实验一计算复变函数极限微分积分留数泰勒级数展开式.ppt

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1、实验一计算复变函数极限微分积分留数泰勒级数展开式 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1、MATLAB求复变函数极限求复变函数极限2、MATLAB求复变函数微分求复变函数微分3、MATLAB求复变函数积分求复变函数积分4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数求复变函数在孤立奇点的留数5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式求复变函数的泰勒级数展开式MATLAB实现内容实现内容1、MATLAB求复变函数极限求复变函数极限用函数用函数limit求复变函数

2、极限求复变函数极限【Matlab源程序】syms z f=;limit(f,z,z0)返回极限结果返回极限结果例例1求求在在z=0的极限的极限 解解syms z;f=z*exp(z)/(sin(z)limit(f,z,0)ans=1MATLAB基本命令基本命令.例例2 设设 求.解解【Matlab源程序】syms z f=sin(z)/z;limit(f,z,0)ans=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)2、MATLAB求复变函数微分

3、求复变函数微分用函数用函数diff求复变函数极限求复变函数极限【Matlab源程序】syms z f=（）;diff(f,z)返回微分结果返回微分结果例例3设设解解symszf=exp(z)/(1+z)*(sin(z);diff(f)ans=exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)2*cos(z)3、MATLAB求复变函数积分求复变函数积分(1)用函数用函数int求解非闭合路径的积分求解非闭合路径的积分.【Matlab源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b)返回积分结果返回积分结果例例 4 求积分解

4、解 syms z x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int(z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：结果为：x1=-1/3*ix1=-1/3*ix2=-i/exp(i)x2=-i/exp(i)(2)用函数用函数int求解闭合路径的积分求解闭合路径的积分.例例5 计算积分的的值值解解【Matlab源程序】源程序】symstzz=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i)10/(z-1)/(z-3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)结果为结果为inc=779/78125000*i*pi+237/312500000*pi若只输出

5、若只输出6位有效数值位有效数值，使用语句，使用语句vpa(inc,6)结果为结果为ans=.238258e-5+.313254e-4*i4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数求复变函数在孤立奇点的留数（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的都是按降幂排列的多项式多项式用函数用函数residue求求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数在孤立奇点的留数【Matlab源程序】源程序】R,P,K=residue(B,A)返回留数，极点返回留数，极点说明：向量说明：向量B为为f(z)的分子系数；的分子系数；向量向量A为为f(z)的分母系数；的分母系数；向量向量R

6、为留数；为留数；向量向量P为极点位置；为极点位置；向量向量k为直接项为直接项:解解 R,P,K=R,P,K=residueresidue(1,0,1,1,1)结果为：结果为：R=2R=2P=-1P=-1K=1 -1K=1 -1例例6 求函数在奇点处的留数在奇点处的留数例例7 计算积分的的值值，其中其中C C是正向是正向圆圆周周解解先求被积函数的留数 R,P,K=residue(1,0,1,0,0,0,-1)结果为：结果为：R=0.25000.2500-0.2500+0.0000i-0.2500-0.0000iP=-1.00001.00000.0000+1.0000i0.0000-1.0000i

7、K=可可见见在在圆圆周周内有四个极点内有四个极点,所以所以积积分分值值等于等于S=2*pi*i*sum(R)S=2*pi*i*sum(R)结果为结果为S=0S=0故原故原积积分分（2 2）如果已知函数奇点）如果已知函数奇点z0z0的重数的重数为为m,m,则则可用下面的可用下面的MATLABMATLAB语语句求出相句求出相应应的留数的留数R=limit(F*(z-z0),z,z0)%R=limit(F*(z-z0),z,z0)%单单奇点奇点R=limit(diff(F*(z-z0)m,z,m-1)R=limit(diff(F*(z-z0)m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,z0)%m/

8、prod(1:m-1);z,z0)%m重奇点重奇点例例8 求函数在孤立奇点处的留数在孤立奇点处的留数解解 分析原函数可知分析原函数可知：是三重奇点，是三重奇点，symszf=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z3*(z-1)R=limit(diff(f*z3,z,2)/prod(1:2),z,0)结果为：结果为：R=-1/4*3(1/2)+1/2;limit(f*(z-1),z,1)ans=1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3(1/2)MATLAB语句分别求出这两个奇点的留数语句分别求出这两个奇点的留数是单奇点，因此可以直接使是单奇点，因此

9、可以直接使 用下面的用下面的5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式求复变函数的泰勒级数展开式（1）用函数）用函数taylor求求f(z)泰勒级数展开式泰勒级数展开式【Matlab源程序】源程序】symszf=Taylor(f,z0)返回返回f(z)在点在点z0泰勒级数展开式泰勒级数展开式例例9求函数求函数f=1/(z-b)在点在点z=a泰勒级数展开式前泰勒级数展开式前4项项symszab;f=1/(z-b);taylor(f,z,a,4)ans=1/(a-b)-1/(a-b)2*(z-a)+1/(a-b)3*(z-a)2-1/(a-b)4*(z-a)3（2）求二元函数）求二元函数z=f(x

10、,y)在点（在点（x0,y0）的泰勒级数）的泰勒级数展开式展开式.【Matlab源程序】源程序】symsxy;f=();F=maple(mtaylor,f,x,y,m)返回在返回在(0,0)点处点处的泰勒级数展开式的前的泰勒级数展开式的前m项项.F=maple(mtaylor,f,x=x0,y=y0,m)返回在返回在(x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前点处的泰勒级数展开式的前m项项.F=maple(mtaylor,f,x=a,m)返回对单变量返回对单变量在在x=a处的泰勒级数展开式的前处的泰勒级数展开式的前m项项.例例10 求函数求函数在原点在原点(0(0，0)0)，以及（，以及（1 1，a

11、 a）点）点处处的的TaylorTaylor展式展式【Matlab源程序】源程序】symsxy;f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);maple(mtaylor,f,x,y,4)在在(0,0)点处的泰勒级数展开式：点处的泰勒级数展开式：ans=-2*x+x2+2*x3+2*y*x2+2*y2*x maple(mtaylor,f,x=a,2)在在x=a处泰勒级数展开式：处泰勒级数展开式：ans=(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(x-a)maple(mtaylor,f,x=1,y=a,2)在在(1,a)点处的泰勒级数展开式：点处的泰勒级数展开式：ans=-exp(-1-a-a2)-exp(-1-a-a2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a2)*(-2*a-1)*(y-a)课本上例题每一类型各选一题，写出实验报告课本上例题每一类型各选一题，写出实验报告作业：作业：P51:习题二，习题二，2.1，2.3P76:习题三，习题三，3.8（1），（），（2）。）。3.11（2）P91:例例4.8（前（前4项），例项），例4.9（前（前4项）。项）。P132:5.2P132:5.7（2），），5.8（2）。）。