图形学教案第四章曲线和曲面.ppt

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1、图形学教案第四章曲线和曲面 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第一节第一节 曲线和曲面表示的基础曲线和曲面表示的基础知识知识 曲线和曲面参数表示曲线和曲面参数表示（1 1）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换；）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换；（2 2）会出现斜率为无穷大的情况；）会出现斜率为无穷大的情况；（3 3）难以灵活地构造复杂的曲线、曲面）难以灵活地构造复杂的曲线、曲面（4 4）非参数的显示方程只能描述平面曲线，）非参数的显示方程只能描述平面

2、曲线，空间曲线必须定义为两张柱面的交线。空间曲线必须定义为两张柱面的交线。（5 5）假如我们使用非参数化函数，在某个）假如我们使用非参数化函数，在某个xoyxoy坐标系里一条曲线，一些坐标系里一条曲线，一些x x值对应多个值对应多个y y值，值，而一些而一些y y值对应多个值对应多个x x值。值。在在空空间间曲曲线线的的参参数数表表示示中中，曲曲线线上上每每一一点点的的坐坐标标均均要要表表示示成成某某个个参参数数t t的的一一个个函函数数式式，则则曲曲线线上上每每一一点点笛卡尔坐标参数式是：笛卡尔坐标参数式是：，把把三三个个方方程程合合写写到到一一起起，曲曲线线上上一点坐标的矢量表示是：一点坐

3、标的矢量表示是：关于参数关于参数t t的切矢量或导函数是：的切矢量或导函数是：曲曲面面写写为为参参数数方方程程形形式式为为:曲线或曲面的某一部分，可以曲线或曲面的某一部分，可以简单地用简单地用a at tb b界定它的范围界定它的范围 直线段直线段 端点坐标分别是端点坐标分别是 P P1 1 x x1 1,y y1 1,P,P2 2 x x2 2,y y2 2，直线段的参数表达式是：直线段的参数表达式是：P(P(t t)=)=P P1 1+(+(P P2 2-P P1 1)t t=(1-=(1-t t)P)P1 1+t tP P2 2 0 0t t11；参数表示相应的参数表示相应的x,yx,y

4、坐标分量是：坐标分量是：x x(t t)=)=x x1 1+(+(x x2 2-x x1 1)t t y y(t t)=)=y y1 1+(+(y y2 2-y y1 1)t t 0 0t t1 1 参数方程具有如下优点。参数方程具有如下优点。(1)(1)对对参参数数表表示示的的曲曲线线、曲曲面面可可对对其其参参数数方方程程直直接进行几何变换（如平移、比例、旋转）。接进行几何变换（如平移、比例、旋转）。(2)(2)便于处理斜率为无限大的问题。便于处理斜率为无限大的问题。(3)(3)有有更更大大的的自自由由度度来来控控制制曲曲线线、曲曲面面的的形形状状。具有很强的描述能力和丰富的表达能力。具有很

5、强的描述能力和丰富的表达能力。(4)(4)参参数数方方程程中中，代代数数、几几何何相相关关和和无无关关的的变变量量是是完完全全分分离离的的，而而且且对对变变量量个个数数不不限限，从从而而便便于于用用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。(5)(5)规格化的参数变量规格化的参数变量t t0,1,0,1,使其相应的使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。易于实现光顺连接。易于实现光顺连接。(6)(6)易于用矢量和矩阵

6、表示几何分量，计算处易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处理简便易行。理简便易行。曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事先给定的离散的点，称为是先给定的离散的点，称为是插值的曲线或曲面插值的曲线或曲面。另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只是用给定各离散点形成的控制多边形来控制形是用给定各离散点形成的控制多边形来控制形状，称为是状，称为是逼近的曲线或曲面逼近的曲线或曲面。基本概念基本概念插值插值 要求构造一条曲线顺序通过型值点，称要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（为对这些型值点进行插值（int

