工程电磁场数值方法编程实验3－数值积分方法.ppt

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1、工程电磁场数值方法编程实验3数值积分方法 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望主要内容主要内容1 1 1 1概述概述2 2 2 2数值积分数值积分3 3 3 3基于场量积分公式的数值积分法基于场量积分公式的数值积分法4 4 4 4基于场源离散化的数值积分法基于场源离散化的数值积分法5 5 5 5编程实践编程实践3.1 概述概述n n数值积分法是数值计算方法应用中的数值积分法是数值计算方法应用中的数值积分法是数值计算方法应用中的数值积分法是数值计算方法应用

2、中的基本内容基本内容基本内容基本内容之之之之一。一。一。一。n n在电磁场分析计算中，对于无限大、均匀各向同在电磁场分析计算中，对于无限大、均匀各向同在电磁场分析计算中，对于无限大、均匀各向同在电磁场分析计算中，对于无限大、均匀各向同性的媒质，当已知性的媒质，当已知性的媒质，当已知性的媒质，当已知场源分布场源分布场源分布场源分布求场分布时，基于求场分布时，基于求场分布时，基于求场分布时，基于库库库库仑定律或比奥沙伐定律仑定律或比奥沙伐定律仑定律或比奥沙伐定律仑定律或比奥沙伐定律均可以导出关于均可以导出关于均可以导出关于均可以导出关于场量、场量、场量、场量、位函数的积分表达式位函数的积分表达式位

3、函数的积分表达式位函数的积分表达式。可以计算场分布以及有关。可以计算场分布以及有关。可以计算场分布以及有关。可以计算场分布以及有关电磁参数、能量和力等积分量。电磁参数、能量和力等积分量。电磁参数、能量和力等积分量。电磁参数、能量和力等积分量。n n它是多种电磁场数值计算方法它是多种电磁场数值计算方法它是多种电磁场数值计算方法它是多种电磁场数值计算方法(等参数有限元法、等参数有限元法、等参数有限元法、等参数有限元法、边界元法和模拟电荷法边界元法和模拟电荷法边界元法和模拟电荷法边界元法和模拟电荷法)数值解的必要基础。数值解的必要基础。数值解的必要基础。数值解的必要基础。数值积分实质数值积分实质数值

4、积分实质数值积分实质n n数数数数值值值值积积积积分分分分实实实实质质质质上上上上是是是是一一一一种种种种近近近近似似似似的的的的求求求求积积积积方方方方法法法法，即即即即通通通通过过过过构构构构造造造造被被被被积积积积函函函函数数数数的的的的某某某某种种种种线线线线性性性性组组组组合合合合的的的的逼逼逼逼近近近近函函函函数数数数来来来来近近近近似似似似求其积分值。求其积分值。求其积分值。求其积分值。n n如函数如函数如函数如函数f(x)f(x)的定积分的定积分的定积分的定积分 ，当被，当被，当被，当被积函数积函数积函数积函数f(x)f(x)的原函数的原函数的原函数的原函数F(x)F(x)无法

5、用初等函数无法用初等函数无法用初等函数无法用初等函数表达，则表达，则表达，则表达，则可以用可以用可以用可以用另一个具有足够逼近精度另一个具有足够逼近精度另一个具有足够逼近精度另一个具有足够逼近精度的简单函数的简单函数的简单函数的简单函数g(x)g(x)来近似替代函数来近似替代函数来近似替代函数来近似替代函数f(x)f(x)，函数函数函数函数g(x)g(x)的构造的构造的构造的构造通常取通常取通常取通常取f(x)f(x)的代数插值函数或样条函数。的代数插值函数或样条函数。的代数插值函数或样条函数。的代数插值函数或样条函数。数值积分实质数值积分实质数值积分实质数值积分实质n n函函函函数数数数g(

6、x)g(x)不不不不同同同同的的的的构构构构造造造造函函函函数数数数，产产产产生生生生不不不不同同同同的的的的数数数数值值值值求求求求积积积积公式。公式。公式。公式。n n为为为为提提提提高高高高数数数数值值值值积积积积分分分分精精精精度度度度，常常常常将将将将积积积积分分分分空空空空间间间间分分分分成成成成n n等等等等份份份份，在在在在每每每每个个个个小小小小区区区区间间间间上上上上采采采采用用用用相相相相应应应应的的的的求求求求积积积积公公公公式式式式计计计计算算算算，称称称称为为为为复合的数值求积公式复合的数值求积公式复合的数值求积公式复合的数值求积公式。3.2 梯形求积公式梯形求积公

