《函数极限概念》PPT课件.ppt

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1、第三章 函数极限l l l函数极限概念 l l l l函数极限的性质及存在条件 l l l l两个重要极限 l l l l无穷小量与无穷大量 教学要求教学要求1 理解函数极限的理解函数极限的“-”，“-M”定义定义及单侧极限概念；及单侧极限概念；2 掌握函数极限的基本性质及两个重要极掌握函数极限的基本性质及两个重要极限；限；3 理解广义极限、无穷大量及无穷小量等理解广义极限、无穷大量及无穷小量等概念。概念。第三章第三章 函数极限函数极限第三章第三章 函数极限函数极限一 函数极限概念5101520253035404550550一、一、x趋趋于于 时时函数的极限函数的极限 设设函数函数f定定义义在

2、在)+,a上，上，类类似于数列情形，似于数列情形，研究当自研究当自变变量量x趋趋于于+时时，对应对应的函数的函数值值能否无限地接近于某个定数能否无限地接近于某个定数 A.例如例如,对对于函数于函数()xxf1=我们我们画出画出它它的的 图像图像当当x无限增大无限增大时时，函数，函数值值无无 限限地接近于地接近于0 0；051015202530354045505501而而对对于函数于函数()xxgarctan，则则当当x趋趋于于+时时函数函数值值 无限地接近于无限地接近于2p我我们们称称这这两个函数当两个函数当+x时时有极限有极限。一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限

3、一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数f(x)“无限接近无限接近”某数某数A?问题问题:函数函数)(xfy=在在+x的的过程中过程中,对应对应函数值函数值)(xf无限无限趋近于趋近于确定值确定值A.一般地一般地,当当x趋趋 于于+时时函数极限的精确定函数极限的精确定义义如下：如下：定定义义1 1 设设f定定义义 在在)+,a上的函数，上的函数，

4、A为为定数定数.若若对对任任给给的的0 e e,存在存在 数数()aM ,使得当使得当Mx 时时有有()e e e e,在坐在坐标标平面上平行于平面上平行于x 轴轴的两条直的两条直线线e e+=Ay与与e e-=Ay，围围成以直成以直线线Ay=为为 中心中心 线线、宽为宽为e e2 的的带带 形区域形区域;定定义义中的中的“当当Mx 时时有有()e e ”分分别别改改为为“Mx-”即可。即可。:情形情形+x:情形情形 x.)(,0,0e ee e$AxfMxM恒有恒有时时使当使当:情形情形-x.)(,0,0e ee e-$AxfMxM恒有恒有时时使当使当.)(,0,0e e$e e AxfMx

5、M恒有恒有时时使当使当定义定义 M-e e几何解释几何解释:xO证证证任给0e,由于 而此不等式的左半部分对任何x都成立,所以只要考察其右半部分x的变化范围。为此,先限制则有例例 证明证明证证故不妨设故不妨设|x|1，而当而当|x|1时时二、自变量趋于有限值时函数的极限先看一个例子先看一个例子 这个函数虽在这个函数虽在x=1处处无定义，但从它的图无定义，但从它的图形上可见，当点从形上可见，当点从1的的左侧或右侧无限地接左侧或右侧无限地接近于近于1时，时，f(x)的值无的值无限地接近于限地接近于4，我们称，我们称常数常数4为为f(x)当当x1 时时f(x)的极限。的极限。1xyo4注注 定义习惯

6、上称为极限的定义习惯上称为极限的定义其三个要素：定义其三个要素：10。正数。正数，20。正数。正数，30。不等式。不等式定义中定义中所以所以x x0时时，f(x)有无极限与有无极限与 f(x)在在x0处的状处的状态态并无关系，这是因为我们所关心的是并无关系，这是因为我们所关心的是f(x)在在x0附近附近的变化趋势的变化趋势,即即 x x0时时f(x)变化有无终极目标，变化有无终极目标，而不是而不是f(x)在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情况 。约定约定x x0但但 xx0 e0 0 当 0|xx0|有|f(x)A|0 0 当 0|xx0|有|f(x)A|0 0 当 0|xx0|有|f(x)

7、A|0 e 当0|x1|时 有 例 e 0 只要|x1|e 要使|f(x)A|0 0 当 0|xx0|有|f(x)A|0 0 当 0|xx0|有|f(x)A|0 0 当 0|xx0|有|f(x)A|0 0 当0|xx0|时 都有|f(x)A|cc|0e e0 0 当 0|xx0|有|f(x)A|0 0 当0|xx0|时 都有|f(x)A|e 分析|f(x)A|xx0|e 当0|xx0|时 有 e 因为e 0 证明 只要|xx0|e 要使|f(x)A|e e 0 例|f(x)A|xx0|e0 0 当 0|xx0|有|f(x)A|e e,则则当当()212e e-x时时，就有，就有 e e-21 x（6 6）于是取于是取 22e ed d=，则则当当d d-x10 即即 11 -xd d时时，（，（6 6）式成立。式成立。这这就推出就推出 01lim21=-xx。类类似地可得似地可得 ()01lim21=-+-xx。(1),自变量趋于有限值时函数的极限;作业 3.小结 (2),自变量趋于无穷大时函数的极限;(3),函数极限的几何意义;(4),单侧极限的概念;(5),应用函数极限的定义验证函数极限的方法;P47:1,(1)(3)(5)3,4,