数列极限和无穷大函数的极限连续函数无穷小.pptx

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1、1.数列的极限和无穷大量一、数列极限的定义二、数列极限的性质三、数列极限的运算四、单调有界数列五、无穷大量的定义六、无穷大量的性质和运算七、小结 思考题第1页/共84页“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽1 1、割圆求周、割圆求周播放播放 极限思想：三国时期，数学家刘徽应用极限方法订正、计算圆周率 圆周长 割圆术！第2页/共84页讨论圆内接正多边形与该圆周的关系已知圆内接正多边形的周长未知的圆周长（1）在任何有限的过程中，即对任何确定的n，皆为 的近似值；（2）在无限的过程中，即当n无限增大时，无限接近于常数 的精确值。是 当n无限增大时的极限第3页/共8

2、4页 圆面积亦如此。启示：已知与未知 有限与无限 近似与精确 直线与曲线第4页/共84页2 2、截丈问题、截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第5页/共84页一、数列极限的定义1.1.数列数列:是是按次序排列的一列无穷多个数 LL,21nxxx 数列是定义在自然数集N上的函数。即以N为定义域由小到大取值所对应的一列函数值。对 ，设 ，则 函数值：自变量：nx，表示为数列为第n项或通项。第6页/共84页例如：01摆动！无限增大!考虑数列第7页/共84页播放播放定性分析：当n无限增大时，无限趋近于1，数1即所谓 的“极限”。第8页/共84页定量分析：无限趋近于1是指：当 n 充分大时,能任意小

3、，并保持任意小。例如：即 自然数10，当n10时，有 第9页/共84页由不等式有 ，故只须 即可。以上还不能说明 任意小，并保持任意小，毕竟它们都还是确定的数。自然数 ，当 时，便有 定量定义：则称数1是 的极限。第10页/共84页若数列不存在极限,则称数列是发散的.如 是发散数列.第11页/共84页、数列极限的几何解释:第12页/共84页邻域法 可见：数列是否有极限，只与它从某一项以后有关，而与它前面的有限个项无关。因之，在讨论数列极限时，可添加、去掉或改变其有限个项的数值，对收敛性和极限都无影响。？第13页/共84页（2）N的存在性与非唯一性，且N仅与 有关而 与n无关。（1）正数 的任意

4、性和相对固定性。4、关于数列极限定义的几点理解（3）当 时，即以零为极限的数列称为无穷小量。无穷小量不是很小的量。无穷小量不是很小的量。第14页/共84页第15页/共84页例例1证证:方法1：直接解不等式 ，求N.数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：注意：(不妨设 )第16页/共84页例例2证：证：第17页/共84页小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.方法2：若 不易求解，可设法先把 适当地放大 ，再由 求解N.第18页/共84页证明：分三种情况证明.or此法一。第19页/共84页（法二）第20页/共84页第21页/共84页第22页/共84页第23页/

5、共84页第24页/共84页第25页/共84页第26页/共84页()bax()二、列极限的性质第27页/共84页第28页/共84页第29页/共84页Th2.（唯一性）收敛数列的极限是唯一的。第30页/共84页称“两边夹”法则第31页/共84页第32页/共84页第33页/共84页第34页/共84页Def:Def:第35页/共84页第36页/共84页 Th4.有极限的数列是有界的。第37页/共84页三、数列极限的运算第38页/共84页第39页/共84页第40页/共84页注1.两数列收敛仅是极限运算成立的充分条件，而非必要条件。例如：第41页/共84页注注2.极限运算可推广到有限多个数列的情形，但对无

6、极限运算可推广到有限多个数列的情形，但对无穷多个却不成立。穷多个却不成立。第42页/共84页第43页/共84页第44页/共84页第45页/共84页第46页/共84页四.单调有界数列DefDef:若等号都不成立，则称它是严格单调增加（或减少）的。Th（实数连续性）单调有界数列必有极限。第47页/共84页第48页/共84页第49页/共84页五.无穷大量的定义DefDef:第50页/共84页极限含义的差别。注).O-GGx第51页/共84页第52页/共84页第53页/共84页第54页/共84页六、无穷大量的性质和运算Th.第55页/共84页第56页/共84页第57页/共84页第58页/共84页第59页/共84页第60页/共84页七、小结数列数列:研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:保号性、唯一性、“两边夹法则”、有界性;数列极限的运算数列极限的运算:代数和、积与商;单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。无穷大量、定义、性质和运算无穷大量、定义、性质和运算第61页/共84页感谢您的观看！第84页/共84页