7、erpolationinterpolation）。）。逼近逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最佳构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近（近（approximationapproximation）。）。参数连续性参数连续性 一函数在某一点一函数在某一点x x0 0处具有相等的直到处具有相等的直到k k阶的左右阶的左右导数，称它在导数，称它在x x0 0处是处是k k次连续可微的，或称它在次连续可微的，或称它在x x0 0处是处是k k阶连续的，记作阶连续的，记作C Ck k。几何上。几何上C C0 0、C C1 1、

8、C C2 2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。续的。几何连续性几何连续性 两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处具有具有C Ck k连续性，则称它们在该点处具有连续性，则称它们在该点处具有k k阶几何阶几何连续性，记作连续性，记作G Gk k。零阶几何连续。零阶几何连续G G0 0与零阶参数与零阶参数连续连续C C0 0是一致的。一阶几何连续是一致的。一阶几何连续G G1 1指一阶导数指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续同

9、，大小不同。二阶几何连续G G2 2指两个曲线段指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。在交点处其一阶和二阶导数均成比例。光顺光顺 光顺（光顺（smoothnesssmoothness）是指曲线的拐点不能太多，）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：（该是：（1 1）具有二阶几何连续（）具有二阶几何连续（G G2 2）；（）；（2 2）不存在多余拐点和奇异点；（不存在多余拐点和奇异点；（3 3）曲率变化较小。）曲率变化较小。拉格朗日n阶多项式：令P0(x0,y0),Pn(xn,yn)表示n+1个数据点，t0,t1,t

10、2为任意数字，其拉格朗日n阶多项式如下：对任意j i,有Li(xi)=1且Lj(xj)=0拉格朗日插值：令P0(x0,y0),Pn(xn,yn)表示n+1个数据点，希望找出通过这些点的曲线。这里：Li(xi)是拉格朗日多项式，L(x)是插值各数据点的第n阶拉格朗日多项式第二节第二节 Hermite Hermite多项式多项式 已知函数已知函数f f(t t)在在k k+1+1个点个点 t ti i 处的函数值和处的函数值和导数值导数值 f f(j j)(t ti i)，i i=0,1,=0,1,k k，j j=0,1,=0,1,m mi i-1-1，要求确定一个，要求确定一个N=N=m m0

11、0+m m1 1+m mk k-1-1次的多项式次的多项式P(P(t t)，满足下面的插值，满足下面的插值条件：条件：考查考查k=k=1 1，m m0 0=m m1 1=2=2的情形。的情形。已已知知表表示示一一条条曲曲线线的的某某个个函函数数f f(t t)在在两两点点t t0 0，t t1 1的的函函数数值值f f(t t0 0),),f f(t t1 1)和和一一阶阶导导数数值值ff(t t0 0),),ff(t t1 1)，求求三三次次多多项式项式P(P(t t):):把把a a0 0，a a1 1，a a2 2和和a a3 3代入则有：代入则有：经经整整理理，所所求求多多项项式式P

12、P 0 0(t t)可以写出如下：可以写出如下：式中选取两个式中选取两个端点端点及其及其及其及其切切向量向量作为曲线构造条件作为曲线构造条件 混合函数混合函数如下：如下：设表示一条曲线的某个函数设表示一条曲线的某个函数f f(t t)在四点在四点t t0 0，t t1 1，t t2 2，t t3 3的函数值的函数值f f(t t0 0),),f f(t t1 1),),f f(t t2 2),),f f(t t3 3)，根据，根据LagrangeLagrange插插值法，则三次多项式值法，则三次多项式P(P(t t)可表示为：可表示为：选择四个不同的选择四个不同的点点作为构造曲线的条件作为构造

13、曲线的条件 混合函数混合函数如下：如下：经经验验证证可可知知：为为了了使使P P0 0(t t)的的定定义义区区间间t t0 0t tt t1 1变变为区间为区间00u u11，可以做如下变换，可以做如下变换解出解出 ，代入混合函数，代入混合函数式中，得：式中，得：将关于将关于u u的混合函数代入，所求的的混合函数代入，所求的三次多项式成为：三次多项式成为：令令得得 对对一一般般的的HermiteHermite插插值值问问题题，一一般般来来说说得得到到的的插插值值多多项项式式次次数数较较高高，应应用用起起来来不不方方便便。通通常常的的处处理理办办法法是是将将前前面面给给出出的的参参数数的的三三

