薄壁杆，开口剪应力是闭口的对于截面积大致相同的两种薄壁杆，开口剪应力是闭口的15倍；倍；闭口的抗扭刚度是开口的闭口的抗扭刚度是开口的75倍；倍；结论：开口薄壁杆件比闭口薄壁杆件的抗扭能力差。结论：开口薄壁杆件比闭口薄壁杆件的抗扭能力差。作业：作业：104作业：作业：101选做：选做：102结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！54