最新平面及其方程PPT课件.ppt

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1、平面及其方程平面及其方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程1.点法式方程点法式方程如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于法线向量的法线向量的特征特征垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量.设有法向量设有法向量任取平面上一点任取平面上一点 ，一平面一平面,称此向量为该平面的法线称此向量为该平面的法线向量向量(法向量法向量).平面及其方程平面及其方程及平面上的定点及平面上的定点定义定义2009.2.67-5-2北京工商大学平面的点法式方程平面的点法式方程 平面的平面的一般式方程一般式方程法向量法向量二、平面的一般方程二、平面的一般方程 任意一个形如上式任意一个形如上式的的x、y、z的

2、三元一次的三元一次方程都是平面方程方程都是平面方程.平面及其方程平面及其方程(4)2009.2.69北京工商大学平面一般方程的几种平面一般方程的几种特殊特殊特殊特殊情况情况平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于xOy 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论类似地可讨论类似地可讨论轴轴轴轴xOz面面 yOz面面(由柱面可知由柱面可知)平面的一般方程平面的一般方程平面及其方程平面及其方程2009.2.610北京工商大学例例 设平面过点设平面过点M0(-3,1,-2)及及x轴轴,求此平面方程求此平面方程.平面及其方程平面及其

3、方程用平面的点法式方程用平面的点法式方程.由点法式方程得平面方程由点法式方程得平面方程:求法向量求法向量解解 法一法一即即2009.2.67-5-11北京工商大学用用待定常数待定常数法法.即即 法二法二设平面方程是设平面方程是从而平面方程是从而平面方程是 即即从而平面方程是从而平面方程是得得平面及其方程平面及其方程点点(0,0,0)及及(1,0,0)在平面上在平面上,2009.2.612北京工商大学 易知平面上三点易知平面上三点 O(0,0,0),P(1,0,0),设设M(x,y,z)为平面上的任意一点为平面上的任意一点,可得其方程可得其方程 想一想想一想 还有别的方法吗还有别的方法吗?答答

4、有有!法三法三平面及其方程平面及其方程根据三向量根据三向量 OM,共面的充要条件共面的充要条件,有有 OM0,OP 即即 2009.2.613北京工商大学 求平面方程常用两种方法求平面方程常用两种方法:利用条件定出其中的待定的常数利用条件定出其中的待定的常数,此方此方法也称待定常数法法也称待定常数法.主要是利用条件用向量代数的方法找出主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量平面的一个法向量.(1)用平面的点法式方程用平面的点法式方程.(2)用平面的一般方程用平面的一般方程.平面及其方程平面及其方程2009.2.614北京工商大学定义定义(取锐角取锐角)两平面法向量的夹角称为两平面法向

5、量的夹角称为三、两平面的夹角三、两平面的夹角平面及其方程平面及其方程两平面的两平面的夹角夹角.根据向量夹角余弦公式有根据向量夹角余弦公式有两平面两平面夹角余弦公式夹角余弦公式取锐角取锐角2009.2.615北京工商大学两平面位置特征两平面位置特征 /两平面两平面垂直、平行的充要条件垂直、平行的充要条件平面及其方程平面及其方程2009.2.616北京工商大学例例 研究以下各组里两平面的位置关系研究以下各组里两平面的位置关系:解解两平面相交两平面相交,夹角夹角平面及其方程平面及其方程2009.2.67-5-17北京工商大学两平面平行两平面平行但不重合但不重合.两平面平行两平面平行两平面重合两平面重

6、合解解解解两平面平行两平面平行平面及其方程平面及其方程2009.2.618北京工商大学例例解解 所求方程的三点式为所求方程的三点式为三点的平面方程为三点的平面方程为设两平面的交角为设两平面的交角为则则平面及其方程平面及其方程2009.2.67-5-19北京工商大学例例设平面为设平面为所求平面方程为所求平面方程为解一解一平面及其方程平面及其方程 与平面与平面 垂直且过原点及点垂直且过原点及点 的平面方程为的平面方程为().),(CBA=2009.2.67-5-20北京工商大学平面及其方程平面及其方程 与平面与平面 垂直且过原点及点垂直且过原点及点 的平面方程为的平面方程为().解二解二平面的点法