14、次次多多项项式式逐逐段段光光滑滑地地连连接接，如如此此来来确确定定一一般般情情况况下下的的插值多项式。插值多项式。将将前前面面t t0 0和和t t1 1视视为为t ti i和和t ti i+1+1，设设给给定定f f(t ti i)，f f(t ti i+1+1)，ff(t ti i)，ff(t ti i+1+1)，则则 在在 区区 间间 t ti i，t ti i+1+1 的的HermiteHermite三次插值多项式三次插值多项式P Pi i(t t)是：是：为了完整地写出这个插值多项式，可以在为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间区间 t ti i，t ti i+1+1 中引入如下一

15、些基本函数：中引入如下一些基本函数：完整的插值多项式可写为完整的插值多项式可写为：上式区间上式区间t0，tn中有定义，且为分段中有定义，且为分段定义。在每个区间定义。在每个区间 ti，ti+1上，都恰有上，都恰有四项。满足插值条件四项。满足插值条件 每段曲线段曲线P Pi i(t t)只在只在 t ti i，t ti i+1+1 中有定义：中有定义：自变量的线性变换自变量的线性变换 用逆变换用逆变换 代入，将所代入，将所得关于得关于u u的多项式记为的多项式记为 ，得，得 其中其中 =设在平面上有两点设在平面上有两点P P0 0，P Pl l，它们的位置向量，它们的位置向量分别为分别为(1(1

16、，1)1)，(4(4，2)2)，在，在P P0 0的导数值即在该点的导数值即在该点的切线向量的切线向量P P0 0=(1=(1，1)1)，在，在P Pl l处处PP1 1=(1=(1，-1)-1)第三节第三节 Coons Coons曲面曲面 uwuw表示了曲面片的方程表示了曲面片的方程0 0w w，1 1w w，u u0 0，u u1 1表示四条边界曲线表示四条边界曲线u u0 0u u表示在边界线表示在边界线u u0 0上的点沿上的点沿u u向的一阶向的一阶偏导数向量，称边界线的偏导数向量，称边界线的切向量切向量u u0 0w w表示边界线表示边界线u u0 0上的点沿上的点沿w w向的一阶

17、偏向的一阶偏导数向量，称边界线的导数向量，称边界线的跨界切向量跨界切向量。uwuwuuuu ，uwuwuwuw，uwuwwwww分别表示曲面片分别表示曲面片uwuw关于关于u u和和w w的二阶偏导数向量，于是的二阶偏导数向量，于是u u0 0uuuu表示表示边界线边界线u u0 0上的上的二阶切向量二阶切向量，u u0 0wwww表示边表示边界线界线u u0 0上的二阶上的二阶跨界切向量跨界切向量。uwuwuwuw为曲面片为曲面片P P在点在点(u u,w w)处的处的扭扭曲向量曲向量。特别，用。特别，用0000，0101，1010，1111分别表示曲面片四个角点时，分别表示曲面片四个角点时

18、，0000uwuw，0101uwuw，1010uwuw，1111uwuw就分别表示在四就分别表示在四个角点的扭曲向量。个角点的扭曲向量。构造具有指定边界曲线的曲面片构造具有指定边界曲线的曲面片 CoonsCoons给给出出的的一一个个解解法法是是：寻寻找找两两个个混混合合函函数数f f0 0(t t)和和f f1 1(t t)，它它们们是是连连续续的的，并并且且满满足足f f0 0(0)=1(0)=1，f f0 0(1)=0(1)=0，f f1 1(0)=0(0)=0，f f1 1(1)=1(1)=1，且且f f0 0(t t)+)+f f1 1(t t)=1)=1，00t t11。利利用用这

