三角形内切圆教学文稿.ppt

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1、三角形内切圆 如图是一块三角形木料，木工师傅要如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？的圆的面积尽可能大呢？ABCABC三角形的外接圆在实际中很有用三角形的外接圆在实际中很有用,但还但还有用它不能解决的问题有用它不能解决的问题.如如CBADFEOr思考下列问题思考下列问题：1如图，若如图，若 O与与ABC的两边相切，那么圆心的两边相切，那么圆心O的的位置有什么特点？位置有什么特点？圆心圆心0在在ABC的平分线上。的平分线上。2如图如图2，如果，如果 O与与ABC的内角的内角ABC的两边的两边相切，且与内角相切

2、，且与内角ACB的两的两边也相切，那么此边也相切，那么此 O的圆心的圆心在什么位置？在什么位置？圆心圆心0在在BAC,ABC与与ACB的三个角的三个角的角平分线的交点上。的角平分线的交点上。OMABCNO图图2ABC探探究究：三三角角形形内内切切圆圆的的作作法法作法：作法：ABC1、作、作B、C的平分线的平分线BM和和CN，交点为，交点为I。I2过点过点I作作IDBC，垂足为，垂足为D。3以以I为圆心，为圆心，ID为为半径作半径作 I.I就是所求的圆。就是所求的圆。MND试一试试一试:你能画出一个三角形的内切圆吗你能画出一个三角形的内切圆吗?这样的圆可以作出几个这样的圆可以作出几个?为什么为什

3、么?.?.想一想想一想1 1n直线直线BEBE和和CFCF只有一个交点只有一个交点I,I,并且点并且点I I到到ABCABC三边的距离三边的距离相等相等(为什么为什么?),?),n因此和因此和ABCABC三边都相切的三边都相切的圆可以作出一个圆可以作出一个,并且只能作一个并且只能作一个.三角形与三角形与圆圆的位置关系的位置关系ABCIEF三角形与三角形与圆圆的位置关系的位置关系这圆叫做三角形的这圆叫做三角形的内切圆内切圆.这个这个三角形叫做圆的三角形叫做圆的外切三角形外切三角形.内切圆内切圆的圆心是三角形三的圆心是三角形三条角平分线的交点条角平分线的交点,叫做三叫做三角形的角形的内心内心.议一

4、议议一议3 3n老李提示老李提示:n多边形的边与多边形的边与圆圆的位置关系称为的位置关系称为切切.ABCI定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内内切圆切圆，内切圆的圆心叫做三角形的，内切圆的圆心叫做三角形的内心内心，这个三，这个三角形叫做圆的角形叫做圆的外切三角形外切三角形。1.1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；三角形的内心到三角形各边的距离相等；性质性质：CBADFEOr2.2.三角形的内心在三角形的角平分线上；三角形的内心在三角形的角平分线上；名称名称确定方法确定方法图形图形性质性质内内心心（三角形（三角形内切圆的内切圆的圆心）圆心）三三角

5、角形形三三边边中中垂垂线线的交点的交点三角形三条三角形三条角平分线的角平分线的交点交点(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在外心不一定在三角形的内部三角形的内部（1）到三边的）到三边的距离相等；距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三）内心在三角形内部角形内部 外外 心心(三角形三角形外接圆的外接圆的圆心圆心)定义：和多边形各边都相切的圆定义：和多边形各边都相切的圆叫做叫做，这个，这个多边形叫做多边形叫做。多边形的内切多边形的内切圆圆圆的外切多边形圆的外切多边形内切内切外切外切如上图，四边形如上图，四边形DEFG是是 O的的四边形，四边形，O是四

6、边形是四边形DEFG的的圆，圆，DEFG.O思考思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？(菱形，正方形一定有内切圆菱形，正方形一定有内切圆)1.如图如图1，ABC是是 O的的三角形。三角形。O是是ABC的的圆，圆，点点O叫叫ABC的的，它是三角形它是三角形的交点。的交点。外接外接内接内接外心外心三边中垂线三边中垂线2.如图如图2，DEF是是 I的的三角形，三角形，I是是DEF的的圆，圆，点点I是是DEF的的心，心，它是三角形它是三角形的交点。的交点。ABCO图图1IDEF图

7、2外切外切内切内切内内三条角平分线三条角平分线 3.三角形的内切圆能作三角形的内切圆能作_个个,圆的外切三角形有圆的外切三角形有_个个,三角形的内心在三角形的三角形的内心在三角形的_.1 1 1 1无数无数无数无数内部内部内部内部探讨探讨1 1：(1)任意一个三角形一定有一个外接圆任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆并且只有一个外接圆.(2)任意一个圆一定有一个内接三角形任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形并且只有一个内接三角形.(3)任意一个三角形一定有一个内切圆任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆并且只有一个内切圆.(4)任意一个圆一定有一个外

8、切三角形任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形并且只有一个外切三角形正确说法有正确说法有_(1)(3)1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；分线的交点；4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。例题赏析例题赏析4 4如图如图,在在ABCABC中中,A=68,A=68,点点I I是内心是内心,求求BICBIC的度数的度数问你：若点问你：若点I是外心呢？是外心呢？（2 2）若）若A=80

