教学课件4.1不定积分的概念与性质（新）.pptx

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1、第四章 山东理工职业学院 高等数学不 定 积 分第四章4.1 不定积分的概念和性质分析:(1)边际成本即成本函数的导数;(2)固定成本5000元即产量为零时的成本(引例)某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本是,且固定成本是5000元.求总成本C与月产量 的函数关系.工作中遇到这样的经济问题：?已知一个函数的导函数，如何求这个函数？第四章 乘法 1.原函数定义 微分法 逆运算 积分法 在微分学中,我们所研究的问题是寻求已知函数的导数.但在许多实际问题中,常常需要研究相反问题,就是已知函数的导数,求原来的函数.除法 逆运算4.1 不定积分的概念和性质第四章 积分法 逆运算 微分法 微分

2、法是研究如何从已知函数求出其导函数.如已知函数要求它的导函数:还会遇到的问题是:已知函数 ,要求一个函数 ,使其导函数恰是:已知函数 ,要求它的导函数 已知导函数 ,要还原函数 逆问题4.1 不定积分的概念和性质第四章4.1 不定积分的概念和性质原函数举例因为 ,定义1设函数 和 在区间 上有定义，若对 ，有 或则称函数 是 在区间 上的一个原函数.又因为 ,所以 是 在区间 上的一个原函数.所以 是 在区间 上的一个原函数.你明白了吗？第四章v定理1（原函数存在定理）如果函数 f(x)在区间 I 上连续,则它在该区间上存在原函数.注：连续函数一定有原函数.每个初等函数在其定义区间上都有原函数

3、.提问：在什么条件下,函数的原函数存在？如果存在，是否只有一个？4.1 不定积分的概念和性质第四章v原函数有如下特性：（1）如果函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,那么函数族F(x)C（C为任意常数）也是函数f(x)的原函数；（2）函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即：如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则 (x)F(x)C (C为某个常数).是 在区间 上的一个原函数.4.1 不定积分的概念和性质第四章 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分,定义2根据定义,如果 F(x)是 f(x)的一个原函数,那么 F(x)C 就是 f(x)的不定积分,即积分号

4、被积函数被积表达式积分变量积分常数4.1 不定积分的概念和性质记作第四章4.1 不定积分的概念和性质 是 的一个原函数 是 的一个原函数如：例1 求.解：因为 ，即 是 的一个原函数，所以第四章4.1 不定积分的概念和性质解：因为故 例2 求 所以分析：与 有关的求导公式第四章 例3 求函数 的不定积分 合并上面两式,得到 解：4 4.1 1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质第四章4.1 不定积分的概念和性质解：因为 ,所以 (引例)某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本是 ,且固定成本是5000元.求总成本 与月产量 的函数关系.=?不定积分的运算第四章从几何上看,函数 的

5、任意一个原函数 的图像是一条曲线；不定积分 代表一族曲线,称为函数 的积分曲线族.不定积分的几何意义4.1 不定积分的概念和性质每条曲线上相同横坐标点处的切线的斜率相等第四章解 由题意知此曲线的方程为设所求曲线方程为：xyo112例4.求过 点，且在任意一点 处切线的斜率为 的 曲线方程.又曲线通过点 ，4.1 不定积分的概念和性质第四章不定积分的性质性质1 求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算性质2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号的前面性质3 两个函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和（可推广）4.1 不定积分的概念和性质第四章3.若 的一个原函数为 ，则 （）1.若 ，则 2.若 ，则 课课 堂堂 练练 习习（A）（B）（C）（D）析：根据不定积分的定义，B析：4.1 不定积分的概念和性质第四章4.设 是区间 内连续函数 的两个不同的原函数，且 ，则在区间 内必有（）.（A）（B）析：函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数5.设曲线通过点 ,且其上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方,求此曲线的方程.（C）（D）D解：设曲线的方程为：即由题意：所以又曲线过点故曲线的方程为课课 堂堂 练练 习习4.1 不定积分的概念和性质第四章