19、这样样的的混混合合函函数数，通通过过四四条条边边界界构构造造曲曲面面片片，并并通通过过叠叠加加修修正正曲面片，产生满足用户需要的曲面。曲面片，产生满足用户需要的曲面。若给定四条边界曲线若给定四条边界曲线u u0 0，u u1 1，0 0w w，1 1w w，且，且00u u11，00w w11 在在u u向进行线性插值，得到直纹面为：向进行线性插值，得到直纹面为：在在w w向进行线性插值，得到向进行线性插值，得到直纹面为：直纹面为：若把这两张直纹面叠加可得若把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面到一张新曲面P Ps s(u u,w w)：P Ps s(u u,w w)上的任意一点，其位移矢量包含两

20、上的任意一点，其位移矢量包含两个部分，一部分是由于个部分，一部分是由于线性插值线性插值而产生的位而产生的位移，另一部分是由于移，另一部分是由于边界曲线边界曲线而产生的位移。而产生的位移。为消除为消除P Ps s(u u,w w)中由于线性插值而产生中由于线性插值而产生的位移，需要构造一个新的曲面的位移，需要构造一个新的曲面P P3 3(u u,w w)构造曲面构造曲面P P3 3(u u,w w)后，从后，从P Ps s(u u,w w)中去除中去除P P3 3(u u,w w)，即去除线性插值的，即去除线性插值的成分，则得到成分，则得到CoonsCoons构造曲面构造曲面 P(P(u u,w

21、 w)=)=P Ps s(u u,w w)-P)-P3 3(u u,w w)=P =P1 1(u u,w w)+)+P P2 2(u u,w w)-P)-P3 3(u u,w w)可写成如下形式：可写成如下形式：其中矩阵其中矩阵M M是：是：矩矩阵阵中中四四个个元元素素是是四四个个角角点点的的位位置置向向量量，可用已知四条边界曲线计算求出。可用已知四条边界曲线计算求出。u u0 0，u u1 1可以是关于可以是关于u u的三次多项式，的三次多项式，0 0w w，1 1w w可以是关于可以是关于w w的三次多项式，混合函数也的三次多项式，混合函数也是不超过三次的关于是不超过三次的关于u u或或w

22、 w的三次多项式，的三次多项式，这时公式关于这时公式关于u u看，或关于看，或关于w w看，都是三次看，都是三次多项式，是关于多项式，是关于u u或或w w的双三次多项式的双三次多项式 不难验证它们符合所提问题的不难验证它们符合所提问题的要求，例如我们来验证要求，例如我们来验证0 0w w是它的是它的一条边界线，这只要把一条边界线，这只要把u u=0=0代入代入公式右端，得公式右端，得 曲面片以指定的曲线为其边曲面片以指定的曲线为其边界曲线，且有指定的跨界切向量界曲线，且有指定的跨界切向量。利用本章第二节定义的四个利用本章第二节定义的四个混合函数混合函数q q0000(t t),),q q01

23、01(t t),),q q1010(t t),),q q1111(t t)。这四个函数均。这四个函数均是三次多项式是三次多项式，连续可微，并连续可微，并且还满足下面的条件：且还满足下面的条件：设已经给定四条边界曲线设已经给定四条边界曲线u u0 0，u u1 1，0 0w w，1 1w w及沿这四条边界曲线的及沿这四条边界曲线的跨界切向量跨界切向量u u0 0w w，u u1 1w w，0 0w wu u，1 1w wu u。这时可以计算求得四个角点的这时可以计算求得四个角点的位置向量位置向量0000，0101，1010，1111，切向量，切向量0000w w，0101w w，1010w w，

24、1111w w，0000u u，0101u u，1010u u，1111u u，以及扭曲向量，以及扭曲向量0000uwuw，0101uwuw，1010uwuw，1111uwuw，可以写出符合要求，可以写出符合要求曲面片的数学表达式如下：曲面片的数学表达式如下：容易地验证所写出的公式满足要容易地验证所写出的公式满足要求，例如以求，例如以u u=0=0代入该式右端，得：代入该式右端，得：曲面片沿边界线取给定的各曲面片沿边界线取给定的各跨界切向量，可先对该式关于某跨界切向量，可先对该式关于某一变量求导，例如对一变量求导，例如对u u求导，然求导，然后再代入后再代入u u=0=0，这时有，这时有 指定