9、A=80，则，则BOC=BOC=度。度。（3 3）若）若BOC=100 BOC=100，则，则A=A=度。度。解解:13020（1）点点O是是ABC的内心，的内心，BOC=180(13)=180(2535)例例1如图，在如图，在ABC中，点中，点O是内心，是内心，（1）若）若ABC=50，ACB=70，求，求BOC的度数的度数ABCO=120)1(32)4(同理同理3=4=ACB=70=351=2=ABC=50=25例题赏析例题赏析1 1理由：理由：点点O是是ABC的内心，的内心，13=（ABC+ACB）1=ABC，3=ACB=180（90A）=（180A）=90+A=90A答：答：BOC=9

10、0+A（4）试探索：）试探索：A与与BOC之间存之间存在怎样的数量关系？请说明理由。在怎样的数量关系？请说明理由。ABCO)1(32)4(在在OBC中，中，BOC=180（13）例例2 ABCABC的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆 O O与与与与BCBC、CACA、ABAB分别相切于分别相切于分别相切于分别相切于点点点点D D、E E、F F，且，且，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求求求求AFAF、BDBD、CECE的长的长的长的长.解解:设设设设AF=x(cm),BD=y(cm),CEAF=x(cm),BD=y(cm),CEz(c

11、m)z(cm)AF=4(cm),BD=5(cm),AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).CE=9(cm).O O与与与与ABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切AFAFAE,BDAE,BDBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xy y9 9y yz z1414x xz z1313解得解得解得解得x x4 4y y5 5z z9 9已知：在已知：在ABCABC中，中，BC=14BC=14，AC=9AC=9，AB=13AB=13，它的，它的内切圆分别和内切圆分别和BCBC、ACAC、ABAB切于点切于点D D、E E、F F，求，求AFAF、BDBD和

12、和CECE的长的长。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x(13-x)+(9-x)=14解得解得x=4AF=4，BD=9，CE=5 1.ABCABC的的内内切切圆圆O O与与AB、BC、AC分分别别相相切切于于点点D、E、F，且且AB5厘厘米米，BC 9厘厘 米米，AC 6厘厘 米米，则则AD=_,BE=_,CF=_.1厘米厘米4厘米厘米5厘米厘米BDEFOCA如图，如图，ABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r,ABC的周长为的周长为l,求求ABC的面积的面积S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODA

13、B，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOCSAOCABODBCOEACOFlr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算ABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb,ABc,O为为RtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CE

14、CDCD则有则有则有则有x xr rb by yr ra ax xy yc c解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r rabc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径r或或rabc2ababcABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4,O为为RtABC的内切圆的内切圆.（1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径.（2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的

15、边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr r4 4y yr r3 3x xy y5 5解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r r1 1在在在在RtRtABCABC中，中，中，中，BCBC3,AC3,AC4,4,

16、ABAB5 5由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形ODCEODCE为正方形，为正方形，为正方形，为正方形，CDCDCECEODODRtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。（2）如图所示，设与）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与相切的最大圆与BC、AC的切点分别为的切点分别为B、D,连结连结OB、OD,则四边形则四边形BODC为正方形。为正方形。ABODCOBBC3半径半径r的取值范围为的取值范围为0r3几何问题代数化是几何问题代数化是解决几何问题的一解决几何问题的一种重要方法。种重要方法。比一比看谁做得快.ABC直角三角形的两直角边分直角三角形的两直角边分

17、别是别是5cm5cm，12cm.12cm.则其内切则其内切圆的半径为圆的半径为_。O2cm在ABC中，C=90，BC=3，AC=4.求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径.BAC解：如图：由勾股定理可得：O外接圆半径R=2.5由我们推导的三角形的面积公式可知：解得：解得：r=1r小结：小结：三角形的内切圆三角形的内切圆（1 1）三角形的内心是三角形内切圆的圆心）三角形的内心是三角形内切圆的圆心（2 2）三角形的内心是三角形各角平分线的交点）三角形的内心是三角形各角平分线的交点（3 3）三角形内心到三边的距离相等）三角形内心到三边的距离相等（4 4）三角形面积）三角形面积 （C C为三角形周长，为

18、三角形周长，r r为内切圆半径）为内切圆半径）(5)(5)直角三角形直角三角形 的内切圆的半径为的内切圆的半径为r r 与与 各边长各边长 a a、b b、c c的关系是的关系是2、菱菱形形ABCD中中，周周长长为为40，ABC=120，则则内内切切圆圆的半径为（的半径为（）（A）（B）（C）（D）3、如图，、如图，O是是ABC的内切圆，的内切圆，D、E、F是切点，是切点，A=50，C=60，则则DOE=（）（A）70 （B）110 （C）120 （D）130（A）梯形）梯形（B）菱形）菱形（C）矩形）矩形（D）平行四边形）平行四边形1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（、下列图形中，一定有

19、内切圆的四边形是（）BB4、等等边边三三角角形形的的内内切切圆圆半半径径、外外接接圆圆的的半半径径和和高高的的比比为为（）（A）1 （B）122（C）1 2 2（D）123235、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（）（A）矩形）矩形（B）菱形）菱形（C）正方形）正方形（D）平行四边形）平行四边形DCC CA AB BR Rr rO OD D6.已知：已知：ABC的内切圆分别和的内切圆分别和BC、AC、AB相切于点相切于点D、E、F，DIE=120,EIF=130.求求ABC的的三个内角的度数三个内角的度数.ABCIDEF7.如如图图，ABC中中，E是是内内心心，A的的平平分分线线和和ABC的的外接圆相交于点外接圆相交于点D.求证：求证：DEDB12345DE=AEDF.F此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