《反常积分》PPT课件.ppt

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1、上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页一、一、反常定积分反常定积分二、反常二重积分二、反常二重积分三、小结三、小结 反常积分反常积分1上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页1.无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分 成的图形的面积成的图形的面积A 解解 由定积分定义可知，图形由定积分定义可知，图形面积等于阴影部分图形的面积面积等于阴影部分图形的面积 的极限，即的极限，即一、一、反常定积分反常定积分2上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页定义定义 设设若若存在存在,则称此极限为则称此极限为 f(x)的的无穷限反常积分无穷限反常积分,记作记作这时称反常积分这时称反常积分收敛收敛;如果上述极

2、限不如果上述极限不存在存在,就称反常积分就称反常积分发散发散.3上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页类似地类似地,若若则定义则定义则定义则定义(c 为任意取定的常数为任意取定的常数)只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在,就称就称发散发散.4上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页无穷限的反常积分也称为无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分.并非不定型并非不定型,说明说明:上述定义中若出现上述定义中若出现 它表明该反常积分发散它表明该反常积分发散.数，引入记号数，引入记号则有类似牛则有类似牛 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式:5上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页6上

3、一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解 解解 由定义，由定义，7上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页其中其中C为常数，而为常数，而所以，反常积分所以，反常积分 发散发散证证 当当 p=1 时有时有 8上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页当当 p 1 时有时有 因此因此,当当 p 1 时时,反常积分收敛反常积分收敛,其值其值为为当当 p1 时时,反常积分发散反常积分发散.9上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解 这是一个反常积分，由于这是一个反常积分，由于 用初等函数表示用初等函数表示 的原函数不能的原函数不能因此，利用一元函数反常积分因此，利用一元函数反常积分 无法计算现利用

4、二重积分来进行讨论无法计算现利用二重积分来进行讨论 设设 由于由于10上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页此时此时 设设 11上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页显然显然 由于由于 由节中例题由节中例题8的结果，有的结果，有12上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页令令 上式两端同趋于上式两端同趋于 准则，有准则，有由极限的夹逼由极限的夹逼13上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例5 某种传染病在流行期间人们被传染患病的速度某种传染病在流行期间人们被传染患病的速度可以近似地表示为可以近似地表示为 人人/天，天，t 为传染病开始流行的天数为传染病开始流行的天数.如果不加控制如果不

5、加控制,最终将会传染多少人？最终将会传染多少人？这里这里 r 的单位是的单位是解解 依题意，依题意，已知速度求总量，就是求已知速度求总量，就是求速度函数在区间速度函数在区间 上的积分上的积分 14上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页其中：其中：即：如果不加控制，最终将会传染到即：如果不加控制，最终将会传染到375000人人.15上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页2.无界函数的反常积分无界函数的反常积分y=0 所围成的图形的面积所围成的图形的面积A 解解 由定积分定义可知，图形由定积分定义可知，图形面积等于阴影部分图形的面积面积等于阴影部分图形的面积 的极限，即的极限，即16上一页上一

6、页下一页下一页返回首页返回首页记作记作 17上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页即即 18上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页记作记作19上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页无界函数的积分又称作无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一说明说明:例如例如,类间断点类间断点,而不是反常积分而不是反常积分.则本质上是常义积分则本质上是常义积分,20上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页计算无界函数的反常积分，也可借助于牛顿计算无界函数的反常积分，也可借助于牛顿-莱布莱布尼茨公式尼茨公式.设设 x=a

7、是是 f(x)的瑕点，在的瑕点，在(a,b上，上，则反常积分则反常积分21上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页类似地，有类似地，有其中，其中，x=a 是是 f(x)的瑕点，的瑕点，且在且在(a,b上，上，其中，其中，x=b 是是 f(x)的瑕点，的瑕点，且在且在a,b)上，上，22上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页所以是反常积分所以是反常积分 解解 23上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页所以是反常积分因此所以是反常积分因此 24上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例8 证明反常积分证明反常积分证证 当当 q=1 时时,当当 q 1 时收敛时收敛;q1 时发散时发散.当当

8、q1 时时所以所以:当当 q 1 时时,该广义积分收敛该广义积分收敛,其值为其值为当当 q 1 时时,该广义积分发散该广义积分发散.25上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例9 计算反常积分计算反常积分解解 由于由于故故x=a是瑕点，是瑕点，从而从而26上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例10 设设解解 求求是是f(x)的无穷间断点的无穷间断点,故故 I 为反常为反常积分积分.27上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页1无界区域上的反常积分无界区域上的反常积分二、反常二重积分二、反常二重积分28上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页的反常二重积分的反常二重积分收敛收敛，否则称

9、反常二重积分，否则称反常二重积分发散发散构造构造29上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页则则（2）30上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页构造构造则则31上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页则则32上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例11 计算反常二重积分计算反常二重积分其中其中部分部分.即即解解 设设 是以原点为圆心是以原点为圆心 R 为半径的圆在第一象限为半径的圆在第一象限 化为极坐标化为极坐标33上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页于是于是34上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页在第一象限所构成的无界区域在第一象限所构成的无界区域解解 区域为区域为 因此因此3

10、5上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页2无界函数的反常二重积分无界函数的反常二重积分 定义定义 36上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页如果如果 37上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页这个极限也称为这个极限也称为依然记作依然记作:如果如果 不存在，则称不存在，则称 38上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解 显然区域显然区域 取取 那么那么39上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页因此，当因此，当 m2 时，时，当当时，时，发散发散40上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 1.反常定积分反常定积分积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限说明说明 (1)有时通过换元有时通过换元,反常积分和常义积分可以反常积分和常义积分可以互相转化互相转化.(2)当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分分别讨论每一区间上的反常积分.2.反常二重积分反常二重积分(与反常定积分类似与反常定积分类似).三、小结三、小结41上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页作作 业业 42上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页思考题思考题 试证试证,并求其值并求其值.解解 令令43上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页44