25、指定四个角点四个角点以及在这些以及在这些点上的点上的切向量和扭曲向量切向量和扭曲向量后，后，求解曲面的表达式求解曲面的表达式。已知角点位置向量已知角点位置向量0000，1010以及在这两点关于以及在这两点关于u u的切向量的切向量0000u u和和0101u u，可以用，可以用HermiteHermite插值插值公式来指定一条公式来指定一条u u边界线：边界线：将上两式代入前式，就可以得到：将上两式代入前式，就可以得到：给出四个角点以及在该角点上的切向量和扭给出四个角点以及在该角点上的切向量和扭曲向量来构造曲向量来构造CoonsCoons曲面表达式。设在平面上有曲面表达式。设在平面上有四点四点

26、P P0 0，P Pl l，P P2 2，P P3 3，它们的位置向量分别为，它们的位置向量分别为(0(0，0 0，0)0)，(0(0，0.750.75，0)0)，(0.75(0.75，0 0，0)0)，(0.75(0.75，0.750.75，0)0)。该四点的切向量、跨界切向。该四点的切向量、跨界切向量和扭曲向量，定义在关于角点的信息矩阵量和扭曲向量，定义在关于角点的信息矩阵M M中：中：第四节第四节 Bezier Bezier曲线和曲面曲线和曲面Bezier曲线曲线 给出型值点给出型值点P0，P1，Pn，它们所确，它们所确定的定的n次次Bezier曲线是：曲线是：涉及到的涉及到的0!0!及

27、及0 00 0，按约定均为，按约定均为1 1。在在n=1n=1时时,公式成为：公式成为：在在n=2n=2时，公式成为：时，公式成为：在在n=3n=3时，公式成为：时，公式成为：BezierBezier曲线的一些重要性质曲线的一些重要性质 P(0)=P0，P(1)=P1，曲线通过所给出型值点列的起点和终点。BezierBezier曲线的对称性曲线的对称性 曲线的凸包性曲线的凸包性 对给定的型值点对给定的型值点P P0 0，P P1 1，P Pn n点集点集 分段的三次分段的三次BezierBezier曲线光滑连接曲线光滑连接 设给出两个设给出两个BezierBezier多边形多边形P P0 0P

28、 P1 1P P2 2P P3 3和和Q Q0 0Q Ql lQ Q2 2Q Q3 3，显然，使所决定的两条，显然，使所决定的两条BezierBezier曲线在连接点处连续的条件是曲线在连接点处连续的条件是P P3 3=Q=Q0 0。BezierBezier曲线在连接点处曲线在连接点处G G1 1连续，即一阶导连续，即一阶导数数几何几何连续，就要求连续，就要求QQ0 0=a aPP3 3，这里，这里a a应该是一个正数。由前面的公式，知应该是一个正数。由前面的公式，知QQ0 0=3=3(Q(Q1 1QQ0 0)，PP3 3=3(P=3(P3 3PP2 2)，因此可知使在，因此可知使在连接点处连

29、接点处G G1 1连续的条件是：连续的条件是：由此得由此得 连接点处达到连接点处达到C C2 2连续，即二阶导数连续，即二阶导数参数参数连续连续的条件的条件 对前面的公式求两次导数，可得，对前面的公式求两次导数，可得，于是知，于是知，要要求求，即即 ，注意到Q Q0=P P3，由此得：绘制绘制BezierBezier曲线时，可以利用其定义曲线时，可以利用其定义式，对参数式，对参数t t选取足够多的值，计算曲线选取足够多的值，计算曲线上的一些点，然后用折线连接来近似画出上的一些点，然后用折线连接来近似画出实际的曲线。随着选取点增多，折线和曲实际的曲线。随着选取点增多，折线和曲线可以任意接近。线可

