数学正弦定理新人教必修.pptx

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1、 在哈尔滨美丽的太阳岛上有一座横跨金水河上的桥太阳桥。她是亚洲第一座全钢结构独塔无背索斜拉桥。为了保证受力的合理，设计人员将钢塔设计成与桥面所成的角为60度，为了测量前倾的塔臂的长度，测量人员在上坞休闲度假区堤防处(C点)测得塔顶（A点）的仰角为82.8度，塔底（B点）距离点C为 114 米，这样能确定塔臂AB的长吗？ACBD第1页/共20页直角三角形中:ABCabc斜三角形中这一关系式是否仍成立呢?第2页/共20页如图在三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.求证：角度一：借助高相等bsinA=CD,asinB=CD,即 D D同理可证=逻辑推理、证明猜想=Ccsin第3页/共20页角

2、度二:借助三角形的面积相等：AD=csinB,=acsinB,同理 =absinC acsinA,所以=第4页/共20页ABC AB+BC=AC e(AB+BC)=e AC 分析分析差异差异函数名称式子结构余 正三 二设e与AB，BC，AC的夹角分别为，,j角度三：向量法第5页/共20页ABCABCjj第6页/共20页能不能进一步优化这个过程？向量 方向上的投影相等在=即、第7页/共20页ABCC1abcO如图:角度四第8页/共20页在一个三角形中在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等各边和它所对角的正弦的比相等,即即变式变式:第9页/共20页从理论上从理论上,正弦定理可解决两类问题正弦

3、定理可解决两类问题:两角和任意一边两角和任意一边,求其他两边和一角求其他两边和一角两边和其中一边对角两边和其中一边对角,求另一边的对角求另一边的对角,进而可求其他的边和角进而可求其他的边和角第10页/共20页例例1:1:已知在已知在 中中,求求 和和 n例例2:2:已知在已知在 中中,求求 和和点评点评:正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题和一角的问题.点评点评:正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求求其他边和角的问题其他边和角的问题.第11页/共20页第12页/共20页若若A A为锐角时

4、为锐角时:n若若A A为直角或钝角时为直角或钝角时:第13页/共20页判断满足下列的三角形的个数判断满足下列的三角形的个数:(1)b=11,a=20,B=30 (1)b=11,a=20,B=30o o (2)c=54,b=39,C=120 (2)c=54,b=39,C=120o o (3)b=26,c=15,C=30 (3)b=26,c=15,C=30o o (4)a=2,b=6,A=30 (4)a=2,b=6,A=30o o两解一解两解无解第14页/共20页小结与思考问题 通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？1.用向量证明了正弦定理,体现了数形结合的 数学思想2.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系.3.定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运 用分类讨论的思想.4.运用正弦定理求三角形的边和角.第15页/共20页第16页/共20页第17页/共20页思考题：在用向量法证明正弦定理时，我们选取了与三角形一边垂直的向量作为辅助向量，若取与一边平行的向量作辅助向量，又可得到什么结论呢？（余弦定理和射影定理）第18页/共20页C（a,0）yxA(ccosB,csinB)M(bcos(-C),bsin(-C)B角度四：根据三角函数的定义，借助A M两点的纵坐标相等 因为bsin(-C)=csinB，所以=第19页/共20页谢谢您的观看！第20页/共20页