7、式方程平面的点法式方程2009.2.621北京工商大学设所求平面为设所求平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得向量平行的充要条件向量平行的充要条件解解平面及其方程平面及其方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.而与三个坐标面而与三个坐标面例例 求平行于平面求平行于平面2009.2.67-5-22北京工商大学代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为平面及其方程平面及其方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.求平行于平面求平行于平面而与三个坐标面而与三个坐标面2009.2.623北京工商

8、大学例例 求过点求过点(1,1,1)且与平面且与平面 和平面和平面取法向量取法向量化简得化简得平面方程为平面方程为解解.平面及其方程平面及其方程都垂直的平面方程都垂直的平面方程.2009.2.67-5-24北京工商大学四、点到平面的距离四、点到平面的距离平面及其方程平面及其方程点到平面的垂直距离点到平面的垂直距离 设设P0(x0,y0,z0)是平面是平面:Ax+By+Cz+D=0外外一点一点,求求P0到平面到平面的距离的距离.并作向量并作向量即即由于由于P0到平面到平面的距离的距离2009.2.625北京工商大学平面及其方程平面及其方程的距离公式为的距离公式为 填空填空解解2009.2.626

9、北京工商大学解解例例求这平面方程求这平面方程.设所求平面为设所求平面为在平面在平面上任取一点上任取一点或或故所求平面为故所求平面为或或平面及其方程平面及其方程2009.2.627北京工商大学 1 .两平行平面两平行平面 与与 间距离为间距离为(),其其 的方程分别为的方程分别为:(A)1(B)(C)2(D)21A 选择题选择题提示提示平面及其方程平面及其方程2009.2.628北京工商大学 2.已知平面通过点已知平面通过点(k,k,0)与与(2k,2k,0),其中其中k0,且垂直于且垂直于xOy平面平面,则该平面的一般式方程则该平面的一般式方程Ax+By+Cz+D=0的系数必满足的系数必满足(

10、).a解答解答分别得分别得平面及其方程平面及其方程2009.2.629北京工商大学(熟记平面的几种特殊位置熟记平面的几种特殊位置两平面的夹角两平面的夹角点到平面的距离公式点到平面的距离公式平面的平面的点法式方程点法式方程(两平面垂直、平行的充要条件两平面垂直、平行的充要条件)四、小结四、小结平面及其方程平面及其方程(关键确定平面的法向量关键确定平面的法向量)平面的一般平面的一般方程方程的方程的方程)平面的平面的截距式方程截距式方程(研究几何图形研究几何图形)2009.2.630北京工商大学思考题思考题1平面及其方程平面及其方程如何确定平面的法向量如何确定平面的法向量?解答解答 确定平面的法向量

11、是建立平面方程的关键所确定平面的法向量是建立平面方程的关键所在在,平面法向量的确定要根据不同的条件采用不同方法平面法向量的确定要根据不同的条件采用不同方法(1)如果已知点如果已知点M0(x0,y0,z0)在平面在平面 上的垂足上的垂足为为M1(x1,y1,z1),则则(2)如果平面如果平面 与已知平面与已知平面平行平行,则则(3)如果平面如果平面 过三点过三点 A,B,C,则则2009.2.631北京工商大学思考题思考题2(是非题是非题)平面及其方程平面及其方程非非平面平面在在x、y、z 轴的截距轴的截距分别是分别是a、b、c.因为这是一因为这是一过原点的平面过原点的平面.2009.2.632北京工商大学作业作业习题习题7-5(3297-5(329页页)1.5.8.9.平面及其方程平面及其方程2009.2.633北京工商大学