30、以任意接近。假设给定的四个型值点是假设给定的四个型值点是P P0 0=(1=(1，1)1)，P Pl l=(2=(2，3)3)，P P2 2=(4=(4，3)3)，P P3 3=(3=(3，1)1)，则，则计算结果见表计算结果见表 t(1-t)33t(1-t)23t2(1-t)t3P(t)01000(1,1)0.150.6140.3250.05740.0034(1.5058,1.765)0.350.2750.4440.2390.043(2.248,2.376)0.50.1250.3750.3750.125(2.75,2.5)0.650.0430.2390.4440.275(3.122,2.36

31、)0.850.00340.05740.3250.614(3.248,1.75)10001(3,1)绘制绘制BezierBezier曲线的方法曲线的方法几何作图法几何作图法分裂法分裂法记点记点P Pk k，P Pk+lk+l，P Pl l可以生成的可以生成的BezierBezier曲线为曲线为P Pk k,l l(t t)，00t t11，则，则成立下面的递推关系：成立下面的递推关系：证明上式，要用到组合等式：证明上式，要用到组合等式：void bez_to_points(int n,int npoints,double P,double points)/P为为控控制制点点坐坐标标 points

32、为为采采用用几何作图算法生成的几何作图算法生成的Bezier曲线上的离散点序列曲线上的离散点序列离散点序列离散点序列points的个数为的个数为npoints 控制点控制点P的个数为的个数为n+1 double t,delt;delt=1.0/(double)npoints;/将参数将参数t npoints等分等分t=0.0;for(int i=0;i=npoints;i+)pointsi=decas(n,P,t);/分分 别别 求求 出出npoints+1个离散点个离散点points的坐标的坐标t+=delt;double decas(int n,double P,double t)int

33、m,i;double*R,*Q,P0;R=new doublen+1;Q=new doublen+1;for(i=0;i0;m-)/n次次Bezier曲曲线线在在点点t的的值值，可可由由两两条条n-1次次Bezier曲线曲线/在点在点t的值通过线性组合而求得。的值通过线性组合而求得。Qi=R i+t*(R i+1-R i);for(i=0;i=m-1;i+)Ri=Q i;P0=R0;delete R;delete Q;return(P0);设给出四点的坐标是设给出四点的坐标是(1，1)，(2，3)，(4，3)，(3，1)，求所确定三次，求所确定三次Bezier曲线在曲线在t=1/3时时的值的值

34、P(1/3)，算法的计算过程，算法的计算过程 Bezier几何作图算法计算过程几何作图算法计算过程 设控制点序列设控制点序列P P0 0，P P1 1，P Pn n确定确定的的n n次次BezierBezier曲线是曲线是P(P(t t)，用如下递归，用如下递归方式计算另一组点集：方式计算另一组点集：如果令如果令P Pa a(s s)和和P Pb b(s s)分别是以控分别是以控制点序列制点序列 和和 确确定的定的BezierBezier曲线，其中曲线，其中00s s11，那，那么就有：么就有：己知四点己知四点P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3，确定了一，确定了一条三次条三

35、次BezierBezier曲线曲线P(P(t t)，可写出下式，可写出下式，分裂法中的递归计算分裂法中的递归计算 分裂法的示意图分裂法的示意图 可通过计算验证可通过计算验证BezierBezier曲线由前曲线由前后两段构成。现以后两段构成。现以P0的系数为例，的系数为例，验证两端它的系数是相等的。验证两端它的系数是相等的。左端显然就是左端显然就是 。先。先看右端。若看右端。若0t ，这时就用前半，这时就用前半段的表达式，观察分裂计算图注意段的表达式，观察分裂计算图注意到到 中有中有1份份P0，中有中有 份，份，中是中是 份，份，中是中是 份，因此份，因此全部全部P0的系数是：的系数是：右端对右

