微积分讲课提纲 微积分（I）浙江大学理学院讲课人：朱静芬E-mailjfzhu@zju.edu.cn.ppt

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1、微积分讲课提纲 微积分（I）浙江大学理学院讲课人：朱静芬E- Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第二节第二节 函数的微分函数的微分一一.微分的概念微分的概念二.二.微分的基本性质微分的基本性质 三三.近似计算与误差估计近似计算与误差估计一、微分的定义一、微分的定义引例引例.一块正方形金属薄片受温度的影响一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由其边长由变到变到问此薄片的问此薄片的面积改变了多少面积改变了多少?面积的改变量：面积的改变量：因此因此,微分微分

2、再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?定义定义(微分的实质微分的实质)由定义知由定义知:1)函数应具备什么条件函数应具备什么条件,其增量才可表示为其增量才可表示为的形式的形式?2)式中的式中的 A 究竟等于什么究竟等于什么?问题：问题：定理定理证证(1)必要必要性性可微与可导可微与可导的关系的关系(2)充分充分性性例例解解xy0PQTN函数函数在点在点处的微分处的微分,是曲线的切线上点的纵坐标相应的增量是曲线的切线上

3、点的纵坐标相应的增量.当当很小时很小时，比比小得多小得多，因此，在点因此，在点M的的邻近可用切线段近似代替曲线段邻近可用切线段近似代替曲线段.二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则与微分运算法则函数的微分的表达式函数的微分的表达式求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2.2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则例例解解四四.复合函数的微分法则复合函数的微分法则按微分的定义按微分的定义但但故故 定理定理 在点在点 x x0 0

4、 处可微处可微.证：证：当当u为为中中间间变变量量时时的的微微分分形形式式与与u为为自自变变量量时时的的微微分分的的形形式式相相同同，均为均为dy=f(u)du ,这种性质称为函数的这种性质称为函数的一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性 .例例.求求解解另解另解利用微分形式的不变性利用微分形式的不变性,令令再解再解例例.求求解解另解另解于是于是 xdy-ydx=xdx+ydy,.,.例例 设由设由 确定确定y为为x x的函数的函数,求求dy.解解 应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性,有有 五、参数式函数的导数五、参数式函数的导数例如例如消去参数消去

5、参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得例例解解 所求切线方程为所求切线方程为 星形线是一种圆内摆线星形线是一种圆内摆线例例解解例例解解再选定一个长度单位和角再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针度正方向（通常取逆时针方向）。方向）。这样就建立了一个极坐标系。这样就建立了一个极坐标系。XO建立了极坐标系的平面称为极坐标平面建立了极坐标系的平面称为极坐标平面引一条射线引一条射线OX，叫做极轴。叫做极轴。在平面内取一定点在平面内取一定点O，叫做极点。，叫做极点。六、极坐标方程确定函数的导数六、极坐标方程确

6、定函数的导数.极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系 对于平面内异于极点对于平面内异于极点O的任的任意一点意一点M，|OM|=叫做点叫做点M的的极径极径(向径向径)，以极轴，以极轴OX为始边、为始边、射线射线OM为终边的角为终边的角 叫做点叫做点M的极角，有序实数对的极角，有序实数对（，）就叫做点就叫做点M的极坐标。的极坐标。当当M在极点时，它的极径在极点时，它的极径=0，极角，极角 可以取任意值。可以取任意值。此时点此时点M的极坐标是的极坐标是（0，）XO M 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示。可

7、以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示。2.2.极坐标与直角的互化极坐标与直角的互化极坐标与直角的互化极坐标与直角的互化TOHMqqrqrqrqqrqqrqqrqqrqqrqqrqqrtan)()()(tan)(sin)(cos)(cos)(sin)()cos)()sin)(-+=-+=dxdy （1）（1）式表示在曲线 )(qrr=上的点),(qrM处切线 MT 与极轴 OX 轴的夹角的正切，如图所示。过点M的射线OH与切线MT的交角j的正切是 qaqaqajtantan1tantan)tan(tan+-=-=（2）将（1）代入（2）得 向径与切线夹角的正切)()(tanqrqrj=(3)七七

8、.近似计算与误差估计近似计算与误差估计例例解解.计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值2、计算函数的近似值、计算函数的近似值例例解解常用近似公式常用近似公式证明证明例例解解3、误差估计、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?办法办法:将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内.通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.例例解解