7、式梯形求积公式梯形求积公式n n梯梯梯梯形形形形求求求求积积积积是是是是一一一一种种种种直直直直观观观观的的的的近近近近似似似似方方方方法法法法，由由由由边边边边界界界界上上上上近近近近似似似似直直直直线线线线围围围围成成成成的的的的梯梯梯梯形形形形面面面面积积积积近似代替原来曲边梯形面积。近似代替原来曲边梯形面积。近似代替原来曲边梯形面积。近似代替原来曲边梯形面积。n n上上上上面面面面误误误误差差差差较较较较大大大大，为为为为得得得得到到到到求求求求积积积积的的的的精精精精度度度度，可可可可将将将将积积积积分分分分区区区区间间间间细细细细分分分分k k次次次次，得到分段数，得到分段数，得到

8、分段数，得到分段数 ，其梯形积分公式为，其梯形积分公式为，其梯形积分公式为，其梯形积分公式为梯形求积公式梯形求积公式n n如果精度不够，再各子区间平分，得如果精度不够，再各子区间平分，得如果精度不够，再各子区间平分，得如果精度不够，再各子区间平分，得2n=22n=2k+1k+1n n当满足当满足当满足当满足辛普生求积公式辛普生求积公式辛普生求积公式辛普生求积公式n n如如如如用用用用二二二二次次次次插插插插值值值值多多多多项项项项式式式式抛抛抛抛物物物物线线线线g(x)g(x)所所所所围围围围成成成成的的的的曲曲曲曲边边边边梯梯梯梯形面积近似代替形面积近似代替形面积近似代替形面积近似代替y=f

9、(x)y=f(x)围成的曲边梯形面积围成的曲边梯形面积围成的曲边梯形面积围成的曲边梯形面积n n为为为为得得得得到到到到求求求求积积积积的的的的精精精精度度度度，将将将将积积积积分分分分区区区区间间间间细细细细分分分分k k次次次次，得得得得到到到到分分分分段段段段数数数数 ，其复合辛普生求积公式为，其复合辛普生求积公式为，其复合辛普生求积公式为，其复合辛普生求积公式为辛普生求积公式辛普生求积公式辛普生求积公式辛普生求积公式n n计计计计算算算算二二二二重重重重积积积积分分分分时时时时，数数数数值值值值积积积积分分分分的的的的处处处处理理理理是是是是将将将将二二二二重重重重积积积积分分分分分分

10、分分解解解解为为为为两两两两个个个个单单单单积积积积分分分分，每每每每个个个个积积积积分分分分使使使使用用用用辛辛辛辛普普普普生生生生求求求求积积积积公公公公式式式式，即即即即在在在在第第第第一一一一重重重重积积积积分分分分内内内内采采采采用用用用辛辛辛辛普普普普生生生生求求求求积积积积公公公公式式式式，公公公公式式式式中中中中每每每每产产产产生生生生一一一一个个个个固固固固定定定定某某某某变变变变量量量量值值值值x x，在在在在另另另另一一一一重重重重积积积积分分分分也也也也用用用用辛辛辛辛普普普普生生生生求求求求积积积积公公公公式计算。式计算。式计算。式计算。分解为两个单积分分解为两个单积

11、分分解为两个单积分分解为两个单积分高斯求积公式高斯求积公式高斯求积公式高斯求积公式n n高高高高斯斯斯斯求求求求积积积积法法法法，在在在在积积积积分分分分区区区区间间间间，选选选选择择择择某某某某些些些些积积积积分分分分点点点点（设设设设为为为为n n个个个个积积积积分分分分点点点点），计计计计算算算算出出出出函函函函数数数数在在在在这这这这些些些些积积积积分分分分点点点点上上上上的的的的数数数数值值值值，然然然然后用相应的后用相应的后用相应的后用相应的权系数乘以这些函数值权系数乘以这些函数值权系数乘以这些函数值权系数乘以这些函数值，并，并，并，并求和求和求和求和。n n在在在在相相相相同同同

12、同数数数数量量量量积积积积分分分分点点点点的的的的选选选选取取取取条条条条件件件件下下下下，高高高高斯斯斯斯积积积积分分分分的的的的精精精精度度度度最最最最佳。佳。佳。佳。n n求求求求积积积积节节节节点点点点 为为为为高高高高斯斯斯斯积积积积分分分分点点点点。称称称称为为为为积积积积分分分分区区区区间间间间a,ba,b上上上上的的的的权权权权函函函函数数数数，不不不不同同同同的的的的权权权权函函函函数数数数选选选选取取取取，不不不不同同同同的的的的高高高高斯型求积公式，其中斯型求积公式，其中斯型求积公式，其中斯型求积公式，其中 是最常用的权函数是最常用的权函数是最常用的权函数是最常用的权函数