36、端对 t1，注意到仅，注意到仅 中有中有 份的份的P0，知，知P0的系数是：的系数是：设设己己知知三三次次BezierBezier曲曲线线P(P(t t)的的控控制制顶顶点点是是P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3，在在P(P()处处将将曲曲线线分分为为两两段段，求求出出前前半半段段的的控控制制顶顶点点Q Q0 0，Q Ql l，Q Q2 2，Q Q3 3和和后后半半段段的的控制顶点控制顶点R R0 0，R R1 1，R R2 2，R R3 3，。有算法如下，。有算法如下void split_Bezier(Point P)Point R4,Q4;int i,j;for(i=0

37、;i=3;i+)Ri=Pi;for(i=0;i=2;i+)Qi=R0;for(j=0;j0，可以取，可以取max(d(P1，P0P3)，d(P2，P0P3)为分裂停止的条件。为分裂停止的条件。void new_split_Bezier(Point P)Point R4,Q4;int i,j;const double epsilon=0.01;if(maxdistance(P)epsilon)/*maxdistance(P)为为求求max(d(P1,P0P3)，d(P2,P0P3)的的函函数数*/MoveTo(P0.x,P0.y);LineTo(P3.x,P3.y);elsefor(i=0;i=

38、3;i+)Ri=Pi;for(i=0;i=2;i+)Qi=R0;for(j=0;j22时时的的N Ni i,1,1(0.5)=0(0.5)=0，所所以以知知N N2,22,2(0.5)=(0.5)=N N3,23,2(0.5)=0(0.5)=0。这这样样代代入公式计算入公式计算P(0.5)P(0.5)，有：，有：再取再取u u其它一些值进行计算，结果如表所示。其它一些值进行计算，结果如表所示。u00.511.522.53N0,2(u)10.500000N1,2(u)00.510.5000N2,2(u)0000.510.50N3,2(u)000000.51P(u)P00.5(P0+P1)P10.

39、5(P1+P2)P20.5(P2+P3)P3 选取选取n n=3=3，k k=4=4，平面上四个控制顶点，平面上四个控制顶点P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3的坐标依次是的坐标依次是(1(1，1)1)，(2(2，3),(43),(4，3)3)，(3(3，1)1)，这时应取参数节点，这时应取参数节点n n+k k+1=8+1=8个，设选取节个，设选取节点向量为点向量为(0(0，0 0，0 0，0 0，1 1，1 1，1 1，1)1)，画出所确，画出所确定的定的4 4阶阶B B样条曲线。样条曲线。计算计算N N1,41,4(0.5)(0.5)，其中，其中0.50.500，1=1

40、=u u3 3，u u4 4 N N3,13,1(0.5)=1(0.5)=1，而对，而对i i33，N Ni i,1,1(0.5)=0(0.5)=0。用类似的过程可计算求出：用类似的过程可计算求出：曲线上对应参数曲线上对应参数u u=0.5=0.5的点是：的点是：可以证明更一般的结论，即，可以证明更一般的结论，即，n n+1+1个控制个控制点点P P0 0，P P1 1，P Pn n所确定的最高阶的所确定的最高阶的B B样条曲样条曲线是线是k k=n n+1+1阶的，这时由阶的，这时由节点向量节点向量(0(0，0 0，0 0，1 1，1 1，1)1)所确定的所确定的B B样条曲线，与样条曲线，

41、与该该n n+1+1个控制点所确定的个控制点所确定的BezierBezier曲线相同。曲线相同。在参数节点的众多选取方法中，最多使在参数节点的众多选取方法中，最多使用的是选择参数用的是选择参数u u的每一的每一区间为等长区间为等长的情况，的情况，这时所得到的这时所得到的B B样条函数称为是等距的，或样条函数称为是等距的，或均均匀匀的。以下我们转入讨论等距的的。以下我们转入讨论等距的B B样条曲线。样条曲线。考虑使用较多的情况，可假定考虑使用较多的情况，可假定u ui i=i i,i i=0=0，1 1，n n+k k，再引入再引入t tj j=u u-u ui i+j j，因为这可以使得，因为