13、。高斯求积公式高斯求积公式高斯求积公式高斯求积公式n n当当当当给给给给定定定定权权权权函函函函数数数数 ，可可可可假假假假定定定定积积积积分分分分区区区区间间间间为为为为-1,1,-1,1,利利利利用用用用正正正正交交交交多多多多项项项项式式式式来来来来确确确确定定定定求求求求积积积积点点点点（高高高高斯斯斯斯积积积积分分分分点点点点）时时时时，该该该该 正正正正 交交交交 多多多多 项项项项 式式式式 为为为为 勒勒勒勒 让让让让 德德德德 多多多多 项项项项 式式式式，这这这这 样样样样 积积积积 分分分分 点点点点 为为为为 n n次次次次勒勒勒勒让让让让德德德德多多多多项项项项式式式

14、式的的的的n n个个个个零零零零点点点点，由由由由此此此此得得得得到到到到相相相相应应应应的的的的求求求求积积积积公式的权系数公式的权系数公式的权系数公式的权系数n n上上上上式式式式为为为为高高高高斯斯斯斯勒勒勒勒让让让让德德德德求求求求积积积积公公公公式式式式。高高高高斯斯斯斯积积积积分分分分点点点点与与与与权权权权系数的值参考表。系数的值参考表。系数的值参考表。系数的值参考表。高斯求积点高斯求积点高斯求积点高斯求积点参考高斯积分表参考高斯积分表参考高斯积分表参考高斯积分表高斯求积公式高斯求积公式高斯求积公式高斯求积公式n n对对对对于于于于一一一一般般般般区区区区间间间间a,ba,b，利

15、利利利用用用用积积积积分分分分变变变变量量量量代代代代换换换换，转转转转换换换换为为为为-1,1-1,1积分区间。积分区间。积分区间。积分区间。其中其中其中其中高斯求积公式高斯求积公式高斯求积公式高斯求积公式n n对对对对于于于于多多多多重重重重积积积积分分分分，可可可可以以以以化化化化重重重重积积积积分分分分为为为为多多多多次次次次积积积积分分分分的的的的方方方方法法法法，与与与与前前前前面面面面辛辛辛辛普普普普生生生生的的的的多多多多重重重重积积积积分分分分相相相相似似似似，每每每每一一一一重重重重积积积积分分分分采采采采用用用用相同或不同的高斯积分点相同或不同的高斯积分点相同或不同的高斯

16、积分点相同或不同的高斯积分点编程实践一编程实践一n n编写辛普生积分计算函数编写辛普生积分计算函数编写辛普生积分计算函数编写辛普生积分计算函数编程实践二编程实践二n n编写高斯积分计算函数编写高斯积分计算函数编写高斯积分计算函数编写高斯积分计算函数椭圆积分的数值计算椭圆积分的数值计算椭圆积分的数值计算椭圆积分的数值计算n n在在在在电电电电磁磁磁磁场场场场的的的的数数数数值值值值计计计计算算算算中中中中，椭椭椭椭圆圆圆圆积积积积分分分分的的的的应应应应用用用用广广广广泛泛泛泛。应用较多的是应用较多的是应用较多的是应用较多的是第一与第二类椭圆积分第一与第二类椭圆积分第一与第二类椭圆积分第一与第二

17、类椭圆积分n n第一类完全椭圆积分第一类完全椭圆积分第一类完全椭圆积分第一类完全椭圆积分n n第二类完全椭圆积分第二类完全椭圆积分第二类完全椭圆积分第二类完全椭圆积分称为积分模数称为积分模数称为积分模数称为积分模数椭圆积分的数值计算椭圆积分的数值计算椭圆积分的数值计算椭圆积分的数值计算n n级数展开式级数展开式级数展开式级数展开式n n算术几何平均法算术几何平均法算术几何平均法算术几何平均法椭圆积分的数值计算椭圆积分的数值计算椭圆积分的数值计算椭圆积分的数值计算n n近似计算公式（由兰登变换的递推公式）近似计算公式（由兰登变换的递推公式）近似计算公式（由兰登变换的递推公式）近似计算公式（由兰登

18、变换的递推公式）n n当当当当 值足够小，如值足够小，如值足够小，如值足够小，如 时，时，时，时，编程实践三编程实践三n n编写椭圆积分计算函数编写椭圆积分计算函数编写椭圆积分计算函数编写椭圆积分计算函数4.3 基于场量积分公式的数值积分法基于场量积分公式的数值积分法n n在在在在无无无无限限限限大大大大、均均均均匀匀匀匀且且且且各各各各向向向向同同同同性性性性媒媒媒媒质质质质中中中中，已已已已知知知知场场场场源源源源分分分分布布布布 时时时时，求求求求场场场场量量量量E E、B B或或或或位位位位函函函函数数数数 和和和和A A的分布时，均归结为相应的积分关系式。的分布时，均归结为相应的积分