42、这可以使得 u ui i+j ju uu ui i+j j+1+1与与00t tj j11是一致的。是一致的。递归式，经过计算，可以写出：递归式，经过计算，可以写出：如果固定在如果固定在u ui i+3+3u uu ui i+4+4区间，可以写出：区间，可以写出：上述结果对任意的上述结果对任意的i i成立，令成立，令i i=0=0，可写，可写出四个出四个B B样条函数：样条函数：由节点向量由节点向量(0,1,2,3,4)(0,1,2,3,4)所确所确定的均匀定的均匀B B样条基函数样条基函数N Ni i,4,4(u u)曲线曲线（i i=0,1,2,3=0,1,2,3）。图所示的）。图所示的B

43、 B样条基样条基函数函数N Ni i,4,4(u u)由四条三次多项式曲线由四条三次多项式曲线片拼接而成。当节点在区间片拼接而成。当节点在区间 u ui i,u ui i+k k 上上B B样条曲线基函数样条曲线基函数N Ni i,k k(u u)大于大于0 0，而在其它区间上则为，而在其它区间上则为0 0，并，并且且N Ni i,k k(u u)在节点（在节点（u ui i,u ui i+1+1,u ui i+k k）处是连续的）处是连续的 设设给给出出n n+1+1个个控控制制点点P P0 0，P P1 1，P Pn n，则则所所确确定定的的4 4阶阶3 3次次等等距距B B样样条曲线是：

44、条曲线是：曲线的性质曲线的性质 P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3确定的一段曲线的确定的一段曲线的起点的位置向量、切线向量及二阶导向量，起点的位置向量、切线向量及二阶导向量，事实上都事实上都只与只与PPi iP Pi i+1+1P Pi i+2+2有关有关，而终点处各，而终点处各量只与量只与PPi i+1+1P Pi i+2+2P Pi i+3+3，有关。如果考虑接下，有关。如果考虑接下去的一段曲线，即去的一段曲线，即P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3，P Pi i+4+4确定确定的一段，在其起点，上述各量就只与的一段，

45、在其起点，上述各量就只与P Pi i+1+1P Pi i+2+2P Pi i+3+3有关，并恰好是前一段曲线终点有关，并恰好是前一段曲线终点处的上述各量，自然是对应相等的。这就证处的上述各量，自然是对应相等的。这就证明了明了曲线在拚接处是连续的，一阶和二阶导曲线在拚接处是连续的，一阶和二阶导数也是连续的数也是连续的。因此知道。因此知道4 4阶阶3 3次等距次等距B B样条样条曲线：虽然曲线：虽然分段确定，但各段拚接处有直到分段确定，但各段拚接处有直到二阶导数的连续性，整条曲线是光滑的。二阶导数的连续性，整条曲线是光滑的。4 4阶阶3 3次等距次等距B B样条曲线具有凸包性，这通过样条曲线具有凸

46、包性，这通过验证验证00N Nj j,4,4(u u)1)1，00j j33及及 用用B B样条曲线可构造样条曲线可构造直线段直线段、尖尖点、切线点、切线等特殊情况。对于等特殊情况。对于4 4阶阶3 3次次B B样条曲线样条曲线P(P(u u)若要在其中得到一条若要在其中得到一条直线段，只要直线段，只要控制点控制点P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3四点位于一条直线上四点位于一条直线上，此时，此时P(P(u u)对应的对应的u ui i+3+3u uu ui i+4+4的曲线即为的曲线即为一段直线，且和一段直线，且和P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3所在的直线重合。为了使所在的直线重合。为了使P(P(u u)能过能过P Pi i点，只要点，只要P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2三点重合三点重合，此时此时P(P(u u)过过P Pi i点（尖点）。点（尖点）。B B样条曲面样条曲面 0 0u u11，00w w11，00k kKK，00l lLL每每一个曲面片一个曲面片Q Qklkl(u u，w w)由由1616个控制点确定。个控制点确定。思思 考考 题题P99页页1、15题题