19、关系式。的分布时，均归结为相应的积分关系式。的分布时，均归结为相应的积分关系式。n n平行平面磁场平行平面磁场平行平面磁场平行平面磁场平行平面磁场平行平面磁场平行平面磁场平行平面磁场n n磁感应强度磁感应强度磁感应强度磁感应强度n n场图绘制场图绘制场图绘制场图绘制所谓所谓所谓所谓B B线，即该线上任一点的切线方向，与线，即该线上任一点的切线方向，与线，即该线上任一点的切线方向，与线，即该线上任一点的切线方向，与B B的方向一致，共线条件的方向一致，共线条件的方向一致，共线条件的方向一致，共线条件轴对称磁场轴对称磁场轴对称磁场轴对称磁场n n当当当当场场场场源源源源具具具具有有有有轴轴轴轴对对

20、对对称称称称分分分分布布布布，激激激激励励励励的的的的场场场场也也也也必必必必然然然然具具具具有有有有轴对称性质轴对称性质轴对称性质轴对称性质第一、二类完全椭圆积分第一、二类完全椭圆积分第一、二类完全椭圆积分第一、二类完全椭圆积分轴对称磁场轴对称磁场轴对称磁场轴对称磁场n n向量磁位向量磁位向量磁位向量磁位ApAp计算出来后，可计算磁感应强度计算出来后，可计算磁感应强度计算出来后，可计算磁感应强度计算出来后，可计算磁感应强度n n当场点在圆环轴线，当场点在圆环轴线，当场点在圆环轴线，当场点在圆环轴线，载流螺线管的磁场载流螺线管的磁场载流螺线管的磁场载流螺线管的磁场n n载载载载流流流流为为为为

21、I I的的的的n n匝匝匝匝螺螺螺螺线线线线管管管管看看看看成成成成无无无无限限限限多多多多个环形为个环形为个环形为个环形为dI=JdsdI=Jds的线圈的组合的线圈的组合的线圈的组合的线圈的组合载流螺线管的磁场载流螺线管的磁场载流螺线管的磁场载流螺线管的磁场n n场图绘制场图绘制场图绘制场图绘制在圆柱坐标系中，具有轴对称分布特征的磁感应强度在圆柱坐标系中，具有轴对称分布特征的磁感应强度在圆柱坐标系中，具有轴对称分布特征的磁感应强度在圆柱坐标系中，具有轴对称分布特征的磁感应强度B B线满足线满足线满足线满足3.4 基于场源离散化的数值积分法基于场源离散化的数值积分法n n电压源激励的磁场电压源

22、激励的磁场电压源激励的磁场电压源激励的磁场磁磁磁磁场场场场激激激激励励励励源源源源通通通通常常常常为为为为外外外外施施施施电电电电压压压压源源源源，需需需需要要要要补补补补充充充充电电电电路路路路方方方方程程程程，就就就就要要要要知知知知道道道道线线线线圈圈圈圈的的的的阻抗计算电流，这样涉及线圈的电感计算阻抗计算电流，这样涉及线圈的电感计算阻抗计算电流，这样涉及线圈的电感计算阻抗计算电流，这样涉及线圈的电感计算n n螺线管线圈的电感螺线管线圈的电感螺线管线圈的电感螺线管线圈的电感n n互感系数的计算互感系数的计算互感系数的计算互感系数的计算I Ia a产生与线圈产生与线圈产生与线圈产生与线圈B

23、 B所铰链的磁通为所铰链的磁通为所铰链的磁通为所铰链的磁通为互感系数互感系数互感系数互感系数电压源激励的磁场电压源激励的磁场电压源激励的磁场电压源激励的磁场n n自感系数的外自感计算自感系数的外自感计算自感系数的外自感计算自感系数的外自感计算ra=R,rb=R-a,h=0,ra=R,rb=R-a,h=0,模数模数模数模数k kRa,Ra,模数模数模数模数k=1k=电压源激励的磁场电压源激励的磁场电压源激励的磁场电压源激励的磁场n n自感系数的内自感计算自感系数的内自感计算自感系数的内自感计算自感系数的内自感计算单匝环形线圈的自感单匝环形线圈的自感单匝环形线圈的自感单匝环形线圈的自感电压源激励的磁场电压源激励的磁场电压源激励的磁场电压源激励的磁场N N匝螺线管匝螺线管匝螺线管匝螺线管a aij ij为为为为ij ij号等效半径号等效半径号等效半径号等效半径电压源激励的磁场电压源激励的磁场电压源激励的磁场电压源激励的磁场螺线管电阻螺线管电阻螺线管电阻螺线管电阻 电阻率电阻率电阻率电阻率电压源激励的磁场电压源激励的磁场电压源激励的磁场电压源激励的磁场螺线管磁场螺线管磁场螺线管磁场螺线管磁场编程实践四编程实践四n n编写轴对称线圈的矢量位计算计算函数编写轴对称线圈的矢量位计算计算函数编写轴对称线圈的矢量位计算计算函数编写轴对称线圈的矢量位计算计算函数